《物理小論文》

2024年2月17日發(作者：赫哲族)

1疊加原理在物理學中的應用摘要：疊加原理是物理學中的基本原理之一,對物理學的研究起著極其重要的作用。但在物理學中疊加原理并不是一條普遍的原理,只有當描寫物質運動的微分方程是線性方程時,才可應用疊加原理進行分析計算。本文列舉疊加原理在電場中電場強度的計算、磁場中磁感應強度的計算、電路分析,疊加原理的數學基礎及相關問題的討論計算等等。關鍵詞：疊加原理；電場強度；磁感應強度；應用；線性方程相關物理學原理：所謂疊加原理是指：幾種不同原因綜合所產生的總效果，等于這些不同原因單獨存在時產生效果的總和。自然界中有許多現象尤其是物理現象具有明顯的疊加性，在解決與這些現象的有關實際問題時應用疊加原理會使問題易于解決，同時疊加原理為解決這些問題提供了簡便方法。本文在總結分析疊加原理在電磁學、電路分析，對疊加原理的數學基礎及適用范圍予以討論，從而加深對疊加原理的認識理解，以便今后更好的加以應用。1.電場強度的分析計算電場中的電場力、電場強度、電勢、介質極化強度、電位移矢量，磁場中的磁場力、磁感應強度、磁場強度等等物理量的分析計算都可應用疊加原理使問題簡化[1]。若所求量為標量則直接相加減，若為矢量其疊加則服從平行四邊形定則。通常利用對稱性將矢量分解在兩個相互垂直的方向上，化矢量疊加為標量疊加簡化計算，當其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消時，就轉化為一個方向的標量疊加。大家熟知，一個半徑為R，帶電量為q的均勻帶電圓環，可以看成許許多多線元的疊加，而任一線元在軸線上一點產生的電場強度為一矢量，方向沿徑向?）（k，根據其電場的對稱性分析知場強只有沿軸向分量，因而將矢量疊加退化成標量疊加，由電荷的場強公式疊加求積分得軸線上一點的場強為?E?qz4??0(R?z)2232?k(1.1)若求軸線上一點電勢則可直接將點電荷電勢公式求積分而得U?14??02qz?R2(1.2)我們在應用疊加原理解決電場、磁場問題時，要注重思維的發散性，方法的

小論文21靈活性，體現疊加的靈魂與思想。如用上述方法求得均勻帶電的圓弧在其中心4點產生的電場強度為?E?????i?j4??0R4??0R(1.3)其中?為電荷線密度，如圖所示：yEOO(a)E圖1.1(b)疊加原理應用的靈活性(c)xxEEExyEy?則均勻帶電半圓環y軸分量相互抵消，中心點的E??零，由公式（1.1）令z=0同樣得E?0。???i；均勻帶電圓環E為2??0R若把均勻帶電圓盤看成是一個個細圓環的疊加，則由公式（1.1）積分得圓盤軸線上一點的場強為??E?(1?2?0zR?z22)(1.4)若許許多多這樣的圓盤疊加起來可以組成一個均勻帶電球體，亦可求積分得其產生的場的分布。廣而推之這樣的疊加思想可以用下面的積分公式統一表示，?1?dl?r(?為電荷線密度)E?e?2?l4??0r??1?dS?r(?為電荷面密度)E?e???Sr24??0??1?dV?r(?為電荷體密度)E?e?2???V4??0r?2.磁感應強度的分析計算（1.5）無窮長導線載有電流I，在中間彎成一半徑為R的半圓弧，其余部分則與圓的軸線平行，如圖所示，圓弧中心OI2zROyx圖1.2載流導線的磁感應強度

