和角公式與倍角公式
§4.5和角公式與倍角公式
1．cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C
α－
β
)
cos(α＋β)＝
____________________________(C
α＋β
)
sin(α－β)＝
____________________________(S
α－β
)
sin(α＋β)＝
______________________________(S
α＋β
)
tan(α－β)＝
tanα－tanβ
1＋tanαtanβ
(T
α－β
)
tan(α＋β)＝
tanα＋tanβ
1－tanαtanβ
(T
α＋β
)
前面4個公式對任意的α，β都成立，而
后面兩個公式成立的條件是α≠kπ＋
π
2
，
β≠kπ＋
π
2
，k∈Z，且α＋β≠kπ＋
π
2
(T
α＋β
需滿足)，α－β≠kπ＋
π
2
(T
α－β
需滿足)k∈Z
時成立，否則是不成立的．當tanα、tan
β或tan(α±β)的值不存在時，不能使用公
式T
α±β
處理有關問題，應改用誘導公式或
其它方法來解．
2．二倍角公式
sin2α＝__________________；
cos2α＝________________＝
__________＝__________；
tan2α＝______________.
3．在準確熟練地記住公式的基礎上，要靈
活運用公式解決問題：如公式的正用、
逆用和變形用等．如T
α±β
可變形為：
tanα±tanβ＝
________________________，
tanαtanβ＝________________＝
________________.
4．函數f(α)＝acosα＋bsinα(a，b為常數)，
可以化為f(α)＝____________或f(α)＝______，
其中φ可由a，b的值唯一確定．
[難點正本疑點清源]
1．正確理解并掌握和、差角公式間的關系
理解并掌握和、差角公式間的關系對掌
握公式十分有效．如cos(α－β)＝cosαcos
β＋sinαsinβ可用向量推導，cos(α＋β)
只需轉化為cos[α－(－β)]利用上述公式
和誘導公式即可．
2．辯證地看待和角與差角
為了靈活應用和、差角公式，可以對角
進行適當的拆分變換：已知角與特殊角
的變換、已知角
與目標角的變換、角與其倍角的變換、
兩角與其和差角的變換．如α＝(α＋β)
－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β),2α
＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·
α＋β
2
，
α＋β
2
＝
?
?
?
?
?
?
?
?
α－
β
2
－
?
?
?
?
?
?
?
?α
2
－β
等．
1．化簡：sin200°cos140°－cos160°sin40°
＝___________________________________.
2．已知sin(α＋β)＝
2
3
，sin(α－β)＝－
1
5
，則
tanα
tanβ
的值為________．
3．函數f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的單調增
區間為______________________．
4．(2011·遼寧)設sin(
π
4
＋θ)＝
1
3
，則sin2θ
等于()
A．－
7
9
B．－
1
9
C.
1
9
D.
7
9
5．若sin
?
?
?
?
?
?
?
?π
6
－α
＝
1
3
，則cos
?
?
?
?
?
?
?
?2π
3
＋2α
的值為
()
A.
1
3
B．－
1
3
C.
7
9
D．－
7
9
題型一三角函數式的化簡求值問題
例1(1)化簡：
(1＋sinθ＋cosθ)
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
θ
2
－cos
θ
2
2＋2cosθ
(0<θ<π)；
(2)求值：
1＋cos20°
2sin20°
－sin
10°
?
?
?
?
?
?
?
?1
tan5°
－tan5°
.
探究提高(1)三角函數式的化簡要遵循
“三看”原則，一看角，二看名，三看式
子結構與特征．
(2)對于給角求值問題，往往所給角都是非
特殊角，解決這類問題的基本思路有：
①化為特殊角的三角函數值；
②化為正、負相消的項，消去求值；
③化分子、分母出現公約數進行約分求
值．
(1)化簡：
?
?
?
?
?
?
?
?
1
tan
α
2
－tan
α
2
·
?
?
?
?
?
?
?
?
1＋tanα·tan
α
2
；
(2)求值：[2sin50°＋sin10°(1＋3tan
10°)]·2sin280°.
題型二三角函數的給角求值與給值求角
問題
例2(1)已知
π
2
<β<α<
3π
4
，cos(α－β)＝
12
13
，
sin(α＋β)＝－
3
5
，求sin2α；
(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)
＝
1
2
，tanβ＝－
1
7
，求2α－β的值．
探究提高(1)通過求角的某種三角函數
值來求角，在選取函數時，遵照以下原則：
①已知正切函數值，選正切函數；②已知
正、余弦函數值，選正弦或余弦函數；若
角的范圍是
?
?
?
