反正弦函數（數學函數模塊術語）

反正弦函數（數學函數模塊術語）

反正弦函數 （數學函數模塊術語） 次瀏覽 | 2022.11.08 14:11:02 更新 來源 ：互聯網 精選百科 本文由作者推薦 反正弦函數數學函數模塊術語

在數學中，反三角函數（antitrigonometric functions），偶爾也稱為弓形函數（arcus functions），反向函數（rever function）或環形函數（cyclometric functions））是三角函數的反函數（具有適當的限制域）。具體來說，它們是正弦，余弦，正切，余切，正割和輔助函數的反函數，并且用于從任何一個角度的三角比獲得一個角度。反三角函數廣泛應用于工程，導航，物理和幾何。反正弦函數（反三角函數之一）為正弦函數y=sinx（x∈[-?π,?π]）的反函數，記作y=arcsinx或siny=x（x∈[-1,1]）。由原函數的圖像和它的反函數的圖像關于一三象限角平分線對稱可知正弦函數的圖像和反正弦函數的圖像也關于一三象限角平分線對稱。

中文名

反正弦函數

表達式

y=arcsinx

英文名

arcsine

釋 義

正弦函數的反函數

領 域

數學術語

定義域

[-1，1]

基本介紹

正弦函數y=sinx，x∈[-?π,?π]的反函數叫做反正弦函數，記作y=arcsinx，x∈[-1,1]。

習慣上用x表示自變量，用y表示因變量(函數值)，所以反正弦函數寫成y=arcsinx的形式

請注意正弦函數y=sinx，x∈R因為在整個定義域上沒有一一對應關系，所以不存在反函數。

反正弦函數只對這樣一個函數y=sinx，x∈[-?π,?π]成立，這里截取的是正弦函數靠近原點的一個單調區間，叫做正弦函數的主值區間。

理解?函數y=arcsinx中，y表示的是一個弧度制的角，自變量x是一個正弦值，siny=x或x=siny更易理解。

性質

根據反函數的性質，易得函數y=arcsinx的

arcsinx的含義：

（1）這里的x滿足；

（2）arcsinx是（主值區）上的一個角（弧度數）；

（3）這個角（弧度數）的正弦值等于x，即sin（arcsinx）=x.

函數圖象：我們知道這個結論“函數y=f（x）的圖象和它的反函數y=f-1（x）的圖象關于直線y=x對稱”，先畫出函數y=sinx在上的圖象，用平板玻璃或透明紙畫好圖象，翻轉過來，從圖象上我們可以得到以下兩個結論：

（1）反正弦函數y=arcsinx在區間【-1，1】上是增函數；

（2）反正弦函數y=arcsinx的圖象關于原點對稱，這說明它是奇函數，也就是arcsin（-x）=-arcsinx，x∈【-1，1】.

恒等式

sin(arcsinx)=x，x∈[-1，1](arcsinx)'=1/√(1-x^2)

arcsinx=-arcsin(-x)

arcsin（sinx)=x?，x屬于[-π/2，π/2]

圖像

我們知道這個結論函數f(x)的圖像和它的反函數的圖像關于直線y=x對稱”，

先畫出函數y=sinx在[－π/2，π/2]上的圖像，用平板玻璃或透明紙畫好圖像，翻轉過來。

證明單調性

在x，y∈[-π/2,π/2]x<y時：

sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2]

∵2sin[(x-y)/2]∈[-π,0]<>0

cos[(x+y)/2]∈[-π,0]><0

∴sinx-siny<0,sinx<siny.

∴在-1<x<y<1時，arcsinx<arcsiny

∴是增函數

奇偶性

∵y=sinx,y=x都是奇函數，∴y=arcsinx也是奇函數

應用

臨界角是最少的入射角使得全內反射發生。入射角是由折射界面的法線量度。

其中n2是較低密度介質的折射率，及n1是較高密度介質的折射率。這條方程式是一條斯涅爾定律的簡單應用，當中折射角為90°。?　當入射光線是準確的等于臨界角，折射光線會循折射界面的切線進行。以可見光由玻璃進入空氣（或真空）為例，臨界角約為41.5°。

參考資料