3提高--平行線中三角形問題

2023年12月10日發(fā)(作者：滿減活動)

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平行線中三角形問題

模塊一：與三角形內(nèi)角和有關(guān)

知識點(diǎn)睛

解題思路：

一般在三角形的頂點(diǎn)或內(nèi)部點(diǎn)做與對邊相平行的平行線，再進(jìn)行倒角計(jì)算，注意此時三角形內(nèi)角和為180°不能直接使用，需旁證。

典型例題

【例1】（1）填空：如圖（1），過△ABC的頂點(diǎn)A有一直線EF，且EF∥BC,

求證：∠BAC+∠B+∠C=180°；

證明：∵EF∥BC

（已知）

∴∠BAE＝∠B，∠CAF＝∠C；（ ）

又∵∠BAE+∠BAC+∠CAF＝180° （平角定義）

∴∠BAC+∠B+∠C=180° （ ）

本題所證明的命題可用一句話概括為

（2）如圖（2），在（1）基礎(chǔ)上請證明：△ABC中，∠A=50°，點(diǎn)P是∠ABC與∠ACB平分線的交點(diǎn)，求∠BPC的度數(shù)；

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（3）如圖（3），有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點(diǎn)B、C．若∠A=β°，則∠XBC+∠XCB= _________ ，∠ABX+∠ACX＝ 。 （直接填寫結(jié)果）

能力提升

【例2】操作與探究

如圖，已知△ABC．

（1）畫出∠B、∠C的平分線，交于點(diǎn)O；

（2）過點(diǎn)O畫EF∥BC，交AB于點(diǎn)E，AC于點(diǎn)F；

（3）寫出可用圖中字母表示的相等的角，并說明理由；

（4）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠A，∠BOC的度數(shù)；又若∠ABC=70°，∠ACB=50°，求∠A，∠BOC的度數(shù)；

（5）根據(jù)（4）的解答，請你猜出∠BOC與∠A度數(shù)的大小關(guān)系這個結(jié)論對任意一個三角形都成立嗎？為什么？

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模塊二：利用三角形中的平行線求角度

知識點(diǎn)睛

解題思路：

利用平行線的相關(guān)性質(zhì)（同位角、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)），必要時結(jié)合三角形內(nèi)角和為180°，但需旁證

典型例題

【例3】（1）如圖，AE∥BD，∠CBD=57°，∠AEF=125°，求∠C的度數(shù)．

（2）如圖，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥AC，∠B=70°，∠EDC=30°，求∠ADC的度數(shù)．

（3）如圖，已知：DE∥BC，CD是∠ACB的平分線，∠B=70°，∠ACB=60°．求∠EDC和∠BDC的度數(shù)．

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能力提升

【例4】如圖所示，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，試判斷∠AED與∠C的大小關(guān)系，并對結(jié)論進(jìn)行說理．

模塊三：三角形四邊形中角平分線與平行結(jié)合

知識精講

解題思路：

出現(xiàn)各種角平分線與等角時，大膽將等角設(shè)成未知數(shù)α或β，再進(jìn)行倒角計(jì)算

典型例題

【例5】（1）如圖1，△ABC, ∠ABC、∠ACB的三等分線交于點(diǎn)E、D，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A的度數(shù)

（2）如圖2，△ABC,∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)D、E，若∠1=110°，∠2=130°，求∠A的度數(shù)

AD1E2BC

Page 4 of 9 【例6】（1）已知：如圖，DE∥BC，∠AED=80°，CD平分∠ACB，求∠EDC的度數(shù)．

（2）已知，如圖AD是△ABC的角平分線，DE∥CA交AB于點(diǎn)E，DF∥BA交AC于點(diǎn)F．試問∠1=∠2嗎？為什么？

【例7】如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，DE平分∠ADB，∠BDC=∠BCD，

（1）求證：∠1+∠2=90°；

（2）若∠ABD的平分線與CD的延長線交于F，且∠F=55°，求∠ABC

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能力提升

【例8】如圖1.將線段AB平移至CD，使A與D對應(yīng)，B與C對應(yīng)，連AD、BC.

（1）填空：AB與CD的關(guān)系為 ,∠B與∠D的大小關(guān)系為

（2）如圖2，若∠B=60°，F(xiàn)、E為 BC的延長線上的點(diǎn)，∠EFD=∠EDF，DG平分

∠CDE交BE于G,求∠FDG。

（3）在（2）中，若∠B=α，其它條件不變，則∠FDG=

【例9】如圖ABCD為一長方形紙片，E為BC上一點(diǎn)，將紙片沿AE折疊，B點(diǎn)落在形為的F點(diǎn)。

（1）如圖1，當(dāng)∠AEB=30°時，∠DAF的度數(shù)為 。

（2）如圖2，連BD，若∠CBD=20°，AF∥BD，求∠BAE。

（3）如圖3，當(dāng)AF∥BD時，設(shè)∠CBD=a，請你直接寫出∠BAE= （用a表示）

Page 6 of 9 【例10】如圖①，AB、CD是兩條射線，P為夾在這兩條射線之間的一點(diǎn)，連PA和PC，作∠PAB和∠PCD的平分線相交于點(diǎn)Q．

（1）旋轉(zhuǎn)射線AB，使AB∥CD，并調(diào)整點(diǎn)P的位置，使∠APC=180°，如圖②，請直接寫出∠Q的度數(shù)；

（2）當(dāng)AB∥CD時，再調(diào)整點(diǎn)P的位置如圖③，猜想并證明∠Q與∠P有何等量關(guān)系；

（3）如圖④，若射線AB，CD交于一點(diǎn)R，其他條件不變，猜想∠P、∠Q和∠R這三個角之間滿足什么樣的等量關(guān)系？

課后作業(yè)

【習(xí)題1】如圖，∠E=40°，CD∥AB，∠ABE=2∠ABC，∠BCE=4∠ABC，

（1）若設(shè)∠ABC=x°，則∠BCD= °，∠D= °（用含x的代數(shù)式表示）；

（2）求∠D的度數(shù)．

Page 7 of 9 【習(xí)題2】如圖，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分線交于點(diǎn)O。

(1)若∠ ABC=40°，∠ ACB=50°，則∠ BOC=_______；

(2)若∠ ABC+∠ ACB=l00°，則∠ BOC=________ ；

(3)若∠ A=70°，則∠ BOC=_________；

(4)若∠ BOC=140°，則∠ A=________

(5)你能發(fā)現(xiàn)∠ BOC與∠ A之間有什么數(shù)量關(guān)系嗎?直接寫出結(jié)論并說明理由

【習(xí)題3】已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，DE∥BC，CF與DE的延長線垂直，垂足為F．

（1）求證：∠B=∠ECF；

（2）若∠B=55°，求∠CED的度數(shù)．

【習(xí)題4】如圖，AD∥BC，∠D=96°，∠A=104°，BE、CE分別是∠ABC和∠BCD的角平分線，求∠BEC的度數(shù)．

Page 8 of 9 【習(xí)題5】已知：如圖，AC∥DE，DC∥EF，CD平分∠BCA．求證：EF平分∠BED．

證明：（請你在橫線上填上合適的推理）

∵AC∥DE（已知），

∴∠1=∠

同理∠ =∠3

∴∠ =∠3

∵DC∥EF（已知），

∴∠2=∠

∵CD平分∠ACB，

∴∠ =∠

∴∠ =∠

∴EF平分∠BED．

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