外角和

多邊形內角和與外角和專題訓練（模型）

【模型一】“A字”模型

求證：∠1+∠2=180°+∠A

證法一：連接BC，利用“三角形內和為180°”.

證法二：連接BC，利用“三角形內和為180°”與“四邊形內和為360°”.

證法三：利用“三角形一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和”.

證法四：延長EA至F，利用“多邊形外角和為360°”.

【模型二】飛鏢模型

求證：∠A+∠B+∠C=∠D

證法一、

證明：連接BC，

證法二、連接并延長AD，

證法三、連接并延長BD，交AC于點E,

【模型三】“8字”模型

求證：∠A+∠B=∠C+∠D

證法一、利用“三角形內角和為180°”

證法二、利用“三角形任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和”

注意：“8字”模型的變式.

如圖，∠1+∠2=∠C+∠D

【模型四】“五角星”模型

求證：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°

【模型五】“角平分線”模型

1、兩條內角平分線

已知：如圖，∠B、∠C的平分線BP、CP交于點P

求證：∠BPC=90°+

2

1

∠A

2、兩條外角平分線

已知：如圖，∠CBE、∠BCF的平分線BP、CP交于點P

求證：∠P=90°-

2

1

∠A

3、一條內角平分線和一條外角平分線

已知：如圖，∠ABC、∠ACD的平分線BP、CP交于點P

求證：∠P=

2

1

∠A

【模型六】“高線角平分線”模型

A

B

C

P

1

2

A

B

C

D

O

A

BC

D

1

2

A

BC

D

12

3

4

A

BC

D

1

E

A

B

C

D

O

1

P

A

B

C

1

2

E

F

P

A

B

C

1

2

D

D

A

B

O

C

1

2

C

A

B

D

E

2

1

C

A

B

D

E

2

1

C

A

B

D

E

2

1

3

4

C

A

B

D

E

2

1

3

F

C

D

E

A

B

求證：∠DCE=

2

1

（∠B-∠A）.（其中∠B>∠A）

【模型七】“折角”模型

求證：∠1+∠2=2∠A

求證：∠2-∠1=2∠A

求證：∠1-∠2=2∠A

【直接運用】

在“填空題”、“選擇題”的客觀題型中，可以直接運用模

型結論解題.注意結論的準確性.

1.☆如圖，在△ABC中，∠A=50°，∠B=65°，則∠

ACD=°

2.☆如圖，∠1+∠2=260°，則∠A=°

3.☆如圖，∠1=25°，∠2=75°，∠C=65°，則∠D=°

4.☆如圖，在△ABC中，∠A=62°，∠1=20°，∠2=35°，則∠BDC=°

5.☆如圖，若∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，則∠A=°

6.☆如圖，若∠A=40°，則∠P=°

7.☆如圖，△ABC中，CD⊥AB，CE平分∠ACB，∠B=50°，∠A=20°,則∠DCE=°

8.☆如圖，紙片△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，將紙片的一角折疊，使C點落在△ABC內

的C’處，則∠1+∠2=°

9.☆☆如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=°

10.☆☆如圖，∠A+∠B+∠C+∠D=°

11.☆☆如圖，BE、CF交于點O，∠EOF=105°，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=°.

12.☆☆如圖，∠ABD與∠ACB的角平分線相交于點P，若∠A=50°，∠D=10°，則∠P=

°.

【過程重現】

在“解答題”中，重現模型證明過程.注意方法的選擇.

1.☆☆如圖，在∠AMB的兩邊AM、BM上分別取點P、Q，在∠AMB內取一點N，連接PN、

QN，探索∠PNQ、∠AMB、∠MPN、∠MQN之間的數量關系，并證明你的結論.

2.☆☆如圖，∠MON=90°，點A、B分別在射線PM、PN上，∠MAB和∠NBA的平分線相交

于點P.點A和點B在運動過程中，∠P的大小是否發生變化？請說明你的理由.

3.☆☆如圖，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于點O，CE平分∠DCG.若∠ACE=90°，

試判斷BD與AC的位置關系，并說明理由.

4.☆☆在△ABC中，內角∠ABC、∠ACB的平分線夾角為α，外角∠DBC、∠ECB的平分線夾

角為β.

C

A

B

DE

A

B

C

M

N

A

’

2

1

M

B

A

’

2

3

D

C1

N

A

A

B

C

M

N

A

’

1

2

3

D

A

B

C

D

第1題

A

B

C

D

1

2

第2題

D

A

B

O

C

1

2

第3題

A

BC

D

1

2

第4題

A

B

C

P

C

D

E

A

B

第5題第6題

C

A

B

DE

第7題

2C

A

B

C’

1

第8題

A

B

N

O

M

P

A

B

C

D

E

F

A

B

C

D

E

F

G

第9題

A

B

C

D

120

100

第10

A

B

C

D

P

第12題

A

M

B

A

M

B

A

M

B

A

BC

105°

O

D

E

F

第11題

（1）若α=110°，則∠A=°，

（2）若∠A=40°，則β=°，

（3）猜想α與β之間的關系，并說明理由.

