基于Bezier曲線(xiàn)生成3D打印分層路徑

2023年12月31日發(fā)(作者：惡之花)

新技術(shù)新工藝

2021

年

第2

期基于

Bezier

曲線(xiàn)生成3D打印分層路役尹海濤，葉春生(華中科技大學(xué)材料成形與模具技術(shù)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢430074)摘

要：3D打印可實(shí)現(xiàn)高效無(wú)模成形，而在醫(yī)療、汽車(chē)、航空航天和建筑領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。3D

打印中分層路徑精度影響著填充圖和成型的精度。Bezier曲線(xiàn)具備光滑連接特性，被廣泛應(yīng)用于自由曲

線(xiàn)曲面造型中。為了提高分層路徑的精度，采用三次Bezier曲線(xiàn)生成切面層路徑。首先通過(guò)3D打印切

片算法得到單一閉合曲線(xiàn)有序散點(diǎn)，然后根據(jù)切片算法得到的有序散點(diǎn)反求出Bezier曲線(xiàn)控制頂點(diǎn)，繼

而由控制頂點(diǎn)求解出閉合的三次Bezier曲線(xiàn)，通過(guò)在Bezier曲線(xiàn)中設(shè)定特定步長(zhǎng)得到一定數(shù)目的頂點(diǎn)，

添加到路徑切點(diǎn)的相應(yīng)位置中，順序連接切點(diǎn)生成路徑。該方法能夠使原本粗糙的切面路徑變得光滑，成

形樣品的表面輪廓清晰，成形精度較高，整體輪廓曲線(xiàn)光滑。關(guān)鍵詞：3D打印；分層路徑;Bezier曲線(xiàn)；閉合曲線(xiàn)；反求；應(yīng)用中圖分類(lèi)號(hào):TP

391

文獻(xiàn)標(biāo)志碼:AGenerating

3D

Printing

Layered

Path

bad

on

Bezier

CurveYIN

Haitao,

YE Chunsheng(State

Key

Laboratory

of

Material

Processing

and

Die

&

Mould

Technology,

Huazhong

University

ofScience

and

Technology,

Wuhan

430074,

China)Abstract:

3D

printing

could

achieve

efficient

formless

forming,

so

it

was

widely

ud

in

medical,

automotive,

aerospace

and

construction fields.

The

precision

of

layered

path

affected

the

accuracy

of

filling

graph

and

forming.

Bezier

curves

had

smoothconnectionchartoimprovethepre-

cision

of

the

stratified

path,

cubic

Bezier

curves

were

ud

to

generate

the

tangent layer

path.

Firstly,

the ordered

scattered

poinAsofasingleclodcurvewereobAainedbyusingAhe3Dpriningslicealgorihm!AhenAheBeziercurveconArolverices

could

be

acquired

by

using

slicing

algorithm

to

get

ordered

discrete

points,

in

addition,

the cubic

Bezier

curve

was

gotten

through

control

vertices.

A

certain

number

of

vertices

were

acquired

by

tting

up

a

specific

step

in

the

Bezier

curve,

tho

verticeswereaddedtothepathofthetangentpointlocation!quentialyconnectedpointsoftangencytogeneratethepath.

This

method

could

make

the

rough

ction

path

smooth,

the

surface

contour

of

the

formed

sample

was

clear,

the

forming

precision

washigh!ds：

3D

printing,

layered

path,

Bezier

curve,

clod

curve,

rever

eking,

application3D打印起源于20世紀(jì)80年代，是為滿(mǎn)足模型

制作以及快速成型的需求而推出，現(xiàn)已經(jīng)成為計(jì)算

機(jī)輔助設(shè)計(jì)和快速制造的通用技術(shù)平臺(tái)3D打印可

構(gòu)造方法，使用上述方法可以快速生成有序的路徑

切點(diǎn)序列，但是上述切片層路徑是直接將有序切點(diǎn)

連接形成，會(huì)因三維模型數(shù)據(jù)文件的缺陷等原因，造

成切面層路徑不夠光滑。Bezier曲線(xiàn)具備光滑連接

用于陶瓷、金屬和聚合物類(lèi)材料生產(chǎn)，且可實(shí)現(xiàn)高效

無(wú)模成形[15],因而在醫(yī)療、汽車(chē)、航空航天和建筑領(lǐng)

