導(dǎo)數(shù)練習(xí)題

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一、選擇題(每小題只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。)

1．已知某函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′＝12(x－1)，則這個(gè)函數(shù)可能是()

A．y＝ln1－xB．y＝ln11－x

C．y＝ln(1－x)D．y＝ln11－x

2．(2009?江西)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋

1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線的斜率為()

A．4B．－14C．2D．－12

3．(2009?遼寧)曲線y＝xx－2在點(diǎn)(1，－1)處的切線方程為()

A．y＝x－2B．y＝－3x＋2

C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1

4．曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為()

A.94e2B．2e2C．e2D.e22

5．已知函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖，那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖象可能是()

6．設(shè)y＝8x2－lnx，則此函數(shù)在區(qū)間(0，14)和(12，1)內(nèi)分別()

A．單調(diào)遞增，單調(diào)遞減

B．單調(diào)遞增，單調(diào)遞增

C．單調(diào)遞減，單調(diào)遞增

D．單調(diào)遞減，單調(diào)遞減

7．下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝(2x－x2)ex的判斷正確的是()

①f(x)＞0的解集是{x|0＜x＜2}；

②f(－2)是極小值，f(2)是極大值；

③f(x)沒(méi)有最小值，也沒(méi)有最大值．

A．①③B．①②③C．②D．①②

8．已知f(x)＝－x3－x，x∈[m，n]，且f(m)?f(n)＜0，則方程f(x)＝0在區(qū)間[m，n]上()

A．至少有三個(gè)實(shí)根B．至少有兩個(gè)實(shí)根C．有且只有一個(gè)實(shí)根D．無(wú)實(shí)根

9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a(chǎn)＜－3或a＞6D．a(chǎn)＜－1或a＞2

10．要做一個(gè)圓錐形漏斗，其母線長(zhǎng)為20cm，要使其體積最大，其高應(yīng)為()

A.2033cmB．100cmC．20cmD.203cm

11．(2010?河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué))若函數(shù)f(x)＝(2－m)xx2＋m的圖象如圖所示，則m的范圍

為()

A．(－∞，－1)B．(－1,2)C．(1,2)D．(0,2)

12．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(4)＝1.f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，已知函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖

所示．若兩正數(shù)a，b滿足f(2a＋b)＜1，則b＋2a＋2的取值范圍是()

A．(13，12)B．(－∞，12)∪(3，＋∞)C．(12，3)D．(－∞，－3)二、填

空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請(qǐng)將答案填在題中的橫線上。)

13．(2009?武漢模擬)函數(shù)y＝xln(－x)－1的單調(diào)減區(qū)間是________．

14．已知函數(shù)f(x)＝x3－12x＋8在區(qū)間[－3,3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M－

m＝________.

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15．(2009?南京一調(diào))已知函數(shù)f(x)＝ax－x4，x∈[12，1]，A、B是其圖象上不同的兩點(diǎn)．若

直線AB的斜率k總滿足12≤k≤4，則實(shí)數(shù)a的值是________．

16．(2009?淮北模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)＝a(x＋1)?(x－a)，若f(x)在x＝a處取到極大

值，則a的取值范圍是________．

三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程。)

17．(本小題滿分10分)設(shè)a為大于0的常數(shù)，函數(shù)f(x)＝x－ln(x＋a)．

(1)當(dāng)a＝34，求函數(shù)f(x)的極大值和極小值；

(2)若使函數(shù)f(x)為增函數(shù)，求a的取值范圍．

18．(本小題滿分12分)已知函數(shù)y＝f(x)＝lnxx.

(1)求函數(shù)y＝f(x)的圖象在x＝1e處的切線方程；

(2)求y＝f(x)的最大值；

(3)設(shè)實(shí)數(shù)a＞0，求函數(shù)F(x)＝af(x)在[a,2a]上的最小值．

19．(本小題滿分12分)設(shè)a＞0，函數(shù)f(x)＝x－ax2＋1＋a.

(1)若f(x)在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù)，求a的取值范圍；

(2)求f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值．

20．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝1＋ln(x＋1)x.(x＞0)

(1)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；

(2)若當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞kx＋1恒成立，求正整數(shù)k的最大值．

21．(2009?天津)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，其中a∈

R.

