初中數學_三角形中線等分面積的探究教學設計學情分析教材分析課后反思

2023年12月10日發(作者：中國象棋軟件)

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中小學教師“優課”教學設計

三角形中線等分面積的探究

【設計說明】

該教學內容為新七年級下冊第十章《三角形的有關證明》第一節前的補充內容，以七年級上冊第一章《三角形》第一節第5課時的內容《三角形的中線》為基礎，為后續學習四邊形，解決相關面積問題做基礎.從知識技能方面來講，三角形各邊的中點、中線及中位線的有關性質的應用，是中考的必考內容，歷年來多以計算和證明題的形式出現.而對于三角形的中線來講，與其作為條件之一隱藏在綜合題目中的作用相比，其等分三角形面積的應用更容易作為探究類題目呈現.從數學思考及解決問題方面來看，本節內容以幾何直觀為依托，在演繹推理和合情推理的雙重作用下，將圖形的發生與發展規律用符號與模型刻畫出來，繼而運算解決問題,既注重知識的理解與深化應用，更注重借助于數學活動經驗的積累滲透培養學生的數學核心素養，提高學生的數學學習能力以及數學應用意識.

因此，本節課以培養學生良好的數學思維、能力為基本目的，以發展學生良好的數學核心素養為終極目標.

【教學目標】

知識技能：理解三角形的中線等分三角形的面積；探究三角形的中線等分三角形的面積的實際應用.

數學思考：讓學生經歷畫圖實踐、探究總結形成三角形中線等分面 積的基本模型.

解決問題：通過畫圖實踐，培養學生數學建模、數形結合、幾何問題代數化等良好數學思想方法.

情感態度：培養學生把握數學知識的來龍去脈及舉一反三的能力，形成有論據、有條理、有邏輯的思維習慣，提高學生的表達能力.

【教學重點】

形成三角形中線等分面積應用的基本模型;

滲透整體與部分、數形結合及從一般到特殊等數學思想方法

【教學難點】

三角形中線等分面積基本模型的建立及應用；

整體與部分、數形結合及從一般到特殊等數學思想方法的滲透

【教學過程】

A引 例：如圖，AD是△ABC的中線，AF⊥BC，垂足是點F，

（1）

AF是圖中哪幾個三角形的高？

（2）圖中哪兩個三角形的面積相等？請說明理由.

BDFC探究一：

根據引例，咱們能得到些什么啟示呢？由此，已知三角形ABC，你能做出在△ABC基礎上做出S△ABD?2S△ABC嗎？怎么畫？有幾種方法？請嘗試作圖.

【問題解決】

先由學生談談自己的想法，看是否有學生能夠想出逆向擴展三角形面積的問題，根據學生的回答引導學生從正向應用到逆向思考，再 由學生動手作圖，做出S△ABD?2S△ABC.“怎么畫？有幾種方法？”的問題會引起學生的思考，在2種或3種或6種不同的作圖中，讓學生自己說明理由，根據S△ABD?2S△ABC的一邊AB可以有兩種不同的分析，對于3種或6種的答案應該是只考慮到了2S△ABC，而忽略了AB這一公共邊的條件，在此利用此機會教育學生發現問題要認真，分析問題要仔細.

【設計意圖】

在學生前置作業的準備中，學生已經能夠熟練的將三角形分為面積相等的兩個三角形，這里“變分為補”，做S△ABD?2S△ABC，將中線等分面積進行逆向應用，既能夠讓學生更為深入的理解“三角形中線等分面積”，更能夠培養學生的逆向思維，提高學生數學思考能力，并為后面解決實際應用的探究二做好知識準備.

探究二：

如圖，已知△ABC的面積為a.

