Sobolev方程的線性元超逼近性分析

2024年3月12日發(fā)(作者：梅龍湖)

第２７卷　第４期　

Ｖ＿０１．２７　Ｎｏ．４　

新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＸｉｎｘｉａｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　

２０１０年８月　

Ａｕｇ．２０１０　

Ｓｏｂｏｌｅｖ方程的線性元超逼近性分析　

王彩霞　

（華北水利水電學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，鄭州４５００１１）　

摘要：采用混合有限元法，在線性有限元空間上，分析了Ｓｏｂｏｌｅｖ方程的半離散格式，得到了超逼近結(jié)果。　

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：Ａ　文章編號(hào)：１６７４—３３２６（２０１０）０４－００２１－０２　

關(guān)鍵詞：混合有限元；Ｓｏｂｏｌｅｖ方程；半離散；超逼近　

中圖分類號(hào)：Ｏ２４１．２１　

Ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　Ｌｉｎｅａｒ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔｓ　ｆｏｒ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　

ＷＡＮＧ　Ｃａｉ．ｘｉａ　

（Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｎｏｒｔｈ　Ｃｈｉｎａ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　

ｏｆ　Ｗａｔｅｒ　Ｃｏｎｓｅｒｖａｎｃｙ　Ｅｌｅｃｔｒｉｃ　Ｐｏｗｅｒ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ　４５００１　１，Ｃｈｉｎａ）　

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｓｅｍｉ－ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｓｏｂｏｌｅｖ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｉｓ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｏｎ　ｌｉｎｅａｒ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｓｐａｃｅｓ　ｂｙ　

ｉｎｔｒｏｄｕｃｉｎｇ　ｔｈｅ　ｍｉｘｅｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ　ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ　ｓｕｐｅｒ－ｃｌｏｓｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　ｉｓ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．　

Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍｉｘｅｄ　ｆｉｎｉｔｅ　ｅｌｅｍｅｎｔ；Ｓｏｂｏｌｅｖ　ｅｑｕａｔｉｏｎ；ｓｅｍｉ?ｄｉｓｃｒｅｔｅ；ｓｕｐｅｒｃｌｏｓｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｙ　

Ｏ　引言　

考慮　×（０，Ｔ】上的方程　

ｆ　一Ｖ?（口（　，ｔ）Ｖｕｆ＋ｂ（ｘ，ｔ）Ｖｕ）＝ｆ（ｘ，ｆ），　（Ｘ，ｔ）∈　×（０，　】；　

｛ｕ（ｘ，ｆ）＝０，　（　，ｆ）∈ａ．　×（０，　】．　（１）　

【“（?，０）＝Ｕｏ（Ｘ），　

為給定的具有有界導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù)，且滿足　

Ｉ６Ｉ≤ｃｔｏ，０＜　ａ　ａ２，Ｉａｔ　ｌ　

ｘ∈　

其中：　為　上的有界區(qū)域，其邊界為０．６２；ｕ（ｘ，ｆ）、ｆ（ｘ，ｔ）為已知函數(shù)；ａ（ｘ，ｆ）、ｂ（ｘ，ｔ）（以下簡(jiǎn)記為ａ、ｂ）　

，ａ，ｂ∈Ｗ１，ｏｏ（　）。　（２）　

根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義，引入中間變量Ｐ＝ａＶｕｔ＋ｂＶｕ，則方程（１）可化為　

｛【　＋ａＶｕ　ｔ　　＝。ｂＶｕ　Ｐ　　

公式可得（３）式的混合變分形式，即求（　，Ｐ）：（Ｏ，Ｔ】　Ｖ×Ｍ使得　

●㈣　一．’Ｉ　

…　

記Ｖ＝　（　、Ｍ＝（　（　）　，用（３）式中的２個(gè)方程分別與ｖ（ｖ∈　）、ｗ（ｗ∈　）在　上作內(nèi)積，再利用Ｇｒｅｅｎ　

ｆ（“，，Ｖ）一（Ｐ，　Ｖ）＝（廠，Ｖ），　Ｖｖ∈　

【（ｐ，Ｗ）一（ａＶｕ，＋ｂＶｕ，Ｗ）＝０，Ｖｗ∈Ｗ。　

文獻(xiàn)【１】考慮了應(yīng)用雙線性元于（１）的問(wèn)題，得到了相應(yīng)的超逼近性結(jié)果；文獻(xiàn)【２】討論了（４）的混合有限　