(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率；

(2)當(dāng)a≠23時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值．

命題意圖：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極

值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力及分類討論的思想方法．

22．(2010?保定市高三摸底考試)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝lnxx＋ax－1(a∈R)

(1)求函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；

(2)若f(x)≤0在區(qū)間(0，e2]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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答案：

一、1答案：A

解析：對(duì)選項(xiàng)求導(dǎo)．(ln1－x)′＝11－x(1－x)′＝11－x?12(1－x)－12?(－1)＝12(x－1).

2答案：A

解析：f′(x)＝g′(x)＋2x.

∵y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，

∴g′(1)＝2，∴f′(1)＝g′(1)＋2×1＝2＋2＝4，

∴y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處切線斜率為4.

3答案：D

解析：y′＝(xx－2)′＝－2(x－2)2，

∴k＝y(tǒng)′|x＝1＝－2.

l：y＋1＝－2(x－1)，則y＝－2x＋1.

4答案：D

解析：∵y′＝ex，∴y＝ex在點(diǎn)(2，e2)的導(dǎo)數(shù)為e2.

∴y＝ex在點(diǎn)(2，e2)的切線方程為y＝e2x－e2.

y＝e2x－e2與x軸、y軸的交點(diǎn)分別為(1,0)和(0，－e2)，∴S＝12×1×e2＝e22.

5答案：D

解析：由題意知函數(shù)f(x)，g(x)都為增函數(shù)，當(dāng)x＜x0時(shí)，由圖象知f′(x)＞g′(x)，即

f(x)的增長(zhǎng)速度大于g(x)的增長(zhǎng)速度；當(dāng)x＞x0時(shí)，f′(x)＜g′(x)，g(x)的增長(zhǎng)速度大于

f(x)的增長(zhǎng)速度，數(shù)形結(jié)合，

6答案：C

解析：y′＝16x－1x.

當(dāng)x∈(0，14)時(shí)，y′＜0，y＝8x2－lnx為減函數(shù)；

當(dāng)x∈(12，1)時(shí)，y′＞0，y＝8x2－lnx為增函數(shù)．

7答案：D

解析：由f(x)＞0?(2x－x2)ex＞0?2x－x2＞0?0＜x＜2，故①正確；

f′(x)＝ex(2－x2)，由f′(x)＝0得x＝±2，

由f′(x)＜0得x＞2或x＜－2，

由f′(x)＞0得－2＜x＜2，

∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－2)，(2，＋∞)．

單調(diào)增區(qū)間為(－2，2)．

∴f(x)的極大值為f(2)，極小值為f(－2)，故②正確．

∵x＜－2時(shí)，f(x)＜0恒成立．

∴f(x)無(wú)最小值，但有最大值f(2)．

∴③不正確．

8答案：C

9答案：C

解析：由于f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1，有f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)．

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若f(x)有極大值和極小值，

則Δ＝4a2－12(a＋6)＞0，

從而有a＞6或a＜－3

10答案：A

解析：設(shè)高為h，則半徑為202－h(huán)2，

體積V＝13πr2h＝13π(202－h(huán)2)?h

＝－13πh3＋2023πh(0＜h＜20)，

V′＝－πh2＋2023π.

令V′＝0，得h＝2033或h＝－2033(舍去)，

即當(dāng)h＝2033時(shí)，V為最大值．

11答案：C

解析：f′(x)＝(x2－m)(m－2)(x2＋m)2＝(x－m)(x＋m)(m－2)(x2＋m)2

由圖知m－2＜0，且m＞0，故0＜m＜2，

又m＞1，∴m＞1，因此1＜m＜2

12答案：C

解析：由y＝f′(x)的圖象知，當(dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0，函數(shù)f(x)是減函數(shù)；當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)

＞0，函數(shù)f(x)是增函數(shù)；兩正數(shù)a，b滿足f(2a＋b)＜1，f(4)＝1，點(diǎn)(a，b)的區(qū)域?yàn)?/p>

圖中的陰影部分(不包括邊界)，b＋2a＋2的意義為陰影部分的點(diǎn)與點(diǎn)A(－2，－2)連線

的斜率，直線AB、AC的斜率分別為12、3，則b＋2a＋2的取值范圍是(12，3)

二、13答案：(－1e，0)

14答案：32

解析：令f′(x)＝3x2－12＝0，得x＝－2或x＝2，

列表得：

x－3(－3，－2)－2(－2,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)17

極值24

極值－8

－1

可知M＝24，m＝－8，∴M－m＝32.