如圖（1）所示，延長△ABC的邊BC到點D，使CD=BC，連接DA，若△ACD的面積為S1，則S1=____________（用含有a的代數式表示）；

如圖（2）所示，延長△ABC的邊BC到點D，延長邊CA到點E，使CD=BC，AE=CA，連接DE，若△DEC的面積為S2，則S2=____________（用含有a的代數式表示），并寫出理由；

如圖（3）所示，在如(2)的基礎上延長AB到點F，使BF=AB，連接FD、FE，得到△DEF，若陰影部分的面積為S3，則S3=____________（用含有a的代數式表示）.

E

E1ADCD1AAABCBCDBCB

發現：如圖4所示,像上面那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連接所得到端點，得到△D1E1F1，此時，我們稱△ABC向外生長了一次，再次將△DEF按照上述同樣的方法將各邊順次延長一倍，連接所得到端點，得到△D2E2F2稱為△ABC向外生長了兩次，以此類推……可以發現，擴展一次后得到的△D1E1F1的面積是與原△ABC面積之間滿足的關系為_____，擴展兩次后得到的△D2E2F2的面積是與原△ABC面積之間滿足的關系為___________，擴展三次后得到△D3E3F3的面積是與原△ABC面積之間滿足的關系為___________，擴展n次后得到的△DnEnFn的面積是與原△ABC面積之間滿足的關系為___________.

【問題解決】

在前面問題的鋪墊下，該問題放手讓學生獨立解決，“發現”的解決中，要注意引導學生思考該問題與前面3個問題的異同，只要分析出圖中整體或是部分，從“異”入手，問題便可以解決.同時此處要注意由數到式，由特殊到一般，由部分到整體的數學思想方法的滲透.

【設計意圖】

探究二在探究一逆向應用的基礎上，繼續拓展為3S△ABC,7S△ABC……，并由簡單到復雜，由特殊到一般，通過數形結合，最終建立了外延三角形擴展面積與原三角形面積之間的數量關系模型，有效培養了學生的數形結合意識、建模意識以及由特殊到一般的數學思想方法.

應用：去年在面積為10m2的△ABC空地上栽種了某種花卉，今年準備擴大種植規模，把△ABC向外進行兩次擴展，第一次由△ABC擴展成△DEF，第二次由△DEF擴展成△MGH（如圖4所示），求這兩次擴展的區域（陰影部分）面積共為多少平方米？

FEABCDHM

【設計意圖】

G圖4

“應用”將探究一、二中建立的模型應用于實際問題，提高學生應用數學的意識和能力.

信心加油站：

同學們，本節課到現在，你做了設計師，還做了工程師，盡管個別地方有些崎嶇，可這也正是數學之魅力所在.因為平坦的小路中我們無法收獲知識，只有在九轉十八彎的疊山翠綠中，我們才能夠發現更美的風景.愿不愿意隨老師繼續登山尋景呢？

總結：經過以上問題，我們通過逆用中線等分三角形的面積更深入的理解了三角形中線等分三角形面積的應用.

三角形一邊的中線能夠將三角形的面積等分，如果在三角形中畫出兩條邊的中線，又會存在怎樣的數量關系呢？

探究三：

根據以上思考完成下列問題：

已知：△ABC的面積為1，

（1）如圖（1）所示，若D，E分別是BC、AC的中點，AD與BE 交于點F，則四邊形CDFE的面積為____________.

（2）如圖（2）所示,D、E為AC的三等分點，F、G為BC的三等分點，AF與BE相交于點P，求四邊形PECF的面積.

BDCBAENGPFADAFECNBPGFDEC圖（1） 圖（2） 圖（3）

（3）如圖（3）所示，E、F分別為邊AC和邊BC的距離C點最近的n等分點，且AF與BE相交于點P，則四邊形PECF的面積為____________.

【問題解決】

該探究的解決關鍵在第一個問題上因此，我將問題全盤拋給學生，在兩條中線分割△ABC形成4個圖形后，它們各自的面積又有什么特殊的關系呢？由學生分小組認領不同的圖形，進行分析討論.

