互質(zhì)（數(shù)學(xué)術(shù)語）

互質(zhì)（數(shù)學(xué)術(shù)語）

互質(zhì) （數(shù)學(xué)術(shù)語） 次瀏覽 | 2022.08.22 12:11:15 更新 來源 ：互聯(lián)網(wǎng) 精選百科 本文由作者推薦 互質(zhì)數(shù)學(xué)術(shù)語

互質(zhì)是公約數(shù)只有1的兩個整數(shù)，叫做互質(zhì)整數(shù)。公約數(shù)只有1的兩個自然數(shù)，叫做互質(zhì)自然數(shù)，后者是前者的特殊情形。

互質(zhì),若N個整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱這N個整數(shù)互質(zhì)。

中文名

互質(zhì)

外文名

relatively?prime

所屬學(xué)科

數(shù)學(xué)

別名

互素

表達(dá)式

（c,m）=1

應(yīng)用領(lǐng)域

計算機(jī)

定義

互質(zhì),若N個整數(shù)的最大公因數(shù)是1，則稱這N個整數(shù)互質(zhì)。

例如8,10的最大公因數(shù)是2，不是1，因此不是整數(shù)互質(zhì)。[2]

7,11,13的最大公因數(shù)是1，因此這是整數(shù)互質(zhì)。

5和5不互質(zhì)，因?yàn)?和5的公因數(shù)有1、5。

1和任何數(shù)都成倍數(shù)關(guān)系，但和任何數(shù)都互質(zhì)。因?yàn)?的因數(shù)只有1，而互質(zhì)數(shù)的原則是：只要兩數(shù)的公因數(shù)只有1時，就說兩數(shù)是互質(zhì)數(shù)。因?yàn)?只有一個因數(shù)所以1既不是質(zhì)數(shù)（素數(shù)），也不是合數(shù)，無法再找到1和其他數(shù)的別的公因數(shù)了。1和-1與所有整數(shù)互素，而且它們是唯一與0互素的整數(shù)。

互質(zhì)數(shù)的寫法：如c與m互質(zhì)，則寫作（c,m）=1。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材對互質(zhì)數(shù)是這樣定義的：“公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。”

這里所說的“兩個數(shù)”是指自然數(shù)。

“公約數(shù)只有?1”，不能誤說成“沒有公約數(shù)。”

這里有一個誤區(qū)，認(rèn)為0不與任何數(shù)互質(zhì)。嚴(yán)格地按照互質(zhì)的定義來看0與1，-1均互質(zhì)，通過任意有理數(shù)的表示方式a/b（a,b互質(zhì)且b為正整數(shù)），同樣可以得出0與1，-1均必須互質(zhì)，否則0不是有理數(shù)。

判別方法

（1）兩個不同的質(zhì)數(shù)一定是互質(zhì)數(shù)。

例如，2與7、13與19。

（2）一個質(zhì)數(shù)，另一個不為它的倍數(shù)，這兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

例如，3與10、5與?26。

（3）1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，它和任何一個自然數(shù)（1本身除外）在一起都是互質(zhì)數(shù)。如1和9908。

（4）相鄰的兩個自然數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如?15與?16。

（5）相鄰的兩個奇數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如?49與?51。

（6）較大數(shù)是質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如97與88。

（7）兩個數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差又較大），較小數(shù)所有的質(zhì)因數(shù)，都不是較大數(shù)的約數(shù)，這兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

如357與715，357=3×7×17，而3、7和17都不是715的約數(shù)，這兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)。

（8）兩個數(shù)都是合數(shù)（二數(shù)差較小），這兩個數(shù)的差的所有質(zhì)因數(shù)都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如85和78。85－78=7，7不是78的約數(shù)，這兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（9）兩個數(shù)都是合數(shù)，較大數(shù)除以較小數(shù)的余數(shù)（不為“0”且大于“?1”）的所有質(zhì)因數(shù)，都不是較小數(shù)的約數(shù)，這兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。如?462與?221

462÷221=2……20，

20=2×2×5。

2、5都不是221的約數(shù)，這兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。

（10）減除法。如255與182。

255－182=73，觀察知?73<82。

182－（73×2）=36，顯然?36<73。

73－（36×2）=1，

（255，182）=1。

所以這兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)。?

三個或三個以上自然數(shù)互質(zhì)有兩種不同的情況：一種是這些成互質(zhì)數(shù)的自然數(shù)是兩兩互質(zhì)的。如2、3、5。另一種不是兩兩互質(zhì)的。如6、8、9。

編程語言實(shí)現(xiàn)C語言

int?gcd(int?a,int?b)

{

if(b==0)

return?a;

el

return?gcd(b,a%b);

}?//遞歸法求最大公約數(shù)，當(dāng)最大公約數(shù)是1的時候，兩個數(shù)互質(zhì)

if(gcd(x,y)==1)那么x,y互質(zhì)?[1]?

Java語言

public?int?gcd(int?a,?int?b)?{

if(a

swap(a,b);

}

if(b==0)

return?a;

el

return?gcd(b,a%b);

}

參考資料