【探索新知】

在模型的基礎上探索新知，或用與探索模型類似的方法探索新知.注意的模型生成過程.

1.☆☆如圖①，則∠1+∠2+∠3+∠4=°；

如圖②，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=°；

如圖③，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.

2.☆☆（1）如圖（1）,則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠FJ=°；

（2）如圖（2），則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠HJ=°；

（3）如圖（3），則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J=°.

3.☆☆☆已知：如圖，在△ABC中，BO

1

、BO

2

是∠ABC的三等分線，CO

1

、CO

2

是∠ACB的三

等分線.

（1）當∠A=60°時，∠BO

2

C=°；

（2）探索∠BO

1

C與∠BO

2

C之間的數量關系，并證明你的結論.

4.☆☆☆已知：如圖，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點E.

（1）若∠D=140°，∠E=110°，則∠A°；

（2）求證：∠E=

2

1

（∠A+∠D）

5.☆☆☆☆如圖，線段AB、CD交于點O，連接AD、BC，我們把形如圖1的圖形稱為“8字

形”.

（1）如圖（1），直接寫出∠A+∠D與∠B+∠C的關系；

（2）如圖（2），∠DAB和∠BCD的平分線AP、CP交于點P，且分別與AB、CD交于點M、N，

∠D=46°，∠B=30°.先觀察圖中還有哪些“8字形”，再利用（1）的結論求∠P的度數；

（3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接寫出∠P的度數(用含有α、β的式子表示).

6.☆☆☆☆如圖，在△ABC中，將點A向下拖動，依次可以得到圖1、圖2、圖3.分別探究圖

（1）、圖（2）、圖（3）中∠EAD、∠B、∠C、∠D與∠E之間有什么數量關系？

7.☆☆☆☆如圖，線段AB、CD交于點O.將圖（1）中線段AD上一點E（點A、D除外）向

下拖動，依次可以得到圖（2）、圖（3）、圖（4）.分別探究圖（2）、圖（3）、圖（4）中∠A、∠

B、∠C、∠D與∠AED之間有什么數量關系？

8.☆☆☆☆轉化是數學中的重要思想，即把陌生的問題轉化成熟悉的問題，把復雜的問題轉化

簡單的問題，把復雜的問題轉化為簡單的問題，把抽象的問題轉化為具體的問題.

（1）請你根據學過的知識求出下面星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數；

（2）若將圖（1）中的星形截去一個角，如圖（2），請你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的

度數；

（3）若再將圖（2）中角進一步截去，如圖（2），你能由題（2）中的方法或規律，猜想出圖（3）

中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠J的度數？（直接寫出結果，不需要寫出解

題過程）

10.☆☆☆☆☆如圖，四邊形ABCD中，內角∠ABC的角平分線與外角∠DCE的角平分線交于點

A

BC

E

D

5

1

2

3

4

1

2

3

4

6

1

2

3

5

4

①

②

③

A

B

C

D

E

F

H

H

G

F

E

D

C

B

F

A

F

A

B

C

D

E

G

H

I

J

F

(1)

(2)

(3)

A

B

C

A

B

C

D

E

B

C

D

E

A

B

C

D

E

（1）

（2）

（3）

A

B

C

O

1

O

2

D

A

B

C

E

P

O

C

D

E

A

B

A

F

B

F

C

F

D

F

E

F

F

F

G

F

A

F

B

F

C

F

D

F

E

F

F

F

H

F

I

J

（1）

（2）

（3）

A

D

B

C

O

A

B

C

D

E

O

A

D

C

B

E

O

A

B

C

D

O

E

（2）

（3）

（4）

（1）

A

D

B

C

O

P

M

N

A

D

B

C

O

（2）

（1）

F，且∠F為銳角.設∠A=α，∠D=β.

（1）如圖①，α+β>180°，試用α、β表示∠F；

（2）如圖②，α+β<180°，請在圖中畫出∠F，并試用α、β表示∠F；

（3）一定存在∠F嗎？如有，求出∠F的值；如不一定，指出α、β滿足什么條件時，不存在∠

F.

9.☆☆☆☆☆如圖①，把三角形紙片ABC折疊，使3個頂點重合于點P，這時∠α+∠β+∠γ=

°，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=°.

如果三角形紙片ABC折疊后，3個頂點并不重合于點P（如圖②），那么（1）中關于“∠1+∠2+

∠3+∠4+∠5+∠6”的結論是否仍然成立？請說明理由.

A

B

C

D

E

F

①

A

B

C

D

E

②

G

1

2

A

B

C

D

E

F

H

I

3

4

5

6

α

β

γ

P

A’

B’

C’

A

B

C

D

E

F

G

I

H

1

2

3

6

5

4

4

①②