?
?
?
?
?
0，
π
2
，選正、余弦皆可；若
角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的
范圍為
?
?
?
?
?
?
?
?
－
π
2
，
π
2
，選正弦較好．
(2)解這類問題的一般步驟為：
①求角的某一個三角函數值；
②確定角的范圍；
③根據角的范圍寫出所求的角．
(2011·廣東)已知函數f(x)＝
2sin
?
?
?
?
?
?
?
?1
3
x－
π
6
，x∈R.
(1)求f
?
?
?
?
?
?
?
?5π
4
的值；
(2)設α，β∈
?
?
?
?
?
?
?
?
0，
π
2
，f
?
?
?
?
?
?
?
?
3α＋
π
2
＝
10
13
，f(3β
＋2π)＝
6
5
，求cos(α＋β)的值．
題型三三角變換的簡單應用
例3已知f(x)＝
?
?
?
?
?
?
?
?
1＋
1
tanx
sin2x－
2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
x＋
π
4
·sin
?
?
?
?
?
?
?
?
x－
π
4
.
(1)若tanα＝2，求f(α)的值；
(2)若x∈
?
?
?
?
?
?
?
?π
12
，
π
2
，求f(x)的取值范圍．
探究提高(1)將f(x)化簡是解題的關鍵，
本題中巧妙運用“1”的代換技巧，將sin
2α，cos2α化為正切tanα，為第(1)問鋪
平道路．
(2)把形如y＝asinx＋bcosx化為y＝
a2＋b2sin(x＋φ)，可進一步研究函數的
周期、單調性、最值與對稱性．
(2010·天津)已知函數f(x)＝23sin
xcosx＋2cos2x－1(x∈R)．
(1)求函數f(x)的最小正周期及在區間[0，
π
2
]上的最大值和最小值；
(2)若f(x
0
)＝
6
5
，x
0
∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x
0
的
值．
6.構造輔助角逆用和角公式
解題
試題：(12分)已知函數f(x)＝2cosx·cos
?
?
?
?
?
?
?
?
x－
π
6
－3sin2x＋sinxcosx.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)當α∈[0，π]時，若f(α)＝1，求α的值．
審題視角(1)在f(x)的表達式中，有平方、
有乘積，而且還表現為有不同角，所以要
考慮到化同角、降冪等轉化方法．(2)當f(x)
＝asinx＋bcosx的形式時，可考慮輔助
角公式．
規范解答
解(1)因為f(x)＝2cosxcos
?
?
?
?
?
?
?
?
x－
π
6
－3
sin2x＋sinxcosx
＝3cos2x＋sinxcosx－3sin2x＋sin
xcosx[2分]
＝3cos2x＋sin2x＝2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2x＋
π
3
，
所以最小正周期T＝π.[6分]
(2)由f(α)＝1，得2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2α＋
π
3
＝1，
又α∈[0，π]，所以2α＋
π
3
∈
?
?
?
?
?
?
?
?π
3
，
7π
3
，[8
分]
所以2α＋
π
3
＝
5π
6
或2α＋
π
3
＝
13π
6
，
故α＝
π
4
或α＝
11π
12
.[12分]
第一步：將f(x)化為asinx＋bcosx的形
式．
第二步：構造：f(x)＝a2＋b2(sin
x·
a
a2＋b2
＋
cosx·
b
a2＋b2
)．
第三步：和角公式逆用f(x)＝a2＋b2
sin(x＋φ)(其中
φ為輔助角)．
第四步：利用f(x)＝a2＋b2sin(x＋φ)研
究三角函數的性質．
第五步：反思回顧．查看關鍵點、易錯點
和解題規范．
批閱筆記(1)在本題的解法中，運用了二倍
角的正、余弦公式，還引入了輔助角，技
巧性較強．值得強調的是：輔助角公式
asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)(其中
tanφ＝
b
a
)，或asinα＋bcosα＝a2＋b2
cos(α－φ)(其中tanφ＝
a
b
)，在歷年高考中
使用頻率是相當高的，幾乎年年使用
到、考查到，應特別加以關注．
(2)本題的易錯點是想不到引入輔助角或
引入錯誤．在定義域大于周期的區間上求
最值時，輔助角的值一般不用具體確定.
方法與技巧
1．巧用公式變形：
和差角公式變形：tanx±tany＝
tan(x±y)·(1?tanx·tany)；
倍角公式變形：降冪公式cos2α＝
1＋cos2α
2
，sin2α＝
1－cos2α
2
；
配方變形：1±sinα＝
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
α
2
±cos
α
2
2,1＋cos
α＝2cos2
α
2
，1－cosα＝2sin2
α
2
.