域得到了廣泛的應(yīng)用。特性,被廣泛應(yīng)用于自由曲線(xiàn)曲面造型中卩10'。本文

使用三次Bezier曲線(xiàn)來(lái)生成3D打印中切面層路徑。3D打印技術(shù)將三維模型切片成二維平面，對(duì)每

一層二維平面進(jìn)行打印，逐層疊加形成三維模型。

1

Bezier

曲線(xiàn)的定義只(=0,1,2

,…,)是曲線(xiàn)的1

+

1個(gè)控制點(diǎn),

切片過(guò)程使用一系列在特定位置且相互平行的平面

與三維模型相交，從而得到模型在這些高度上的切

點(diǎn)并形成一條或多條閉合路徑，閉合路徑的精度影

響著二維平面的打印精度，從而影響整個(gè)三維模型

的精度。劉恒、朱心雄提出了

STL模型的分層鄰

次Bezier曲線(xiàn)函數(shù)的表達(dá)式為：02)$

$：0PB&,2)

u

*

[0,1'

則是1次Bernstein基函數(shù)：(1)式中，控制點(diǎn)只決定Bezier曲線(xiàn)具體走向；B“

(u)

接排序快速切片算法，徐敬華、盛紅升⑺提出了基于

鄰接拓?fù)涞牧餍尉W(wǎng)絡(luò)模型層切多連通域構(gòu)建方法,

B“(u)=CU

(1—u)(1_1=)張琪、孟正大間提出了基于三角片分割的包圍盒樹(shù)

32&!

5一？)

!-~

u&

(1一u)1&

(

=

0,1，…,1)

一(2)《新技術(shù)新工藝》設(shè)計(jì)與計(jì)算

設(shè)計(jì)計(jì)算2基于

Bezier

曲線(xiàn)的路徑規(guī)劃21

計(jì)算

Bezier

曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)可用代碼表示為：double

xc1

=

(x0

+

x1)

/

2.

0 ；

double

yc1

=

(y0

+

y1)

/

2

0；在3D打印中，每一個(gè)切片層的分層路徑是與

其他層路徑不相交的閉合曲線(xiàn)。為了光滑分層路

double

xc2

=

(x1

+

x2)

/

2.

0 ；

double

yc2

=

(y1

+

y2

)/

2

0

；double

xc3

=

(x2

+

x3)

/

2.

0 ；

double

yc3

=

(y2

+

y3

)/

20

；徑，本文采用閉合曲線(xiàn)方程。首先通過(guò)切片算法得

到路徑切點(diǎn)，切點(diǎn)是分層路徑上的點(diǎn)，而B(niǎo)ezier曲

線(xiàn)的求解是通過(guò)確定控制頂點(diǎn)來(lái)完成的，所以需要

2)第2步：根據(jù)圖3中相鄰2條粗直線(xiàn)長(zhǎng)度之

先計(jì)算出Bezier曲線(xiàn)的控制頂點(diǎn)。根據(jù)每?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)作為一個(gè)Bezier曲線(xiàn)的端點(diǎn)

比，也就是％1/%0

=

61/60這個(gè)比例，分割其中點(diǎn)之

間細(xì)直線(xiàn)連線(xiàn)，標(biāo)記分割點(diǎn)。計(jì)算位于A?連接線(xiàn)

(即起始點(diǎn)和終止點(diǎn))，并由這兩個(gè)頂點(diǎn)結(jié)合相鄰的

其他兩個(gè)頂點(diǎn)求得和這兩個(gè)頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)的Bezier曲

線(xiàn)的控制點(diǎn)，然后根據(jù)端點(diǎn)和控制點(diǎn)繪制一條過(guò)兩

段上面的個(gè)頂點(diǎn)的Bezier曲線(xiàn)。如果把三階Bezier曲線(xiàn)(見(jiàn)圖1)中的00和03

視為原始數(shù)據(jù)，只要找到01和02兩個(gè)點(diǎn)(稱(chēng)其為

控制點(diǎn))，就可以根據(jù)三階Bezier曲線(xiàn)公式計(jì)算出

00和03之間平滑曲線(xiàn)上的任意點(diǎn)。71、72

表示線(xiàn)段比例,B1

(

xm1,

ym1

)、B2

(xm2,ym2)表示中點(diǎn)連線(xiàn)上的比例分割點(diǎn)。代碼

表示為：doublelen1=

sqrt((x1—x0)+

(x1

—x0)

+

(y1

—y0)+

(y1

—

y0))；doublelen2=sqt((x2

—x1)+

(x2

—

x1)

+

(y2

—

y1)+

(y2

—

y1))；doublelen3=

sqrt((x3—x2)+

(x3

—

x2)

+

(y3

—

y2)+

(y3

—

y2))；所以平滑問(wèn)題變成了如何計(jì)算2個(gè)原始數(shù)據(jù)點(diǎn)

doublek1

=len1

/

(len1

+

len2)