元方法，但僅得到了收斂性結(jié)果。在此基礎(chǔ)上，筆者研究了（１）的一種混合有限元格式，并利用平均值技巧　

導(dǎo)出了其超逼近性結(jié)論，彌補(bǔ)了文獻(xiàn)【１—２】結(jié)論的不足。　

ｌ　單元的構(gòu)造及逼近格式　

為了方便起見(jiàn)，設(shè)　是　上的有界多邊形區(qū)域，其邊界　平行于　軸與Ｙ軸，　是　上的正則［　】　

矩形剖分族，Ｖ　∈　；設(shè)中心位于（　，　），４個(gè)頂點(diǎn)分別是ａｌ（ｘＫ一　，Ｙｘ一　）、　（　＋　，　一廳　）、　

收稿日期：２０１０．０５．０６　修回日期：２０１０．０７．１ｌ　

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（１０６７１１８４，１０９７１２０３）；河南省教育廳自然科學(xué)研究計(jì)劃項(xiàng)目（２０１０Ｂ１１００１７）　

作者簡(jiǎn)介：王彩霞（１９７９一），女，河南開(kāi)封人。講師，博士，研究方向：有限元方法。Ｅ－ｍａｉｌ：ｗａｎｇｃａｉｘｉａ＠ｎｃｗｕ．ｅｄｕ．ｃｎ。　

?