2．利用輔助角公式求最值、單調區間、周
期．y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋
φ)(其中tanφ＝
b
a
)有：a2＋b2≥|y|.
3．重視三角函數的“三變”：“三變”是
指“變角、變名、變式”；變角為：對
角的分拆要盡可能化成同名、同角、特
殊角；變名：盡可能減少函數名稱；變
式：對式子變形一般要盡可能有理化、
整式化、降低次數等．在解決求值、化
簡、證明問題時，一般是觀察角度、函
數名、所求(或所證明)問題的整體形式中
的差異，再選擇適當的三角公式恒等變
形．
4．已知和角函數值，求單角或和角的三角
函數值的技巧：把已知條件的和角進行
加減或二倍角后再加減，觀察是不是常
數角，只要是常數角，就可以從此入手，
給這個等式兩邊求某一函數值，可使所
求的復雜問題簡單化．
5．熟悉三角公式的整體結構，靈活變換．本
節要重視公式的推導，既要熟悉三角公
式的代數結構，更要掌握公式中角和函
數名稱的特征，要體會公式間的聯系，
掌握常見的公式變形，倍角公式應用是
重點，涉及倍角或半角的都可以利用倍
角公式及其變形．
失誤與防范
1．運用公式時要注意審查公式成立的條件，
要注意和、差、倍角的相對性，要注意
升次、降次的靈活運用，要注意“1”的
各種變通．
2．在(0，π)范圍內，sin(α＋β)＝
2
2
所對應
的角α＋β不是唯一的．
3．在三角求值時，往往要估計角的范圍后
再求值．
§4.5和角公式與倍角公式
(時間：60分鐘)
A組專項基礎訓練題組
一、選擇題
1．已知sinα＝
2
3
，則cos(π－2α)等于
()
A．－
5
3
B．－
1
9
C.
1
9
D.
5
3
2．(2011·福建)若α∈
?
?
?
?
?
?
?
?
0，
π
2
，且sin2α＋cos2α
＝
1
4
，則tanα的值等于()
A.
2
2
B.
3
3
C.2D.3
3．(2011·浙江)若0<α<
π
2
，－
π
2
<β<0，cos
?
?
?
?
?
?
?
?π
4
＋α
＝
1
3
，cos
?
?
?
?
?
?
?
?π
4
－
β
2
＝
3
3
，則cos
?
?
?
?
?
?
?
?
α＋
β
2
等于()
A.
3
3
B．－
3
3
C.
53
9
D．－
6
9
二、填空題
4．(2011·江蘇)已知tan
?
?
?
?
?
?
?
?
x＋
π
4
＝2，則
tanx
tan2x
的
值為________．
5．函數f(x)＝2cos2x＋sin2x的最小值是
________．
6．sinα＝
3
5
，cosβ＝
3
5
，其中α，β∈
?
?
?
?
?
?
?
?
0，
π
2
，
則α＋β＝________.
三、解答題
7．已知A、B均為鈍角且sinA＝
5
5
，sinB
＝
10
10
，求A＋B的值．
8．已知函數f(x)＝cos
?
?
?
?
?
?
?
?
2x－
π
3
＋
2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
x－
π
4
·sin
?
?
?
?
?
?
?
?
x＋
π
4
，求函數f(x)在區間
?
?
?
?
?
?
?
?
－
π
12
，
π
2
上的最大值與最小值．
B組專項能力提升題組
一、選擇題
1．已知銳角α滿足cos2α＝cos
?
?
?
?
?
?
?
?π
4
－α
，則
sin2α等于()
A.
1
2
B．－
1
2
C.
2
2
D．－
2
2
2．若將函數y＝Acos
?
?
?
?
?
?
?
?
x－
π
6
·sin
?
?
?
?
?
?
?
?
ωx＋
π
6
(A>0，ω>0)的圖象向左平移
π
6
個單位后
得到的圖象關于原點對稱，則ω的值可
能為()
A．2B．3
C．4D．5
3．在△ABC中，若tanA＋tanB＋3＝3
tanA·tanB，且sinAcosA＝
3
4
，則△ABC()
A．等腰三角形
B．等腰或直角三角形
C．等邊三角形
D．等腰直角三角形
二、填空題
4．化簡：sin2x＋2sinxcosx＋3cos2x＝
_________________________________________
__.
5.
3tan12°－3
?4cos212°－2?sin12°
＝________.
6．已知cos
?
?
?
?
?
?
?
?π
4
－α
＝
12
13
，α∈
?