；double

k2

=

len2

/之間的控制點(diǎn)的問(wèn)題。步驟如下。1)第1步:粗直線(xiàn)連接圖2中相鄰的原始數(shù)據(jù)

(len2

+

len3)；doublexm1=xc1

+

(xc2

—-xc1)

+

k1

；

double

ym1點(diǎn)P0、P1、P2、P3,計(jì)算出各線(xiàn)段的中點(diǎn)(At)，細(xì)直

線(xiàn)連接相鄰的中點(diǎn)。=yc1

+

(yc2

—-yc1)

+

k1

；doublexm2=xc2

+

(xc3

—-xc2)

+

k2 ；

double

ym2=yc2

+

(yc3

—-yc2)

+

k2

；3)第3步：平移細(xì)直線(xiàn)連線(xiàn)，使其分割點(diǎn)B1、

B2與相對(duì)的原始數(shù)據(jù)點(diǎn)01、02重合，得到中點(diǎn)連

線(xiàn)平移圖(見(jiàn)圖4)需要計(jì)算01Q1,y1)和02(#2,y2)之間的控

制點(diǎn),00(#0,y0)是前一個(gè)需要經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，03

#3,

$3)是下一個(gè)需要經(jīng)過(guò)的點(diǎn),A0#c1

,"1)、A1#c2,

"2)、A2

("3,

"3)表示點(diǎn)與點(diǎn)之間連線(xiàn)的中點(diǎn)。《新技術(shù)新工藝》設(shè)計(jì)與計(jì)算33

新技術(shù)新工藝

2021

年

第2

期4)第4步：調(diào)整平移后細(xì)直線(xiàn)連線(xiàn)的端點(diǎn)與原

始數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離，通常縮減40%?80%,本文縮減

由式5可知,Bezier曲線(xiàn)由控制頂點(diǎn)和Bern-stein

基函數(shù)共同確定，又由于曲線(xiàn)中所采用的

50%，效果如圖5所示。Bernstein基函數(shù)的次數(shù)取決于控制頂點(diǎn)的數(shù)量,而

一旦次數(shù)確定,Bernstein基函數(shù)便固定下來(lái)，因此

可以說(shuō)，Bezier曲線(xiàn)的形狀是由控制頂點(diǎn)唯一確定

的。本文在平面描述中采用有序插入點(diǎn)策略，設(shè)定

特定的步長(zhǎng)決定曲線(xiàn)的疏密程度，從而表示一條在

二維切面層的曲線(xiàn)。在Bezier曲線(xiàn)的每個(gè)分段上

求解一定數(shù)目點(diǎn)的坐標(biāo)，加入到路徑切點(diǎn)坐標(biāo)中的

相應(yīng)位置中，然后順序連接切點(diǎn)生成路徑。3

試驗(yàn)與驗(yàn)證C1(ctrl1_x，ctrl1_y)、C2(ctrl2_x，ctrl2_y)表

3.

1設(shè)備情況示最后得到的控制點(diǎn)，smooth_

value表示平滑值

課題組自主開(kāi)發(fā)的微噴射3D打印設(shè)備如圖6

所示。該設(shè)備主要由4部分組成，分別是鋪粉機(jī)構(gòu)、

K,取值[0,1'。代碼表示為：ctrl1_x

==xm1

+(xc2

--

xm1)+

smooth_value

+

x1xm1

；=ym1

+(yc2

--ym1)+

smooth_value

+

y1ctrl1_y

=粘結(jié)劑噴射機(jī)構(gòu)、機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)和控制系統(tǒng)[1112'。

控制系統(tǒng)又分為硬件系統(tǒng)和軟件系統(tǒng)兩部分。ym1

；ctrl2_x

==xm2

+(xc2

-xm2

；xm2

)+

smooth_value

+

x2ctrl2_y

==ym2

+(yc2

-—ym2；ym2

)+

smooth_value

+

y2使用上述方法，在切片過(guò)程中得到8

+1個(gè)閉

合數(shù)據(jù)點(diǎn)Pz(&

=

0,1,…，8)。本文平滑值K取為

0.5,在經(jīng)過(guò)控制頂點(diǎn)計(jì)算之后得到2m

+

2個(gè)控制

頂點(diǎn)

C"

=

0,1,…,2m

+1)。2.

