高等數學函數

１.基本初等函數求導公式

(1)

0)(?

?

C

(2)

1)(??

????xx

(3)

xxcos)(sin?

?

(4)

xxsin)(cos??

?

(5)

xx2c)(tan?

?

(6)

xx2csc)(cot??

?

(7)

xxxtanc)(c?

?

(8)

xxxcotcsc)(csc??

?

(9)

aaaxxln)(?

?

(10)

(e)exx?

?

(11)

ax

x

aln

1

)(log?

?

(12)

x

x

1

)(ln?

?

，

(13)

21

1

)(arcsin

x

x

?

?

?

(14)

21

1

)(arccos

x

x

?

??

?

(15)

2

1

(arctan)

1

x

x

?

?

?

(16)

2

1

(arccot)

1

x

x

?

??

?

函數的和、差、積、商的求導法則

設

)(xuu?

，

)(xvv?

都可導，則

（1）

vuvu

?

?

?

?

?

?)(

（2）

uCCu

?

?

?

)(

（

C

是常數）

（3）

vuvuuv

?

?

?

?

?

)(

（4）

2v

vuvu

v

u

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

反函數求導法則

若函數

)(yx??

在某區間

y

I

內可導、單調且

0)(?

?

y?

，則它的反函數

)(xfy?

在對應

區間x

I

內也可導，且

)(

1

)(

y

xf

??

?

?

或

dy

dx

dx

dy1

?

復合函數求導法則

設

)(ufy?

，而

)(xu??

且

)(uf

及

)(x?

都可導，則復合函數

)]([xfy??

的導數為

dydydu

dxdudx

?

或

()()yfux????

?

２.雙曲函數與反雙曲函數的導數.

雙曲函數與反雙曲函數都是初等函數，它們的導數都可以用前面的求導

公式和求導法則求出．可以推出下表列出的公式：

(sh)chxx

?

?(ch)shxx

?

?

2

1

(th)

ch

x

x

?

?

2

1

(arsh)

1

x

x

?

?

?2

1

(arch)

1

x

x

?

?

?2

1

(arth)

1

x

x

?

?

?

三、基本初等函數的微分公式與微分運算法則

從函數的微分表達式:

d()dyfxx

?

?

可以看出，要計算函數的微分，只要計算函數的導數，再乘以自變量的微分．因此，可得如下的

微分公式和微分運算法則．

1．基本初等函數的微分公式

由基本初等函數的導數公式，可以直接寫出基本初等函數的微分公式．為了便于對照，列

表于下：

導數公式微分公式

1)(??

????xx

xxcos)(sin?

?

xxsin)(cos??

?

1d()dxxx?????

d(sin)cosdxxx?

d(cos)sindxxx??

xx2c)(tan?

?

xx2csc)(cot??

?

xxxtanc)(c?

?

xxxcotcsc)(csc??

?

aaaxxln)(?

?

xxee?

?

)(

ax

x

aln

1

)(log?

?

x

x

1

)(ln?

?

21

1

)(arcsin

x

x

?

?

?

21

1

)(arccos

x

x

?

??

?

21

1

)(arctan

x

x

?

?

?

2

1

(arccot)

1

x

x

?

??

?

2d(tan)cdxxx?

2d(cot)cscdxxx??

d(c)ctandxxxx?

d(csc)csccotdxxxx??

d()lndxxaaax?

d(e)edxxx?

1

d(log)d

lna

xx

xa

?

1

d(ln)dxx

x

?

2

1

d(arcsin)d

1

xx

x

?

?

2

1

d(arccos)d

1

xx

x

??

?

2

1

d(arctan)d

1

xx

x

?

?

2

1

d(arccot)d

1

xx

x

??

?

2．函數和、差、積、商的微分法則

由于函數和、差、積、商的求導法則，可推得相應的微分法則．為了便于對照，列成下表（表

中

)(),(xvvxuu??

都可導）．

函數和、差、積、商的求導法則函數和、差、積、商的微分法則

vuvu

?

?

?

?

?

?)(

uCCu

?

?

?

)(

vuvuuv

?

?

?

?

?

)(

2

)(

v

vuvu

v

u

?

?

?

?

?

d()dduvuv???

d()dCuCu?

d()dduvvuuv??

2

dd

d()

uvuuv

vv

?

?

現在我們僅證明乘積的微分法則.

3.復合函數的微分法則（一階微分形式的不變性）

一階微分形式不變性：設

f

是可微函數，

)(ufy?

，則無論

u

是自變量，或是另一個變量

x

的可微函數，都同樣有

d()dyfuu

?

?

．

4．例題

例3

)12sin(??xy

，求

dy

．

例4

2ln(1e)xy??

，求

dy

．

例5

13ecosxyx??

，求

dy

．

例6在下列等式左端的括號中填入適當的函數，使等式成立．

(1)

??ddxx?

;

(2)

??dcosdtt??

.