15答案：92

解析：f′(x)＝a－4x3，x∈[12，1]，由題意得12≤a－4x3≤4，即4x3＋12≤a≤4x3＋4在

x∈[12，1]上恒成立，求得92≤a≤92，則實(shí)數(shù)a的值是92.

16答案：(－1,0)

解析：結(jié)合二次函數(shù)圖象知，當(dāng)a＞0或a＜－1時(shí)，在x＝a處取得極小值，

當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，在x＝a處取得極大值，故a∈(－1,0)．

三、17解析：(1)當(dāng)a＝34時(shí)，f′(x)＝12x－1x＋34，

令f′(x)＝0，則x－2x＋34＝0，∴x＝94或14，

當(dāng)x∈[0，14]時(shí)，f′(x)>0，當(dāng)x∈(14，94)，f′(x)<0，

當(dāng)x∈(94，＋∞)時(shí)，f′(x)>0，

∴f(x)極大值＝f(14)＝12，f(x)極小值＝f(94)＝32－ln3.

(2)f′(x)＝12x－1x＋a，若f(x)為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f′(x)≥0恒成立，

∴12x≥1x＋a，即x＋a≥2x，

即a≥2x－x＝－(x－1)2＋1恒成立，

∴a≥1.

18解析：(1)∵f(x)定義域?yàn)?0，＋∞)，∴f′(x)＝1－lnxx2

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∵f(1e)＝－e，又∵k＝f′(1e)＝2e2，

∴函數(shù)y＝f(x)的在x＝1e處的切線方程為：

y＋e＝2e2(x－1e)，即y＝2e2x－3e.

(2)令f′(x)＝0得x＝e.

∵當(dāng)x∈(0，e)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上為增函數(shù)，

當(dāng)x∈(e，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，則在(e，＋∞)上為減函數(shù)，

∴fmax(x)＝f(e)＝1e.

(3)∵a＞0，由(2)知：

F(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減．

∴F(x)在[a,2a]上的最小值f(x)min＝min{F(a)，F(xiàn)(2a)}，

∵F(a)－F(2a)＝12lna2，

∴當(dāng)0＜a≤2時(shí)，F(xiàn)(a)－F(2a)≤0，fmin(x)＝F(a)＝lna.

當(dāng)a＞2時(shí)，F(xiàn)(a)－F(2a)＞0，f(x)min＝f(2a)＝12ln2a.

19解析：(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得f′(x)＝1－axx2＋1.

要使f(x)在區(qū)間(0,1]上是增函數(shù)，又要f′(x)＝1－axx2＋1≥0在(0,1]上恒成立，

即a≤x2＋1x＝1＋1x2在(0,1]上恒成立．

因?yàn)?＋1x2在(0,1]上單調(diào)遞減，

所以1＋1x2在(0,1]上的最小值是2.

注意到a＞0，所以a的取值范圍是(0，2]．

(2)①當(dāng)0＜a≤2時(shí)，由(1)知，f(x)在(0,1]上是增函數(shù)，

此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是f(1)＝1＋(1－2)a.

②當(dāng)a＞2時(shí)，令f′(x)＝1－axx2＋1＝0，

解得x＝1a2－1∈(0,1)．

因?yàn)楫?dāng)0＜x＜1a2－1時(shí)，f′(x)＞0；

當(dāng)1a2－1＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0，

所以f(x)在(0，1a2－1)上單調(diào)遞增，在(1a2－1，1)上單調(diào)遞減．

此時(shí)f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是f(1a2－1)＝a－a2－1.

