高一數(shù)學題

高一數(shù)學試題及參考答案

時量：120分鐘分值：150分

參考公式：球的表面積，球的體積，圓錐側(cè)面積

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分．在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的．請在答題卡上填涂相應選項.

1.（集合的運算）集合，，則（）

A．B．C．D．

2.（函數(shù)的概念）下列四個函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（）

A.B.C.D.

3.（直線的截距）直線在軸上的截距為，則（）

A.B.C.D.

4.（函數(shù)的單調(diào)性）下列函數(shù)中,在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）

A．B．C．D．

5.（直線平行）已知直線和直線，它們的交點坐標是（）

A．（0，1）B．（1，0）C．（-1，0）D．（-2，-1）

6.（函數(shù)的圖像）當時，在同一坐標系中，函數(shù)與的圖象是（）

(A)(B)(C)(D)

7.（異面直線所成的角）在右圖的正方體中，分別為棱和棱的中點，則異面直線和所

成的角為（）

A．B．C．D．

8.（函數(shù)的零點）已知函數(shù)的圖像是連續(xù)不斷的，有如下，對應值表：

123456

132.5210.5-7.5611.5-53.76-126.8

函數(shù)在區(qū)間上有零點至少有（）

A．2個B.3個C.4個D.5個

9.（球的體積與表面積）已知正方體的內(nèi)切球（球與正方體的六個面都相切）的體積是，

那么球的表面積等于（）

A．B.C.D.

10.（函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性）若偶函數(shù)在上是增函數(shù)，則下列關系式中成立的是（）

A．B．

C．D．

11.（指對數(shù)的綜合）三個數(shù)的大小關系為（）

A.B.

C．D.

12.(函數(shù)綜合)對于函數(shù)定義域中任意的有如下結(jié)論

①②

③④

當時,上述結(jié)論中正確的序號是（）

A.①②B.②④C.①③D.③④

二、填空題：本大題共8小題，每小題5分，滿分40分．請將答案填在答題卡相應位置.

13．（圓的標準方程）已知圓的方程為，則圓心坐標為，半徑為2.

14.（三視圖）如果一個幾何體的三視圖如右圖所示（單位長度：cm），則此幾何體的體積是

15.（直線的斜率）直線的斜率是

16.（冪函數(shù)）冪函數(shù)的圖象過點，則______

17.（定義域）函數(shù)的定義域為.

18.（分段函數(shù)與解不等式）已知函數(shù)則的值．

19.（函數(shù)的奇偶性）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，那么時，.

20.（立體幾何的綜合）

已知兩條不同直線、，兩個不同平面、，給出下列命題：

①若垂直于內(nèi)的兩條相交直線，則⊥；

②若∥，則平行于內(nèi)的所有直線；

③若，且∥，則∥；

④若，，則⊥；

其中正確命題的序號是①④．（把你認為正確命題的序號都填上）

三、解答題:本題共有5個小題，8分+10分+10分+10分+12分=50分．

21.(指數(shù)與對數(shù)的運算)（本題滿分8分）計算：

(1)；(2)

解：（1）原式=…………（4分）

（2）原式=…………………………（8分）

22.(直線方程)（本題滿分10分）已知三個頂點是，，

(1)求邊上的垂直平分線的直線方程；（7分）

（2）求點到邊所在直線的距離．（3分）

解：（1），

，………（2分）

則所求直線的斜率為：………………………………………（4分）

又的中點的坐標為，所以邊的上的中垂線所在的直線方程為：

………………………………………………………………………………（7分）

（2）直線的方程為：

則點到直線：的距離為：……………（10分）

23.在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，

(1)求證：；(2)求證：；（3）求三棱錐的體積.

解：（1）證明：

∵，…………（2分）

…

∴……………（3分）

（2）證明：在直三棱柱中……………………………（4分）

……………………………（5分）

……………………………………………（6分）

……………………………………………………（7分）

（3）…………………………………………………（8分）

……………………………………（10分）

24.(函數(shù)與單調(diào)性)（本小題滿分10分）

右圖是一個二次函數(shù)的圖象.

(1)寫出這個二次函數(shù)的零點；

(2)求這個二次函數(shù)的解析式；

(3)當實數(shù)在何范圍內(nèi)變化時，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)．

解：（1）由圖可知二次函數(shù)的零點為………………（2分）

（2）設二次函數(shù)為,點在函數(shù)上，

解得

所以………………………………………………（6分）（3），開口向下，對稱軸為

當，即時，在上遞減………………………………（8分）

當，即時，在上遞增

綜上所述或…………………………………………………………………（10分）

注：第(1)小題中若零點寫為，，扣1分。

25.(函數(shù)的奇偶性)（本小題滿分12分）

已知。

（1）求函數(shù)的定義域；

（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并予以證明；

（3）求使的的取值范圍。

解：(1)…………………………………………………………………（2分）

所以函數(shù)的定義域為………………………………………………………（3分）

(2)任意取，則……………………………………………………（4分）

即…………………………………………………………………（6分）

所以函數(shù)是奇函數(shù)．…………………………………………………………………（7分）

(3)由，可得，即

…………………………………………………………（9分）

……………………………………………………（11分）

所以，………………………………………（12分）

附加題:

26．從點處發(fā)出一條光線，與直線相遇于點后反射，反射光線恰與圓相切，求線段的

長．

解：設點關于直線對稱的點為

則，解得………………………（3分）

據(jù)物理學知識可知反射光線的反向延長線必過，……（4分）

所以設直線的方程為：…………………………………………………………（5分）

則圓心到直線的距離…………………………………………………………（7分）

解得或(根據(jù)題意要舍去)……………………………………………（8分）

聯(lián)立直線方程，解得，

即的坐標為………………………………………………………………（9分）

……………………………（10分）

27.已知四面體的條棱的長為，條棱的長為，求它的體積。

解：根據(jù)分析可知滿足題目條件的四面體有兩種情況，也就是棱長為的棱共面和異面

（1）當棱長為的棱異面時，四面體的圖形如右圖

……………………………………………………（2分）

經(jīng)過計算，，………………………………………（4分）

，所以三角形并不存在，即這種情況的三棱錐也不存在………………（5分）

（2）當棱長為的棱共面時，四面體的圖形如右圖

……………………………………………………（7分）

……………………………………………………（9分）

………………………………………………………（10分）

28．設函數(shù)的定義域關于原點對稱，對定義域內(nèi)任意的存在和，使，且滿足：

（1）；

（2）當時，

請回答下列問題：（1）判斷函數(shù)的奇偶性并給出理由；（2）判斷在上的單調(diào)性并給出理由．

解：（1）函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)………………………………………………………（1分）

因為在定義域內(nèi)，對任意存在和，使，且滿足：；

由于函數(shù)的定義域關于原點對稱，必與同時在定義域內(nèi)，…（2分）

同樣存在存在和，使，且滿足：，……（3分）

即

………………………………………………………………………………………………（4

分）

函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函

數(shù).……………………………………………………………………………（5分）

（2）函數(shù)在上是單調(diào)遞增函

數(shù)……………………………………………………………………（6分）

任意取，且，則

函數(shù)在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，且當時，，

，，…………………………………………………（7分）

又

……………………………………………………………………………………………（9分）

函數(shù)在上是單調(diào)遞增的……………………………………………………………………（10

分）