?
?
?
?
?
?
?
0，
π
4
，則
cos2α
sin
?
?
?
?
?
?
?
?π
4
＋α
＝________.
三、解答題
7．已知cosα＝
1
7
，cos(α－β)＝
13
14
，且
0<β<α<
π
2
，
(1)求tan2α的值；
(2)求β.
8．設函數f(x)＝cos
?
?
?
?
?
?
?
?
2x＋
π
3
＋sin2x.
(1)求函數f(x)的最大值；
(2)設A，B，C為△ABC的三個內角,若
cosB＝
1
3
，f
?
?
?
?
?
?
?
?C
2
＝－
1
4
，且C為銳角，求sinA.
答案
要點梳理
1．cosαcosβ－sinαsinβ
sinαcosβ－cosαsinβ
sinαcosβ＋cosαsinβ
2．2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－1
1－2sin2α
2tanα
1－tan2α
3．tan(α±β)(1?tanαtanβ)1－
tanα＋tanβ
tan?α＋β?
tanα－tanβ
tan?α－β?
－1
4.a2＋b2sin(α＋φ)a2＋b2cos(α－φ)
基礎自測
1.
3
2
2.
7
13
3.
?
?
?
?
?
?
?
?
－
π
8
＋kπ，
3π
8
＋kπ
(k∈Z)
4．A5.D
題型分類·深度剖析
例1解(1)原式＝
?
?
?
?
?
?
?
?
2sin
θ
2
cos
θ
2
＋2cos2
θ
2
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
θ
2
－cos
θ
2
4cos2
θ
2
＝
cos
θ
2?
?
?
?
?
?
?
?
sin2
θ
2
－cos2
θ
2
?
?
?
?
?
?
?
?
cos
θ
2
＝
－cos
θ
2
·cosθ
?
?
?
?
?
?
?
?
cos
θ
2
.
因為0<θ<π，所以0<
θ
2
<
π
2
，
所以cos
θ
2
>0，所以原式＝－cosθ.
(2)原式＝
2cos210°
2×2sin10°cos10°
－
sin10°
?
?
?
?
?
?
?
?cos5°
sin5°
－
sin5°
cos5°
＝
cos10°
2sin10°
－sin10°·
cos25°－sin25°
sin5°cos5°
＝
cos10°
2sin10°
－sin10°·
cos10°
1
2
sin10°
.
＝
cos10°
2sin10°
－2cos10°＝
cos10°－2sin20°
2sin10°
＝
cos10°－2sin?30°－10°?
2sin10°
＝
cos10°－2
?
?
?
?
?
?1
2
cos10°－
3
2
sin10°
2sin10°
＝
3sin10°
2sin10°
＝
3
2
.
變式訓練1(1)
2
sinα
(2)6
例2解(1)∵
π
2
<β<α<
3π
4
，∴0<α－β<
π
4
，
π<α＋β<
3π
2
，
∴sin(α－β)＝
5
13
，cos(α＋β)＝－
4
5
，
∴sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)
＝－
3
5
×
12
13
＋
?
?
?
?
?
?
?
?－
4
5
×
5
13
＝－
56
65
.
(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]
＝
tan?α－β?＋tanβ
1－tan?α－β?tanβ
＝
1
2
－
1
7
1＋
1
2
×
1
7
＝
1
3
>0，∴0<α<
π
2
，
又∵tan2α＝
2tanα
1－tan2α
＝
2×
1
3
1－
?
?
?
?
?
?
?
?1
3
2
＝
3
4
>0，∴0<2α<
π
2
，
∴tan(2α－β)＝
tan2α－tanβ
1＋tan2αtanβ
＝
3
4
＋
1
7
1－
3
4
×
1
7
＝1.∵tanβ＝－
1
7
<0，
∴
π
2
<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－
3π
4
.
變式訓練2(1)2(2)
16
65
例3解(1)f(x)＝(sin2x＋sinxcosx)＋
2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
x＋
π
4
·cos
?
?
?
?
?
?
?
?
x＋
π
4
＝
1－cos2x
2
＋
1
2
sin2x＋sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2x＋
π
2
＝
1
2
＋
1
2
(sin2x－cos2x)＋cos2x
＝
1
2
(sin2x＋cos2x)＋
1
2
.
由tanα＝2，得sin2α＝
2sinαcosα
sin2α＋cos2α
＝
2tanα
tan2α＋1
＝
4
5
.
cos2α＝
cos2α－sin2α
sin2α＋cos2α
＝
1－tan2α
1＋tan2α
＝－
3
5
.
