探索勾股定理

1.1探索勾股定理

創設情境：2002年在北京召開的第24屆國際數學家大會，它是最高水平的

全球性數學科學學術會議，被譽為數學界的“奧運會”.這就是本屆大會會徽的

圖案.它象一個轉動的風車，揮舞著手臂，歡迎來自世界各國的數學家們.

（1）你見過這個圖案嗎？

（2）你聽說過“勾股定理”嗎？

會徽

（1）觀察下圖中的地面，看看能發現些什么？

地面圖18.1-1

（2）找出圖18.1-1中正方形A、B、C面積之間的關系嗎？

（3）圖中正方形A、B、C所圍等腰直角三角形三邊之間有什么特殊關系?

通過直接數等腰直角三角形的個數，或者用割補的方法將正方形A、B中小

等腰直角三角形補成一個大正方形得到：正方形A、B的面積之和等于大正方形

C的面積.

由正方形的面積等于邊長的平方歸納

出:_________________________________

深入探究

（1）等腰直角三角形是特殊的直角三角形，一般的直角三角形是否也具有“兩

直角邊的平方和等于斜邊的平方”呢？

圖18.1-2

如圖18.1-2，每個小方格的面積均為1，以格點為頂點，有一個直角邊分別是2、

3的直角三角形.仿照上一活動，我們以這個直角三角形的三邊為邊長向外作正

方形.

A

B

C

圖1

直角三

角形三

邊關系

A、B、

C面積

關系

圖2

圖1

C的面

積(單位

面積)

B的面積

(單位

面積)

A的面積

(單位

面積)

（2）想一想，怎樣利用小方格計算正方形A、B、C面積？

（3）正方形A、B、C面積之間的關系是什

么？

（4）直角三角形三邊之間的關系用命題形式

怎樣表述？

勾股定理：在一個直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．

如圖所示，在△ABC，∠C=90°。

∴a2+b2=c2（AC2+BC2=AB2）

我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，

斜邊稱為弦．

拼圖驗證（弦圖驗證）

（1）觀察趙爽弦圖，思考：

如何利用此圖的面積表示式驗證勾股定理？

趙爽弦圖

（拼圖驗證）

（2）仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將邊長為a、b的兩個連體正方形，

拼成一個新的正方形？

圖18.1-3（1）圖18.1-3（2）圖18.1-3（3）

拼圖的關鍵是：構造以a、b為直角邊的直角三角形.

（3）怎樣根據拼圖活動的結果證明勾股定理呢？

下面讓我們來驗證一下，以a、b為直角邊，以c為斜邊作兩個全等的直角三角形，把這兩

b

b

a

a

b

?

ac

M

N

P

a

b

c

C

A

b

?

a

b?a

b

a

C

b?a

b

a

C

個直角三角形拼成如圖6所示形狀，使A、E、B三點在同一直線上。利用面積法來說明勾

股定理的準確性

實踐應用→拓展提高

1.求出下列直角三角形中未知邊的長度.

2.試一試：

剪四個與圖1完全相同的直角三角形，然后將它們拼成如圖2所示的圖形.

大正方形的面積可以表示為________________________,

又可以表示為____________.

對比兩種表示方法，看看能不能得到勾股定理的結論.

3.如圖所示，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面10米處折斷倒下，樹頂

落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？

1.一高為2.5米的木梯,架在高為2.4米的墻上(如圖),這時梯腳與墻的距離是多

少?

B

圖1

圖2

A

B

8

15

C

B

10

C

A

6

2．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大

的正方形的邊長為7cm,則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm2。

3.如圖所示是一個長方形零件的平面圖,尺寸如圖所示,求兩孔中心A,B之間的

距離.(單位:毫米)

4.以直角三角形三邊為邊作等邊三角形,這3個等邊三角形的面積之間有什么關

系？

5.小明的媽媽買了一部29英寸（74厘米）的電視機。小明量了電視機的屏幕后，

發現屏幕只有58厘米長和46厘米寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。你能解釋這

是為什么嗎？

我們通常所說的29英寸或74厘米的電視機，是指其熒屏對角線的長度

例：飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，

過了20秒，飛機距離這個男孩5000米，飛機每小時飛行多少千米？

練一練

1、下列陰影部分是一個正方形，求此正方形的面積

補充練習：

1、放學以后，小紅和小穎從學校分手，分別沿著東南方向和西南方向回家，若

小紅和小穎行走的速度都是40米/分，小紅用15分鐘到家，小穎用20分鐘到家，

小紅和小穎家的距離為（）

A、600米；B、800米；C、1000米；D、不能確定

2、直角三角形兩直角邊分別為5厘米、12厘米，那么斜邊上的高是（）

A、6厘米；B、8厘米；C、80/13厘米；D、60/13厘米

課堂練習：

3、在?ABC中,C=90°,(1)若c=10,a:b=3:4,則a=____,b=___.

(2)若a=9,b=40,則c=______.

4、在?ABC中,C=90°,若AC=6,CB=8,則?ABC面積為_____,斜邊為上的高為

______.

5、一輪船以16海里/小時的速度離A港向東北方向航行，另一艘輪船同時以12

海里/小時的速度離A港向西北方向航行，2小時后，兩船相距多少海里？

6、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個三角形的面積

7、如圖在△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，D為垂足，AC=2.1cm,BC=2.8cm.

求①△ABC的面積；

②斜邊AB的長；

③斜邊AB上的高CD的長。

應用拓展

（1）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c。

①若a=1，b=2，求c；

②若a=15，c=17，求b。

（2）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c

①如果a=4/5，b=3/5，求c

②如果a=12，b=13，求c

③如果c=34，a:b=8:15，求a，b

?如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點D，試說明：

（1）AB2＝AD2＋DB2＋2CD2；

（2）CD2＝AD·DB。

如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四

邊形ABCD的面積。

【專題訓練】

1、如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，

求：（1）AC的長；

（2）△ABC的面積；

（3）CD的長。

2、如圖，長方形的一邊AD＝8，另一邊AB＝4，現將它折疊，使點D與點B

重合，求重合部分△BFG的面積。

3、如圖，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b，AD＝BC＝c，AC＝

BD＝n，等式n2＝c2＋ab成立嗎？說明你的理由。

課內練習與訓練

1.一個等腰直角三角形的斜邊長為42

，則其面積為（）

A．82

B.8C.16D.

162

2

2.

5

正方形的面積是，它的對角線長是（）

25141

.B.2C.D.10

5555

A

=45C30BC=333BC

A.3B.22C.32D.33

?????。。已知在中，，，，那么的長為（）

3

A.3B.32C.3D.3

2

2

=90,A,B,C,,.

10,:3:4a=____b____;

,____.

CDAB=AC=AD=a,

ABC

ac

cab

ma

????

??

??

?

?

2

在中,所對邊分別是b

(1)若，則，

(2)若a=b,c則

在中，垂直于于，

則的面積是____.

??。9.已知.ABD=C=90,AC=BC,DAB=30,AD=12

求：BC=?

=90,1=2,CD=1.5,BD=.????在中，求