經過思考,學會不難發現S△AEF=S△BFD, S△ABF=S四邊形DCEF,但是很難繼續發現每個圖形與S△ABC之間的等量關系.因此教師要根據學生分析引導學生思考E,D作為AC,BC的中點的其它作用，除了存在BE,AD兩條中線以外,還有DF與EF兩條中線存在.引導學生連接CF,并利用FE平分S△ACF,FD平分S△BCF,方法有二：一、得到S△CEF=S△AEF=

S△CDF= S△BFD，若設S△CEF=S△AEF= S△CDF= S△BFD=x，則S△ABF=2x,進而得到S四邊形DCEF=

1.二、直接利用中線DF，EF的作用，也是為了更3容易解決后面的（2）與（3），我們可以在（1）中，分別設S△CEF=S△AEF=x ， 1?x?2y?,??2?S△CDF= S△BFD=y，因此可以建立方程模型，再次分析（2）1?y?2x?.?2?1?1?x?3y?,x?ny?,????3n（3）分別得到?，?得到在等分線段的作用下不規11??y?3x?.y?nx?.?n??3?則四邊形的面積.

【設計意圖】

探究三屬于“三角形中線等分面積”的靈活應用，將問題的思考由外轉內，由一邊一條中線的圖形變為兩邊上的兩等分線、三等分線直到n等分線的圖形，將幾何問題代數化，發現并建立關于等分線段所形成的四邊形面積的二元一次方程組的基本模型，并再次由簡單到復雜，由特殊到一般，較高層次的培養了學生的圖形分析能力，數形結合意識、建模意識以及由特殊到一般的數學思想方法，發展了學生的數學思維，提高了學生解決問題的數學能力.

該部分屬于本課題學習的高潮部分，探究上出現了一定的難度.教學中，小組分工認領，組內合作討論，自然的將整體問題局部化，有效的將問題化難為簡，既激發了學生的好奇心、求知欲，又培養了學生勇于克服困難的自信心與意志力，更能夠將獨立思考與合作交流結合起來，培養學生形成團隊合作意識，明白1+1>2的道理. 另外，伴隨著一系列認知活動的進行，學生必然會有情感的激發、興趣的培養、意志的鍛煉、習慣的養成，進而得到個性與健全的人格.

總結:

通過本節課的學習，你學到了什么知識？領悟了哪些思想方法呢？

【問題解決】

學生暢談，教師補充，重點將本節課由外及內、由特殊到一般的探究思路及數形結合、模型建立等數學思想方法進行總結.

本節課，我們通過對“三角形中線等分三角形面積”的深入探究，從外擴到內分，從整體到部分，用代數的方法解決了不規則圖形的面積，既掌握了數學知識，又提高了解決問題的能力，更重要的是，通過這一節課的學習，我發現同學們的探索精神、合作意識更強了。相信由此學習能力相伴，同學們將來的路肯定越走越寬，越走越順！

【板書設計】

三角形中線等分面積的探究應用

探

知識------思想方法

究

EA的

A外

A內

AE精整體 部分

F神

BC中小學教師“優課”幾何B

C代數D

BBDDCC圖1三角形中線等分面積的探究應用圖F

圖F1學情分析

本章是證明的起始階段，學生先前已經通過觀察、測量、實驗、操作等活動探究得到了一些幾何結論，學生也嘗試進行了一些驗證和說理，基本認可這些結論，但畢竟不是證明。本章首先要讓學生明確

合作的意識E1AC圖

B 認識到，這些探究的結論需要加以證明；然后明確證明需要一個話語體系，為此就有了所謂的定義、命題等；其次，證明需要確定一些出發點，為此，需要梳理有關結論，選擇某些結論作為證明的出發點（實際上這就是構建局部的公理體系）；有了這些證明的出發點，下面自然就應依次證明一些先前探究得到的定理，在證明過程中，初步掌握證明的要求和格式，再次認識到證明的嚴謹性，做到步步有據，發展學生的推理能力。

本節問題的提出，立足于課本，又超出課本的基本內容，注重知識的螺旋上升，突出建模、數形結合、從特殊到一般、由整體到部分等數學思想方法的培養與滲透.