所以，f(α)＝
1
2
(sin2α＋cos2α)＋
1
2
＝
3
5
.
(2)由(1)得f(x)＝
1
2
(sin2x＋cos2x)＋
1
2
＝
2
2
sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2x＋
π
4
＋
1
2
.
由x∈
?
?
?
?
?
?
?
?π
12
，
π
2
，得
5π
12
≤2x＋
π
4
≤
5
4
π.
∴－
2
2
≤sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2x＋
π
4
≤1,0≤f(x)≤
2＋1
2
，
所以f(x)的取值范圍是
?
?
?
?
?
?
?
?
0，
2＋1
2
.
變式訓練3(1)最小正周期為π，
最大值為2，最小值為－1
(2)
3－43
10
課時規范訓練
A組
1．B2.D3.C4.
4
9
5.1－26.
π
2
7．解∵A、B均為鈍角且
sinA＝
5
5
，sinB＝
10
10
，
∴cosA＝－1－sin2A＝－
2
5
＝－
25
5
，
cosB＝－1－sin2B＝－
3
10
＝－
310
10
，
∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB
＝－
25
5
×
?
?
?
?
?
?
－
310
10
－
5
5
×
10
10
＝
2
2
，
又∵
π
2
π
2
∴π
7π
4
.
8．解由題意，得
f(x)＝cos
?
?
?
?
?
?
?
?
2x－
π
3
＋2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
x－
π
4
·
sin
?
?
?
?
?
?
?
?
x＋
π
4
＝
1
2
cos2x＋
3
2
sin2x＋(sinx－
cosx)(sinx＋cosx)
＝
1
2
cos2x＋
3
2
sin2x＋sin2x－cos2x
＝
1
2
cos2x＋
3
2
sin2x－cos2x
＝sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2x－
π
6
，又x∈
?
?
?
?
?
?
?
?－
π
12
，
π
2
，
所以2x－
π
6
∈
?
?
?
?
?
?
?
?－
π
3
，
5π
6
.
又f(x)＝sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2x－
π
6
在區間
?
?
?
?
?
?
?
?－
π
12
，
π
3
上單
調遞增，在區間
?
?
?
?
?
?
?
?π
3
，
π
2
上單調遞減，
所以當x＝
π
3
時，f(x)取得最大值1.
又f
?
?
?
?
?
?
?
?－
π
12
＝－
3
2
?
?
?
?
?
?
?
?π
2
＝
1
2
，
所以當x＝－
π
12
時，f(x)取得最小值－
3
2
.
故函數f(x)在區間
?
?
?
?
?
?
?
?－
π
12
，
π
2
上的最大值
與最小值分別為1與－
3
2
.
B組
1．A2.D3.C4.2sin
?
?
?
?
?
?
?
?
2x＋
π
4
＋2
5．－436.
10
13
7．解(1)由cosα＝
1
7
，0<α<
π
2
，
得sinα＝1－cos2α＝1－
?
?
?
?
?
?
?
?1
7
2＝
43
7
，
∴tanα＝
sinα
cosα
＝
43
7
×
7
1
＝43.
于是tan2α＝
2tanα
1－tan2α
＝
2×43
1－?43?2
＝－
83
47
.
(2)由0<β<α<
π
2
，得0<α－β<
π
2
.
又∵cos(α－β)＝
13
14
，
∴sin(α－β)＝1－cos2?α－β?
＝1－
?
?
?
?
?
?
?
?13
14
2＝
33
14
.
由β＝α－(α－β)，得
cosβ＝cos[α－(α－β)]
＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)
＝
1
7
×
13
14
＋
43
7
×
33
14
＝
1
2
.∴β＝
π
3
.
8．解(1)f(x)＝cos2xcos
π
3
－sin2xsin
π
3
＋
1－cos2x
2
＝
1
2
cos2x－
3
2
sin2x＋
1
2
－
1
2
cos2x
＝
1
2
－
3
2
sin2x.
所以，當2x＝－
π
2
＋2kπ，k∈Z，
即x＝－
π
4
＋kπ(k∈Z)時，
f(x)取得最大值，f(x)
max
＝
1＋3
2
.
(2)由f
?
?
?
?
?
?
?
?C
2
＝－
1
4
，即
1
2
－
3
2
sinC＝－
1
4
，
解得sinC＝
3
2
，又C為銳角，所以C
＝
π
3
.
由cosB＝
1
3
求得sinB＝
22
3
.
因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)
＝sinBcosC＋cosBsinC
＝
22
3
×
1
2
＋
1
3
×
3
2
＝
22＋3
6
.
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