行列式的性質(zhì)(行列式的性質(zhì)與計(jì)算)

作者，【陌生，愛），哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)群友，就讀于湖北理工學(xué)院。

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今天小編想給大家講一下行列式，諸位看到行列式是不是覺得特別親切，大一的時(shí)候?qū)W習(xí)行列式有沒有很痛苦啊？——反正當(dāng)年小編學(xué)習(xí)這個(gè)是及其痛苦的——也許我比較笨吧，:)。

是否還記得《線性代數(shù)》或者《高等代數(shù)》里面的行列式定義？一般的教材對行列式的定義大概兩種吧，逆序定義和展開式定義，無論哪種定義方法，都讓我當(dāng)你感覺莫名其妙，一直要到很后面學(xué)習(xí)了線性方程組，建立了方程與行列式的聯(lián)系，才知道這些定義的意義。在沒有任何直觀意義的幫助下，學(xué)習(xí)行列式的各類性質(zhì)簡直和死記硬背沒有區(qū)別。

今天小編拋開這些通常線性代數(shù)或者高等代數(shù)教材上的定義，從幾何上讓讀者們更直觀的理解什么是行列式，并用幾何方法來介紹行列式的基本性質(zhì)。

那我們現(xiàn)在開始來說說行列式吧！首先來看簡單的二階行列式：

如上圖，平行四邊形OACB的面積為：

毫不意外的（取m = l = 1），我們用這種方式來記憶和角公式：

因此二階行列式的值，可以表示兩個(gè)向量所構(gòu)成的平行四邊形的面積。那么三階行列式表示什么含義呢？n階行列式又代表什么含義呢？類推一下相信大家就能想出來。沒錯(cuò)三階行列式的幾何意義為三維歐式空間里平行六面體的體積。當(dāng)然n階行列式就由n個(gè)n維向量組成，其結(jié)果為n維平行多面體的體積。

下面的文字我們將來解釋行列式基本性質(zhì)的幾何意義了。下面我們一起來看行列式性質(zhì)的幾何解釋，這里我們?nèi)《A或者三階行列式進(jìn)行說明。

性質(zhì)1：行列互換行列式不變（轉(zhuǎn)置）。

數(shù)學(xué)語言表述為：

幾何解釋：很顯然平行四邊形兩條鄰邊互換，它的面積依然不變。

這說明行列式的行和列等價(jià)，也就是說凡是對行成立的性質(zhì)，對列也成立。

性質(zhì)2：以一常數(shù)乘行列式的一行就相當(dāng)于用這個(gè)數(shù)乘以此行列式。

數(shù)學(xué)表述為：

對于二階行列式，我們看上圖就很直觀，我們將其中一個(gè)向量變成原來的k倍，面積也跟著變成了原來的k倍。

類似的三階行列式有，平行六面體體積的k倍相當(dāng)于其中一個(gè)向量變成原來的k倍。平行六面體體積的增大可以看成其中某個(gè)棱長增大相應(yīng)的倍數(shù)。

性質(zhì)3：如果某一行是兩組數(shù)的和，那么這個(gè)行列式就等于兩個(gè)行列式的和，而這兩個(gè)行列式除這一行以外全與原來的行列式對應(yīng)的行一樣。

數(shù)學(xué)表述為：

如圖所示，圖中的紫色平行六面體的體積可以看成兩個(gè)小平行六面體的體積之和，也就是說一個(gè)行列式可以通過拆分其中的一個(gè)列向量得到兩個(gè)行列式的和。

性質(zhì)4：如果行列式兩行成比例那么行列式為零。

數(shù)學(xué)表述為：

先考了特殊情形，當(dāng)k取1時(shí)，也就是說行列式有兩列或者兩行元素相等時(shí)，它所對應(yīng)的空間平行六面體的兩條鄰邊重合，相應(yīng)的就是將平行六面體壓成高度為零的二維平行四邊形，其體積為零，即行列式為零。當(dāng)k不等于1時(shí)，相對應(yīng)這組向量里面有共線的向量，即由n維降低到n-1維，對應(yīng)的度量體積為零。

性質(zhì)5：把一行的倍數(shù)加到另一行，行列式不變。

數(shù)學(xué)表述為：

這條性質(zhì)表述為，以向量a和b為底的平行六面體在向量a方向上做切向變換。我們知道將平行六面體平推它的體積依然不變。故對應(yīng)行列式的值不變。

性質(zhì)6：對換行列式兩行的位置行列式取反號。數(shù)學(xué)表述為：

因?yàn)橄蛄烤哂蟹较蛐裕绻覀儼逊嫌沂侄▌t的向量積定義為正值的話，則它的反向定義為負(fù)值。當(dāng)det（A）為負(fù)值時(shí)它就確定了原像的一個(gè)反射。

其實(shí)一個(gè)行列式的幾何意義是有向線段（一階行列式）或有向面積（二階行列式）或有向體積（高階行列式）。行列式是由各自坐標(biāo)軸上的有向線段所圍起來的有向體積的和。這就累加要注意方向，同向相加，反向相減。

相信讀者應(yīng)該理解了行列式的幾何意義了吧，是不是對行列式有了更新的認(rèn)識啊？其實(shí)小編一直的覺得很多數(shù)學(xué)量或者數(shù)學(xué)概念，都可以找出它所對應(yīng)的直觀意義，這樣我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就不會那么抽象那么難理解了，反而會很有意思。

最后希望大家能喜歡數(shù)學(xué)，反正小編就很喜歡數(shù)學(xué)——數(shù)學(xué)虐我千百遍，我卻待它如初戀——不管你信不信，反正我自己都不信，啊哈哈哈哈~~~。

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