中小學教師“優課”

三角形中線等分面積的探究應用

效果分析

對于本節課的學習效果，我分別以練習課和探究課兩種不同的課型進行了對比，練習課班級只是就題講題，以解決完學案上的問題為目的,探究課班級以題目為依托，注重滲透由外及內、由特殊到一般的探究思路及數形結合、模型建立等數學思想方法.下表是兩種不同課型在練習題目中的對比分析.

問題

探究二 （1） S1 （2） S2

練習課班級完成率 探究課班級完成率

63.6% 95.7%

探究二 （3）S3

探究二 發現

應 用

探究三（1）

探究三（2）

探究三（3）

33.4%

53.2%

57.3%

10.7%

8.75%

5.48%

85.1%

92.7%

92.1%

34.1%

86.7%

83.6%

從以上的對比分析中可以發現，隨著題目難度的增大，涉及到的數學思想方法的增多，探究課學生的完成率越來越大于練習課的完成率.尤其是探究三，如果只是沿用練習課中一般的圖示分析法得到（1）的答案，學生不能建立解決問題的直觀模型，就無法對復雜圖形做出分析，相對于探究課來講，圖示分析法與方程組模型的建立，可以使學生得到兩種不同的解決問題的思路，幾何問題代數化的方法更為后面復雜圖形的分析提供了基本模型，因此探究課中，多數學生能夠快速地列出方程組，并解決問題.

因此，本節探究課基本實現了數形結合、建模由特殊到一般的構建等教學目標.

中小學教師“優課”

三角形中線等分面積的探究

教材分析

該教學內容為新七年級上冊第一章《三角形》第一節第5課時的 深入探究內容，由于學生尚未學習二元一次方程組，因此，把該部分探究放置于七年級下冊第十章《三角形的有關證明》第一節前，第七章《二元一次方程組》與第八章第6節《三角形的內角和定理》之后，比課本內容略有提高，探究性更強。該課題設計的主要目的是讓學生對三角形的有關線段進行更為深入的理解和探究，既掌握三角形中線等分三角形面積的基本應用，又能夠理解并掌握“幾何問題代數化”的轉化思想，以及滲透由“外”到“內”，由“整體”到“局部”的幾何直觀理念，為后續學習《三角形的有關證明》、《四邊形》等幾何知識提供良好的圖形分析與計算方法，已將其作為課題學習進行多個級部與班級教學，教學效果優秀.

從數學能力的培養上來看，解決推理入門難是本章的難點，本章節開始將在關注培養學生合情推理的同時，著重提高學生的演繹推理能力。合情推理用于探索思路，發現結論；演繹推理用于證明結論．因此，本課題內容以這兩種能力的發展為主要關注點,分別從逆向思考到正面探究、從特殊到一般、從整體面積到部分面積三個方面為突破點，注意作圖、探究等數學活動經驗的積累，以培養學生良好的數學思維、能力為基本目的，以發展學生良好的數學核心素養為終極目標.

中小學教師“優課”評測練習

三角形中線等分面積的探究應用

★

1．在△ABC中，已知點D,E,F分別是邊BC,AD,CE上的中點，且S△ABC?4cm2，則S△BEF的值為（ ）

A．2cm2 B．1cm2

★★

C．0.5cm2 D．0.25cm2

2．△ABC的兩條中線AD、BE交于點F，連接CF，

若△ABC的面積為24，則△ABF的面積為（ ）

A．10 B．8 C．6 D．4

★★★

3．如圖，△ABC中，點E是BC上一點，EC=2BE，點D是AC的中點，若△ABC的面積S△ABC=12，則S△ADF﹣S△BEF=（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

★★★★

4．如上圖，△ABC的面積為1．第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A1，B1，C1，使A1B=AB，B1C=BC，C1A=CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點A2，B2，C2，使A2B1=A1B1，B2C1=B1C1，C2A1=C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此規律，要使得到的三角形的面積超過2017，最少經過_______________次操作.