小論文3?的磁感應強度B等于兩半無窮長直線與半圓電流在圓心處產生的磁感應強度[3]的疊加。根據Biot-Savart定律和對稱性，兩段直線電流在O點產生的磁感應強度大小相等，方向相同，都沿圖中z軸方向。每一段所產生的B1大小為B1???0?0Idl?0IR?Rdl?4??0(l2?R2)4?(l2?R2)l2?R232??IR??0Il?0???4??R2l2?R2?l?04?R（1.6）l??半圓電流在O點產生的磁感應強度B2方向沿x軸負方向。其大小為B2???R0?0Idl?0I?0I???R?4R4?R24?R2（1.7）于是得所求的磁感應強度為??0I??0I??0I?2???Bi?B?2B1k?i?k?(i?k)24R2?R4R?（1.8）B與x軸的夾角為????arctan2?（1.9）類似的問題有許多，我們不再重復，而疊加原理作為一種基本方法其在應用中的簡潔性、技巧性同樣值得我們深刻靈活的加以理解應用。3.疊加原理的應用技巧??電偶極矩為p?ql的電偶極子，在空間任一點產生電場強度的計算，若在球坐標下由點電荷場強公式與疊加原理去計算，數學化解過程相當復雜，用到的數學知?識也有一定的難度，但若將原來電偶極子在P點產生的電場強度E，看成是兩個相????互垂直的電偶極子（電偶極矩分別為p1和p2）在P產生的電場強度Er和E?的疊加，則可極大的簡化計算過程降低計算難度。如圖所示，P點到電偶極子中心的距離為r,r與l的夾角為?,其中p1?pcos?p2?psin?P1EQPEEl(1.10)-qP2+q這樣就可以利用電偶極子延長線和中垂線圖1.3電偶極子的場強上的場強公式進行計算。其中延長線上離電偶極子中心O為r處的電場強度大小為3

小論文4E?2rP12P?4??02l224??0r3(r?)4114??0P(r2?l)4232(1.11)中垂線上離電偶極子中心O為r處的電場強度大小為E????P4??0r31(1.12)?電偶極矩為p1的電偶極子在P點產生的電場強度Er沿r方向上，大小為Er?2p12pcos??4??0r34??0r31(1.13)?電偶極矩為p2的電偶極子在P點產生的電場強度E?沿垂直r方向上，大小為E???P點的合成電場強度E的大小為E?Er2?E?2?p4??0r3p2psin??4??0r34??0r31(1.14)4cos2??sin2??p4??0r33cos2??1(1.15)??Esin?1E與r的夾角為??arctg??arctg?arctg(tg?)Er2cos?2(1.16)4.線性電路中電流電壓的計算求解線性電路時，一般應用電路分析的基本定律基爾霍夫定律求解，但對于一些有幾個電源共同作用的線性電路，應用疊加原理求解更易理解且可簡化計算。應用疊加原理時，各支路的電流(或電壓)等于各個電源分別單獨作用時在該支路產生的電流(或電壓)的代數和(疊加)。考慮任一獨立源單獨作用下,其它獨立源應視為零值,即獨立電壓源用短路代替,獨立電流源用開路代替,而全部受壓源則應該保留。應用疊加時要注意電流或電壓的參考方向，正確選取各分量的正負號]。用基爾霍夫定律和疊加性求解電路問題各有其優缺點，用基爾霍夫定律求解根據回路個數列方程便于求解回路個數較少的電路，而用疊加原理求解根據獨立源個數列方程，對于獨立源較少而回路個數較多的復雜電路用疊加原理求解更簡便。若計算如圖2.1所示電路中各支路電流。已知E1=10V，E2=6V，R1=10?R2=90?，R3=0.1?，R4=0.2?。通常由基爾霍夫方程聯立求解：4，