綜上所述，當(dāng)0＜a≤2時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是1＋(1－2)a；

當(dāng)a＞2時(shí)，f(x)在區(qū)間(0,1]上的最大值是a－a2－1.

20解析：(1)f′(x)＝1x2[xx＋1－1－ln(x＋1)]＝－1x2[1x＋1＋ln(x＋1)]．

由x＞0，x2＞0，1x＋1＞0，ln(x＋1)＞0，得f′(x)＜0.

因此函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．

(2)解法一：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞kx＋1恒成立，令x＝1有k＜2[1＋ln2]．

又k為正整數(shù)．則k的最大值不大于3.

下面證明當(dāng)k＝3時(shí)，f(x)＞kx＋1(x＞0)恒成立．

即證明x＞0時(shí)(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．

令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x，

則g′(x)＝ln(x＋1)－1.

當(dāng)x＞e－1時(shí)，g′(x)＞0；當(dāng)0＜x＜e－1時(shí)，g′(x)＜0.

∴當(dāng)x＝e－1時(shí)，g(x)取得最小值g(e－1)＝3－e＞0.

∴當(dāng)x＞0時(shí)，(x＋1)ln(x＋1)＋1－2x＞0恒成立．

因此正整數(shù)k的最大值為3.

解法二：當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＞kx＋1恒成立．

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即h(x)＝(x＋1)[1＋ln(x＋1)]x＞k對(duì)x＞0恒成立．

即h(x)(x＞0)的最小值大于k.

由h′(x)＝x－1－ln(x＋1)x2，記Φ(x)＝x－1－ln(x＋1)．(x＞0)

則Φ′(x)＝xx＋1＞0，

∴Φ(x)在(0，＋∞)上連續(xù)遞增．

又Φ(2)＝1－ln3＜0，Φ(3)＝2－2ln2＞0，

∴Φ(x)＝0存在惟一實(shí)根a，且滿足：a∈(2,3)，a＝1＋ln(a＋1)，

由x＞a時(shí)，Φ(x)＞0，h′(x)＞0；0＜x＜a時(shí)，Φ(x)＜0，h′(x)＜0知：

h(x)(x＞0)的最小值為h(a)＝(a＋1)[1＋ln(a＋1)]a＝a＋1∈(3,4)．

因此正整數(shù)k的最大值為3.

21解析：(1)當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.

所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為3e.

(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.

令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2.

由a≠23知，－2a≠a－2.

以下分兩種情況討論．

①若a＞23，則－2a＜a－2，當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

x(－∞－2a)，－2a(－2a，a－2)a－2(a－2，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，

在(－2a，a－2)內(nèi)是減函數(shù)．

函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

②若a＜23，則－2a＞a－2.當(dāng)x變化時(shí)，f′(x)、f(x)的變化情況如下表：

x(－∞，a－2)a－2(a－2，－2a)－2a(－2a，＋∞)

f′(x)＋0－0＋

f(x)

極大值

極小值

所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)，在(a－2，－2a)內(nèi)是減函數(shù)．

函數(shù)f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

函數(shù)f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

22解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝1－(lnx＋a)x2，

∴k＝f′(1)＝1－a，

又f(1)＝a－1，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，a－1)，

所以，函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為：

y－(a－1)＝(1－a)(x－1)，即y＝(1－a)x＋2(a－1)．

(2)結(jié)合(1)，令f′(x)＝0得x＝e1－a，由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知：

當(dāng)x∈(0，e1－a)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)是增函數(shù)；

當(dāng)x∈(e1－a，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)是減函數(shù)．

(ⅰ)當(dāng)e1－a＜e2時(shí)，a＞－1時(shí)，f(x)max＝f(e1－a)＝ea－1－1，

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令ea－1－1≤0，解得a≤1，即－1＜a≤1，

(ⅱ)當(dāng)e1－a≥e2即a≤－1時(shí)，f(x)在(0，e2]上是增函數(shù)，

∴f(x)在(0，e2]上的最大值為f(e2)＝2＋ae2－1，

令2＋ae2－1≤0，解得a≤e2－2，即a≤－1，

綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≤1.