5. ★★★★★

拓展練習：已知△ABC的面積是60，請完成下列問題：

AD：DB=1：3，CE：AE=1：2，請你計算四邊形ADOE的面積，并說明理由．

中小學教師“優課”

三角形中線等分面積的探究應用

課后反思

該教學內容為新七年級下冊第十章《三角形的有關證明》第一節前的補充內容，以七年級上冊第一章《三角形》第一節第5課時的內容《三角形的中線》為基礎，以培養學生良好的數學思維、能力為基本目的，以發展學生良好的數學核心素養為終極目標. 重點實現了以下三方面：

一、 從逆向思考到正面探究

在引例的作用下，學生對“三角形一邊的中線等分三角形的面積”已經有了基本認識，探究二要求學生在△ABC的基礎上做出

S△ABD=2S△ABC，通過學生動手延長邊AB，更加深入思考中點線段的兩1種表示方式，BD=2BC，BD?BC，變分為補，變正向思考為逆向2應用，變靜態為動態，知識上能夠更有效地幫助學生理解“等分三角形的面積”的條件，能力上能夠更有助于學生逆向思維的培養.

二、從特殊到一般

探究二以及探究三兩個題目設置都是通過圖形的發生與發展，從S△D1E1F1=7S△ABC，S△D2E2F2=72S△ABC到S△DnEnFn=7nS△ABC；從1?1?1?x?3y?x?2y?x?ny?????3?2?n，到，從具體數的規律到一般????y?2x?1?y?3x?1?y?nx?1??2?3?n??式子的刻畫，結合圖形的發生發展規律的分析，訓練學生的數感及符號意識，培養學生從特殊到一般的數學思維方式方法.

三、從整體面積到部分面積

盡管探究二、三兩個問題研究的都是圖形變化后的結果與原圖形之間的數量關系，但二者指向性各有不同，探究二的設計是由小到大，由部分到整體的研究，探究三的設計是由大到小，由整體到部分的研究.整體設計由規則圖形到不規則圖形，引導學生分析圖形，積累圖形分析活動經驗，掌握數學中“以不變應萬變”的方式方法，注重培養學生的嚴密的邏輯思維及較強的幾何直觀能力.

從教學過程來看，學生在學習過程中積累了一定的數學活動經驗但數學核心素養的培養不是一朝一夕，一節課，幾節課能夠解決的問題，教學中，我會注重各種核心素養潛移默化的滲透，注意數學能力與數學品質的培養，力爭實現變“數學教育”為“教育數學”.

中小學教師“優課”

三角形中線等分面積的探究應用

課標分析

學科素養：從知識技能方面來講，三角形各邊的中點、中線及中 位線的有關性質的應用，是中考的必考內容，歷年來多以計算和證明題的形式出現.而對于三角形的中線來講，與其作為條件之一隱藏在綜合題目中的作用相比，其等分三角形面積的應用更容易作為探究類題目呈現.從數學思考及解決問題方面來看，本節內容以幾何直觀為依托，在演繹推理和合情推理的雙重作用下，將圖形的發生與發展規律用符號與模型刻畫出來，繼而運算解決問題,既注重知識的理解與深化應用，更注重借助于數學活動經驗的積累滲透培養學生的數學核心素養，提高學生的數學學習能力以及數學應用意識.

德育滲透：通過命題驗證、邏輯推理等活動使學生掌握邏輯歸納與演繹、命題求證與論證、思維嚴謹與流暢的思維品質.培養學生把握數學知識的來龍去脈及舉一反三的能力，形成有論據、有條理、有邏輯的思維習慣與表達能力，自覺學會并運用知識解決問題的意識與習慣，養成做事條理分明、嚴謹細致、一絲不茍、嚴肅認真的個性品質.培養用數學的眼光觀察世界，用數學的思維思考世界，用數學的語言表達世界的良好習慣及意識.

因此，本節課以培養學生良好的數學思維、能力為基本目的，以發展學生良好的數學核心素養為終極目標.

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