小論文5?I1?I2?I3?0??I1(R1?R4)?I2R2?E1?IR?IR?E332?22（2.1）得各支路電流或電壓，這樣解方程組數學運算較復雜，尤其是對于支路回路數較多的復雜電路就更復雜了，一旦數學計算上出錯，則全盤皆輸。I3R2+R1I1E1R4I2R3R1Iˊ1E1R4Iˊ2Iˊ3R2R3I1"R1I3"I2"R2+R3E2-（a）R4（b）（c）E2-圖2.1原電路及電源單獨作用時的電路而由疊加原理，E1和E2單獨作用時的電路，如圖2.1（b）、（c）所示。根據圖（b）可由電路歐姆定律求得E1單獨作用時各支路的電流，即?I1?R?R3R4?R1?2R2?R3E1?1090?0.10.2?10?90?0.1?0.97A（2.2）?根據圖（c）可由歐姆定律得I3?0.647A由分流公式求得E2單獨作用時各支路的電流，即?I1?R290?I3??0.647?0.581AR1?R4?R210.2?90（2.3）??由疊加原理得：I1?I1?I1?0.97?0.581?0.389A??同理可求得：I2?I2?I2?0.067A??I3?I3?I3??0.322A（2.4）（2.5）由上述分析可聯想到對于有較少電源作用的復雜線性電路只需求某一支路的電流時，應用疊加原理及基本電路定律就可便潔地解決問題。5.疊加原理的數學基礎（1）電磁場方程由麥克斯韋方程組知：5

小論文6??0??E?（其中?0為自由電荷體密度）?0（6.1）?又因為E???U則電勢滿足泊松方程?U?????B?0（6.2）?0?0（6.3）若在沒有自由電荷的地方，電勢滿足拉普拉斯方程?U?0（6.4）可見（6.1）、（6.2）式為一階線性偏微分方程，（6.3）、（6.4）式為二階線性偏微分方程，即靜電場、靜磁場的數學模型是線性的。（2）線性電路方程如圖2.1的直流線性電路，由電路分析的基本定律基爾霍夫定律列出的方程是線性代數方程，若為交流動態涉及儲能元件C、L的電路，由基爾霍夫定律列出的方程是一階線性常微分方程，如最簡單的RC串聯電路的放電過程，如圖6.1，a+U0-SbuC+-RiC列出的方程：RCduc?uc?0dt（6.5）為一階線性常微分方程。圖6.1RC串聯電路與相關專業的聯系：以支路電流為求解對象，直接應用KCL和KVL分別對結點和回路列出所需的方程組，然后，解出各支路電流。電路中的疊加原理，在一個線性電路中，如果有多個電源同時作用時，任一支路的電流或電壓，等于這個電路中各個電源分別單獨作用時，在該支路中產生的電流或電壓的代數和，一般適合求解電源較少的電路。戴維寧定理是先求出有源二端網絡的開路電壓和等效內阻，然后，將復雜的電路化成一個簡單的回路，一般適合于求解某一支路的電流或電壓。支路電流法、疊加原理、戴維寧定理是分析復雜電路最常用的三種方法。參考文獻：[1]邱方,李艷芳.疊加原理在物理學中的應用例析[J].南昌高專學報,2000,(4):52-54.[2]鄭民偉.均勻帶電半圓環的電場和電勢[J].廣州航海高等專科學校基礎部,2001,16(1)：66-69.6

小論文7[3]何紅雨.載流圓弧導線圓心處磁感應強度的計算[J].廣西右江民族師范專科學校1999,20(1):22-23.[4]唐小愚.疊加原理在含受控源的線性電路中的應用[J].貴州工業學,2000,18(1):88-89.[5]孫維興.關于疊加原理的思考[J].電工教學,1994,16(03):67-68.[6]梁昆淼,劉法,繆國慶.數學物理方法[M].北京:高等教育出版社,180—221.[7]關洪.關于量子力學中態疊加原理的討論[J].中山大學物理系2007,26(1):7-9.[8]周世勛.量子力學教程[M].北京:高等教育出版社,1979.[9]馬秀艷,韓國松.疊加原理的數學基礎及其在物理上的應用[J].安陽師范學院學報，2006(5):24-26.[10]同濟大學數學系.高等數學[M].北京:高等教育出版社,2007,294-341.7