２２?　新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版　

＋　，　＋　）、ａ４（　－４＜，　＋　）。又設(shè)Ｋ＝卜１，ｌ】　是　－７７平面上的參考元，中心位于（０，ｏ），４個(gè)頂點(diǎn)分　

別為ａ　（一ｌ，－Ｉ）、龜（１，一１）、ｈ３（１，１）、幺（一ｌ，１），則存在可逆的仿射變換　：　

在　上構(gòu)造有限元（　

∑　＝｛　，　，　）；其中　＝　（　），（ｆ＿ｌ，２，３，４），　＝　ｄ釉　，　＝　

，即ｘ＝ｘｒ＋　，　＝　＋　７７。　

７７，　，＝　７７ｄ　７７。容易驗(yàn)證：　

，　ｆ）），（ｆ＝ｌ，２）如下：　”＝ｓｐａｎ０，ｇ，７７，勃），∑＝｛　，　，　，　）；Ｐ（　）＝ｓｐａｎ｛１，　，１７｝，　

Ｖ　∈　（Ｋ），其插值函數(shù)　）　（ｆ＿１，２）可分別表示為：　）　＝（　１＋　２＋　３＋　４）／４＋（　２＋　３一　ｌ—ｖ４）　／４＋　

（　＋　一　一￣２）ｒ／／４＋（　＋　一　一　）　７７／４，　（　）　＝￣＇５１４＋３　／４＋３７７１７／４。　

定義一般單元　上的如　如下：　

。　

＝ｖ（　７７），　＝　７７），相應(yīng)的有限元空間分別為　：吼　

‘

，　

∈　“

，

ＶＫｅＴ￣，　∈　，　Ｉｏａ＝０｝和　＝　：　ｌ　＝　。　，　∈　）ｘ／＊　，ＶＫｅ￣｝，容易驗(yàn)證Ｖ　ｃ　。　

：　，１ｔｋｖ＝　。　，　：　（　，砰Ｉ　ｐ＝　×　。　’，并考慮（４）式的半　

×　，使得：　

定義插值算子：　

離散格式：求（　，ｐ　）：（ｑ刀　

ｆ（　，　）一（　，Ｖ　）＝（廠，　），　

２　主要結(jié)論　

Ｖ　∈　；　，　

一　【（　，　）一（口Ｖ‰＋ｂＶｕ＾，ｗ＾）＝０，Ｖｗ＾∈　。　

為了進(jìn)行超逼近分析，令ｒｌ＝ｕ－￣ｕ，，ｏ＝ｐ－￣ｐ；記　一　＝　一兀１　＋（兀ｌ“一　）＝７７＋　，ｐ—　＝　一刀２　＋　

（ＺＺ　ｐ—ｐｈ）＝ｐ＋　，由（４）式和（５）式，可得誤差方程：　

ｆ（７／－，，　）＋（　，ｖｈ）＋（ｐ，Ｖｖ＾）＋（　，Ｖｖ＾）＝０，　Ｖｖ＾∈　；　，　

一　【（　，　）＋（　，　）＝　（Ｖ　＋Ｖ　）＋ｂ（Ｖｒ／＋Ｖ　），ｗ＾），Ｖｗ＾∈　。　

定理１：設(shè)（“，ｐ）和（　，　）分別是（４）式和（５）式的解，當(dāng)“，　∈Ｈ。（　），則有如下結(jié)果：　

Ｉ１　一ｒｌ￣＇ｕ　Ｉｌ＋Ｉ１　ｚ　，一Ｆｌ￣ｕ，ｌＩ１≤ｃｈ　【ｅ（１　幢＋Ｉ１Ｉ　舊＋ｌ　幢＋ＩＩＩ“幛）ｄ　】　。　

證明：在（６）式第１方程中取　＝　，第２方程中取ｗ＾＝Ｖ　，聯(lián)立求得：（　

（７）　

，ｖｇ）＋Ｇ，　＝－（ａＶｒａ，Ｖ　一　

（　７ｊｌ　一（　一　，　，令ａ４Ｘｌ＿【，　，ｂ４Ｋｌ一．【，６（ｂ　，則由文獻(xiàn)【２］可知，Ｉａ－ａｌ＜＆，１ｂ－ｂｉｇ＆。另一　

ｌｌ０，６（　＝　Ｉ　ＩＶ（１ｌ。，故有：（ａｖｇ，ｖｏ　＝　一　

，ｖｏ＝　，ＶＯ—ｂ（ＶａＶＯ。由（２）式、Ｃａｕｃｈｙ、Ｙｏｕｎｇ不等式和　

方面，由文獻(xiàn)【２］之引理１．１，可知ａ（ｖｒ￣，　＝　Ｉ　ｒ／，　

ａ）Ｖｒ￣，ＶＯ一（（６一ｂ）Ｖｒ，Ｖｇ）一（ｂＶ（，ＶＯ一　，　一　

２－　ｄｌｌ　一　（ｑ　可得：ｄｌｌＶ￣ｌｌ＝ｏ／ａ＋ｄｌｌ（１７，／ａ＿＜ｃ（Ｙ　矗惦　８Ｖ，￣ｌ　＋１ｌｒ／憾＋　Ｂ＋０Ｖ（１ｌｂ＋ｄ／（］ｒｔＩ；＋Ｉ　７７１］）。　

２邊從。到ｆ積分，可得ｆｆ　ｖ４＂ｌ　＋ｆｆ　ｆ２。　Ｉ　ｔ（　ｆｉ　Ｖ　惦＋　ｆ　ｆＶｒ／ｌ５＋ｆｆ　ｒ／，惦十Ｉｆ　惦＋『ｌ　ｖ（ＩＩＤ＆砌　Ｊ：（ｆ　＋　

ｌ　ｒ／Ｉ；）　。由Ｇｒｏｎｗａｌｌ引理，可得　

Ｉｌ　５＋　ｃ　（　Ｖ　３＋　Ｖ　＋ｌｌ　ｒｈ　ｌ５）　ｒＤ　Ｉ　ｒ／ＩＩ）ｄｓ。　（８）　

在（６）式第ｉ方程中取ｙ＾＝　，第２方程中取　＝　，聯(lián)立求得：　＋（　ｇ）＝－－（ａｖ￣，　一（ｂＷ，Ｖｇ）一　

（ｒ／，，　），由Ｃａｕｃｈｙ、ｙｏｕｎｇ不等式，類似（８）的證明過(guò)程，可得　Ｉ　≤　０　略斬Ｉｌ　Ｉｌｒ／４　＋１　Ｉ１　）＋　

０　７７５　，把（８）代入上式，可得ｌ　１Ｂ　Ｉ　皓Ｉ　ｌ　７７　０　７７８　）　Ｉ　蛞　８　叫　ｌ０　７７ｇ　

＋１ｒ＃ｌ￣，由Ｇｒｏｎｗａｌｌ引理，可得ｆｌ　腮＜ｃｃ　０　憾　《　＋Ｉ理憾）凼＋ａｈ４　Ｃ（ｆｒｈ　Ｂ＋ｆ　ｒ￣ｌ１）ｄｓ。由于珥，“∈　，則　

有Ｉ　：，１　９。　Ｉｌ０　Ｉ　ｚ｛８　，于是，有４　ｄ　睦叫　幢　ｚｆ《　“ｇ　，１　ｆｎ　ｚｆ匿叫　ｚｆｇ　贍　，　

綜合有：０　一　ｕｌｌ　＋ＩＩ　一　

參考文獻(xiàn)：　

ｃｈ　【ｆ；（ｉ　＋　幢＋　Ｉｉ；＋１“Ｉ；）　】　，即（７）式成立。　

【１】鄭克龍．Ｓｏｂｏｌｅｖ方程的混合有限元法［Ｄ］．成都：四川大學(xué)數(shù)學(xué)系，２００５．　

［２】林群，嚴(yán)寧寧．高效有限元構(gòu)造與分析【Ｍ】．保定：河北大學(xué)出版社，１９９６：５－１５２　

【３】ＣＩＡＲＬＥＴ　Ｐ　Ｇ　Ｔｈｅ　Ｆｉｎｉｔｅ　Ｅｌｅｍｅｎｔ　Ｍｅｔｈｏｄ　ｆｏｒ　Ｅｌｌｉｐｔｉｃ　Ｐｒｏｂｌｅｍ［Ｍ］．Ｎｏｒｔｈ－Ｈｏｌｌａｎｄ　Ａｍｓｔｅｒｄａｍ，１　９７８：１３２．　

【責(zé)任編輯王云鵬】