勾股定理的數學史

2024年2月15日發(作者：聽雨感悟人生)

勾股定理的數學史

一、教學目標

1、知識目標：讓學生再次對勾股定理的理解與認識，了解勾股定理的歷史.

2、能力目標： 通過學習勾股定理的數學史激發學生對古人的仰慕與欽佩，從而讓學生在生活中發現數學,用不同的思維方式去解數學,培養探究能力和探索精神

3、情感目標:通過對勾股定理的數學史，培養學生對數學問題孜孜以求的探索精神和科學態度，通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，激發熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情。

二、教學難點:勾股定理的證明思想與應用

三、教學重點：了解勾股定理的歷史與勾股定理的證明方法

四、教學設計

1、引入新課：我們在初中學習過勾股定理的探索與證明，那你們知道為什么把直角三角的三邊分別叫做勾、股、弦、呢？那最早發現勾股定理是怎樣發現的呢？

2、切入主題：勾股定理是一個基本的幾何定理，傳統上認為是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。在中國，《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之為商高定理；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經》內的勾股定理作出了詳細注釋,又給出了另外一個證明。埃及稱為埃及三角形。這個定理在中國又稱為”商高定理”，在外國稱為"畢達哥拉斯定理"。

實際上,早在蔣銘祖之前，許多民族已經發現了這個事實，而且巴比倫、埃及、中國、印度等的發現都有真憑實據,有案可查。相反,畢達哥拉斯的著作卻什么也沒有留傳下來，關于他的種種傳說都是后人輾轉傳播的.可以說真偽難辨。這個現象的確不太公平，其所以這樣，是因為現代的數學和科學來源于西方,而西方的數學及科學又來源于古希臘.古希臘流傳下來的最古老的數學著作是歐幾里得的《幾何原本》，而其中許多定理再往前追溯，自然就落在畢達哥拉斯的頭上.他常常被推崇為“數論的始祖”，而在他之前的泰勒斯被稱為“幾何的始祖”,西方的科學史一般就上溯到此為止了。

至于希臘科學的起源只是公元前近一二百年才有更深入的研究.因此，畢達哥拉斯定理這個名稱一時半會兒改不了。不過，在中國，因為我們的老祖宗也研究過這個問題，因此稱為商高定理，而更普遍地則稱為勾股定理。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股,斜邊叫做弦。

3、“勾三股四弦五"的由來:勾股定理從被發現到現在已有五千年的歷史。遠在公元前三千年的巴比倫人就知道和應用它了。我國古代也發現了這個定理。據《周髀算經》記載，商高（公元前1120年）關于勾股定理已有明確的認識，《周髀算經》中有商高答周公的話:“勾廣三,股修四,徑隅五。”同書中還有另一位學者陳子（公元前六七世紀）與榮方（公元前六世紀）的一段對話：“求邪（斜）至日者，以日下為勾,日高為股,勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日”從而就有了“勾三股四弦五”的說法

趙爽的證明方法:我國最早的證明方法是三國時期的趙爽在《周髀算經》中記載到，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。

如圖所示

以弦C為邊長得到正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形GHBF組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b－a，則面積為（b－a)2。于是便可得如下的式子：

22 4×（ab/2）＋（b－a）＝c

化簡后便可得:

4、畢氏定理:據記載在西方國家畢達哥拉斯是第一個證明出勾股定理的簡稱“畢氏定理"他的證明方法

如右圖所示:大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個三角形

∴

∴

∴

5、總統證法：加菲爾德于1881年當選美國總統，就職僅4個月即遭暗殺，是美國第二位被暗殺的總統.加菲爾德是美國歷史上唯一一位數學家出身的總統，在數學方面的貢獻主要是提供了勾股定理一種簡潔證明方法。他的方法簡潔易懂

6、文鼎證法

7、歐幾里得證法

8、利用三角形相似證明

9、利用割線定理證明

10、直角三角內切圓證明

教師介紹：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股,斜邊稱為弦。圖7稱為“弦圖”,最早是由三國時期的數學家趙爽在為《周髀算經》作法時給出的.圖19.2。8是在北京召開的2002年國際數學家大會（ICM－2002)的會標,其圖案正是“弦圖”,它標志著中國古代的數學成就.

此時,教師極力夸贊學生已成功探索出5000多年前人類歷史上的一個重大發現，真是太偉大了！，

這就是赫赫有名的勾股定理（板書課題）.接著用多媒體展示勾股定理的歷史。

勾股定理史話

勾股定理從被發現到現在已有五千年的歷史.遠在公元前三千年的巴比倫人就知道和應用它了.我國古代也發現了這個定理.據《周髀算經》記載，商高（公元前1120年）關于勾股定理已有明確的認識，《周髀算經》中有商高答周公的話：“勾廣三，股修四，徑隅五.”同書中還有另一位

學者陳子(公元前六七世紀）與榮方（公元前六世紀）的一段對話：“求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日”（如圖所示）,即

邪至日＝。

這里陳子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推廣到一般情況了。

人們對勾股定理的認識,經歷過一個從特殊到一般的過程,其特殊情況，在世界很多地區的現存文獻中都有記載，很難區分這個定理是誰最先發明的.國外一般認為這個定理是畢達哥拉斯學派（Pythagoras，公元前580~前500）首先發現的，因而稱為畢達哥拉斯定理.