2求解 Bezier

曲線(xiàn)并光滑路徑圖6

3D打印設(shè)備3.2試驗(yàn)所用材料經(jīng)典的1次Bernstein基函數(shù)是由1

+

1個(gè)1次

多項(xiàng)式函數(shù)構(gòu)成的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的函數(shù)組，用B”,,")來(lái)

試驗(yàn)打印的三維模型為一個(gè)齒輪，試驗(yàn)采用

FZR-10型號(hào)的純氧化錯(cuò)陶瓷粉末，粉末的粒度控制

在1

"m左右。3.3結(jié)果分析表示其中的第&個(gè)，則B”,，")=C；(1

—;)”&

一(3)式中，&

=

0,1，…，"；)*

[0,1'。使用連續(xù)打印模式，采用0.

1

mm的層間距，每

每一個(gè)1次的Bernstein基函數(shù)都可以用2個(gè)

層打印3

次。

打印成形的樣品如圖7

所示。相鄰的1

+

1次Bernstein基函數(shù)的線(xiàn)性組合來(lái)表

示，即Bernstein基函數(shù)具有升階公式&

&

'

1B1,&()

=

(1

一1

+

1)B”+1,&()

+

1

+

]B”+1,&+1

()4)

式中，&

=

0,1,…1。有了

Bernstein基函數(shù)，并且給定了控制頂點(diǎn)以

后，就可以用這兩者的線(xiàn)性組合來(lái)定義Bezier曲

線(xiàn)。這里用Q,

(

=

0,1,…,1)來(lái)表示1次Bezier曲

線(xiàn)的控制頂點(diǎn)，用=1(表示1次Bezier曲線(xiàn)，則=1()

$

$：_0B””()Q,

,

*

[1,0'

34(5)圖7齒輪樣品《新技術(shù)新工藝》設(shè)計(jì)與計(jì)算

設(shè)計(jì)計(jì)算39(4)：

661-687P總的來(lái)說(shuō)，成形樣品的表面輪廓清晰，成形精度

較高，能夠看出輪廓曲線(xiàn)整體的光滑(但由于粘結(jié)

&]

Upadhyay

M，Sivarupan

T，

Mansoti

M

E.

3D

printing

for

rapid

sand

casting一A

review[J].

Journal

of

Manufactur-

ingProcess，

2017，

29：

211-220P劑黏度的不足，相對(duì)應(yīng)粘結(jié)區(qū)域黏度不夠造成部分

脫落而導(dǎo)致極少數(shù)位置存在小缺口，而由于噴射裝

置電動(dòng)機(jī)存在起驟停，產(chǎn)生抖動(dòng)造成極少量毛刺。&]王素，劉恒，朱心雄.STL模型的分層鄰接排序快速切

片算法&].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形學(xué)學(xué)報(bào)，2011，23(4)：

600-606P4結(jié)語(yǔ)本文針對(duì)微噴射3D打印中分層路徑粗糙問(wèn)

&]徐敬華，盛紅升，張樹(shù)有，等.基于鄰接拓?fù)涞牧餍尉W(wǎng)

題，提出使用三次Bezier曲線(xiàn)優(yōu)化路徑形成的方

法,首先通過(guò)二維切面的有序切點(diǎn)求出Bezier曲線(xiàn)

格模型層切多連通域構(gòu)建方法&].計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)與圖形

學(xué)學(xué)報(bào)， 2018，

30(1)：180-190P&]張琪，孟正大.基于三角片分割的包圍盒樹(shù)構(gòu)造方法

&].工業(yè)控制計(jì)算機(jī)，2015,

28(8):113-115.控制頂點(diǎn)，然后根據(jù)所求得控制頂點(diǎn)確定Bezier曲

線(xiàn)的基函數(shù)從而求得確定的Bezier曲線(xiàn)。采用有

&]嚴(yán)蘭蘭.Bezier與B樣條方法的可調(diào)擴(kuò)展研究[M].武

序插入點(diǎn)策略，設(shè)定特定的步長(zhǎng)決定曲線(xiàn)的疏密程

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Wozny

P，

Chudy

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Linear-time

geometric

algorithm

forevaluating

Beziercurves[J]

Computer-Aided

Design!

2020!118：102760度，在曲線(xiàn)所經(jīng)切點(diǎn)之間求解一定數(shù)目的頂點(diǎn)，加入

到路徑切點(diǎn)原始序列的相應(yīng)位置，順序連接從而表

示一條在二維切面層的Bezier曲線(xiàn)。該方法能夠

使原本粗糙的切面路徑變得光滑。[11]

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Chen

Z，

Li

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J，

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A

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2019，

責(zé)任編輯鄭練《新技術(shù)新工藝》設(shè)計(jì)與計(jì)算35