勾股定理曾引起很多人的興趣,世界上對這個定理的證明方法很多。1940年盧米斯（E。S。Loomis）專門編輯了一本勾股定理證明的小冊子――《畢氏命題》，作者收集了這個著名定理的370種證明，其中包括大畫家達?芬奇和美國總統詹姆士????阿?加菲爾德（James Abram Garfield,1831~1881）的證法。

美國總統詹姆士????阿?加菲爾德的證法如下：

如圖：因為

所以

勾股定理是一條古老而又應用十分廣泛的定理.例如從勾股定理出發逐漸發展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率.據說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。勾股定理以其簡單、優美的形式，豐富、深刻的內容，充分反映了自然界的和

諧關系.人們對勾股定理一直保持著極高的熱情，僅定理的證明就多達四百多種，甚至著名的大物理學家愛因斯坦也給出了一個證明.中國著名數學家華羅庚在談論到一旦人類遇到了“外星人”,該怎樣與他們交談時，曾建議用一幅反映勾股定理的數形關系圖來作為與“外星人”交談的語言。這充分說明了勾股定理是自然界最本質、最基本的規律之一，而在對這樣一個重要規律的發現和應用上，中國人走在了前面.

方案三(教師介紹歐幾里得證法）

證明：證明：在Rt△ABC的三邊上向外各作一個正方形（如圖8)，

作CN⊥DE交AB于M，那么正方形被分成兩個矩形．連結CD和KB．

∵由于矩形ADNM和△ADC有公共的底AD和相等的高，

∴Ｓ矩形ADNM＝2Ｓ△ADC

又∵正方形ACHK和△ABK有公共的底AK和相等的高，

∴Ｓ正方形ACHK＝2Ｓ△ABK

在△ADC和△ABK中

∵AD＝AB,AC＝AK，∠CAD＝∠KAB

∴△ADC≌△ABK

由此可得Ｓ矩形ADNM＝Ｓ正方形ACHK同理可證

Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形BCGF

∴Ｓ正方形ABED＝Ｓ矩形ADNM＋Ｓ矩形BENM＝Ｓ正方形ACHK＋Ｓ正方形BCGF

即。

（目的：在勾股定理的發現過程中，充分鼓勵學生不同的拼圖方法得出不同的驗證方法,幫助學生自主建構新知識.另外要介紹學生所拼的圖7就是古代的弦圖，也是在北京召開的2002年國際數學家大會的會標，

進一步激發學生的成就感.讓學生充分體驗到探索創新所帶來的成功的喜悅。）

四、應用新知、解決問題

例1 如圖19。2。4，將長為5.41米的梯子AC斜靠在墻上，BC長為2。16米，

求梯子上端A到墻的底端B的距離AB。（精確到0.01米)

解 在Rt△ABC中,∠ABC=90゜,BC=2。16,

CA=5.41,

根據勾股定理得

≈4。96（米）

答：梯子上端A到墻的底端B的距離約為4.96米.

例2（趣味剪紙）如圖兩個邊長分別為4個單位和3個單位的正方形連在一起的“L”形紙片，請你剪兩刀,再將所得到的圖形拼成正方形。

（目的:本段內容主要通過教師啟發引導，學生共同探究完成，一方面讓學生感受解決問題的愉悅與強烈的成就感,培養學生動手能力和學習興趣以及加強對勾股定理的理解.另一方面讓學生知道：（1）勾股定理應用的前提條件（在直角三角形中);（2）已知直角三角形的兩邊會用勾股定理求第三邊.）

五、自我評價、形成知識

⑴這節課我的收獲是 .

⑵我感興趣的地方是 。

⑶我想進一步研究的問是 .

題(目的:通過這幾個問題，可以很好的揭示學生新建立的不同的認知結構,也體現了不同的人學數學有不同的收獲。把學習的權利交給學生，使學生體驗做數學的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外,有利于充分挖掘學生的潛能.）

六、作業

⑴課本P104習題19。2 1，2，3

⑵通過上網，搜索有關勾股定理的知識：如(1）勾股定理的歷史；（2)勾股定理的證明方法；（3）勾股定理在實際生活中的應用等。然后寫一篇以勾股定理為主題的小論文。

（目的：鞏固勾股定理,進一步體會定理與實際生活的聯系。促進學生學知識，用知識的意識.新課程標準提倡課題學習（研究性學習），通過課題學習與研究更多地把數學與社會生活和其他學科知識聯系起來,使學生進一步體會不同的數學知識以及數學與外界之間的聯系，初步學習研究問題的方法,提高學生的實踐能力和創新意識.）

·關于教學設計的幾點說明：

1、這節課是定理課，針對八年級學生的知識結構和心理特征，本節課我準備以“問題情境——-—-實驗、猜測--———驗證、證明——-—實際應用”的模式展開，引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出問題與學生共同探索、討論.讓學生經歷知識的發生、形成與應用的過程，從而更好地理解數學知識的意義.讓學生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數形結合的思想；

2、由于學生的個體差異表現為認知方式與思維策略的的不同，以及認知水平和學習能力的差異，所以在整個教學過程中,我都將尊重學生在解決問題過程中所表現出的不同水平,盡可能讓所有學生都能主動參與，并引導學生在與他人的交流中提高思維水平。在學生回答時,我通過語言、目光、動作給予鼓勵與贊許，發揮評價的積極功能;

3、探索定理采用了面積法,通過用割補兩種方法對直角邊為3、4這一特殊直角三角形的斜邊上的正方形的面積的計算，得到此直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由此自然的過渡到對一般直角三角形三邊關系的研究，當然也自然的用此方法證明了勾股定理.這種方法是認識事物規律的重要方法之一，通過教學讓學生初步掌握這種方法,對于學生良好思維品質的形成有重要作用,對學生的終身發展也有一定的作用;

4、本課小結也很有新意，通過這短短的幾個問題,可以很好的揭示學生新建立的不同的認知結構，也體現了不同的人學數學有不同的收獲.把學習的權利交給學生，使學生體驗做數學的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘學生的潛能。

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