整體思想

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

數學思想方法一

整體思想

整體思想，就是在研究和解決有關數學問題時，通過研究問題的整體形式、整體結構、

整體特征，從而對問題進行整體處理的解題方法．從整體上去認識問題、思考問題，常常能

化繁為簡、變難為易，同時又能培養學生思維的靈活性、敏捷性．整體思想的主要表現形式

有：整體代入、整體加減、整體代換、整體聯想、整體補形、整體改造等等．在初中數學中

的數與式、方程與不等式、函數與圖象、幾何與圖形等方面，整體思想都有很好的應用，因

此，每年的中考中涌現了許多別具創意、獨特新穎的涉及整體思想的問題，尤其在考查高層

次思維能力和創新意識方面具有獨特的作用．

一．數與式中的整體思想

例1.已知

11

4

ab

??，則

2

227

aabb

abab

??

??

的值等于（）

A.6B.6?C.

12

5

D.

2

7

?

分析：根據條件顯然無法計算出

a

，b的值，只能考慮在所求代數式中構造出

11

ab

?的

形式，再整體代入求解．

解：

11

2

242

b

6

11

2272(4)7

2()7

aabb

a

abab

ba

??

????

???

?????

??

說明：本題也可以將條件變形為4baab??，即4abab???，再整體代入求解．

例2．已知代數式

253

42

()

2

xaxbxcx

xdx

??

?

?

，當1x?時，值為3，則當1x??時，代數

式的值為

解：因為當1x?時，值為3，所以23

1

abc

d

??

??

?

，即1

1

abc

d

??

?

?

，從而，當1x??

時，原式

()

2121

1

abc

d

???

??????

?

例3．已知2002007ax??，2002008bx??，2002009cx??，求多項式

222abcabbcac?????的值．

分析：要求多項式的值，直接代入計算肯定不是最佳方案，注意到

222abcabbcac?????222

1

()()()

2

abbcca

??

??????

??

，只要求得ab?，bc?，

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

ca?這三個整體的值，本題的計算就顯得很簡單了．

解：由已知得，1abbc?????，2ca??，所以，

原式222

1

(1)(1)23

2

??

??????

??

說明：在進行條件求值時，我們可以根據條件的結構特征，合理變形，構造出條件中含

有的模型，然后整體代入，從整體上把握解的方向和策略，從而使復雜問題簡單化．

二．方程(組)與不等式（組）中的整體思想

例4．已知

241

22

xyk

xyk

???

?

?

???

?

，且03xy???，則k的取值范圍是

分析：本題如果直接解方程求出

x

，y再代入03xy???肯定比較麻煩，注意到條件

中xy?是一個整體，因而我們只需求得xy?，通過整體的加減即可達到目的．

解：將方程組的兩式相加，得：3()53xyk???，所以

5

1

3

xyk???，從而

5

013

3

k???，解得

36

55

k???

例5．已知關于

x

，y的二元一次方程組

35

11

xay

xby

??

?

?

??

?

的解為

5

6

x

y

?

?

?

?

?

，那么關于

x

，y

的二元一次方程組

3()()5

()11

xyaxy

xybxy

????

?

?

????

?

的解為為

分析：如果把

5

6

x

y

?

?

?

?

?

代入

35

11

xay

xby

??

?

?

??

?

，解出

a

，b的值，再代入

3()()5

()11

xyaxy

xybxy

????

?

?

????

?

進行求解，應當是可行的，但運算量比較大，相對而言比較繁瑣．

若采用整體思想，在方程組

3()()5

()11

xyaxy

xybxy

????

?

?

????

?

中令

xym

xyn

??

?

?

??

?

，則此方程組變

形為

35

11

man

mbn

??

?

?

??

?

，對照第一個方程組即知

5

6

m

n

?

?

?

?

?

，從而

5

6

xy

xy

??

?

?

??

?

，容易得到第二個方

程組的解為

11

2

1

2

x

y

?

?

?

?

?

?

??

?

?

，這樣就避免了求

a

，b的值，又簡化了方程組，簡便易操作．

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

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解：

11

2

1

2

x

y

?

?

?

?

?

?

??

?

?

說明：通過整體加減既避免了求復雜的未知數的值，又簡化了方程組（不等式組），解

答直接簡便．

例6．解方程2

2

5

234

23

xx

xx

???

?

分析：本題若采用去分母求解，過程很復雜和繁冗，根據方程特點，我們采用整體換元，

將分式方程轉化為整式方程來解．

解：設223xxy??，則原方程變形為

5

4y

y

??，即2450yy???，解得

1

5y?，

2

1y??，所以2235xx??或2231xx???，從而解得

1

5

2

x??，

2

1x?，

3

1

2

x??，

4

1x??，經檢驗

1

x，

2

x，

3

x，

4

x都是原方程的解．

說明：（1）對于某些方程，如果項中含有相同部分（或部分相同）可把它看作一個整體，

用整體換元進行代換，從而簡化方程及解題過程．當然本題也可以設2234yxx???，將

方程變形為

5

4

y

y

?

?

來解．

（2）利用整體換元，我們還可以解決形如

2

2

315

122

xx

xx

?

??

?

這樣的方程，只要設

21

x

y

x

?

?

，從而將方程變形為

15

3

22

y

y

??，再轉化為一元二次方程來求解．

例7．有甲、乙、丙三種貨物，若購甲3件，乙7件，丙1件，共需3.15元；若購甲4

件，乙10件，丙1件，共需4.20元．現在計劃購甲、乙、丙各1件，共需多少元？

分析：要求的未知數是三個，而題設條件中只有兩個等量關系，企圖把甲、乙、丙各1

件的錢數一一求出來是不可能的，若把甲、乙、丙各1件的錢數看成一個整體，問題就可能

解決．

解：設購甲、乙、丙各1件分別需

x

元、y元、z元．

依題意，得

37315

410420

xyz

xyz

???

???

?

?

?

.

.

，即

23315

33420

()().

()().

xyxyz

xyxyz

?????

?????

?

?

?

解關于xy?3，xyz??的二元一次方程組，可得xyz???105.（元）

答：購甲、乙、丙各1件共需1.05元．

說明：由于我們所感興趣的不是

x

、y、z的值，而是xyz??這個整體的值，所以

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

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第9題

Y

X

O1

-1

第10題

6

5

4

3

2

1

I

H

G

F

E

D

C

B

A

目標明確，直奔主題，收到了事半功倍的效果．

三．函數與圖象中的整體思想

例8．已知ym?和xn?成正比例（其中

m

、

n

是常數）

（1）求證：y是x的一次函數；

（2）如果y??15時，x??1；x?7時，y?1，求這個函數的解析式.

解：（1）因ym?與xn?成正比例，故可設ymkxnk????()()0

整理可得ykxknm???()

因k?0，k、??()knm為常數，所以y是x的一次函數.

（2）由題意可得方程組

?????

???

?

?

?

15

17

kknm

kknm

()

()

解得k?2，knm??13.

故所求的函數解析式為yx??213．

說明：在解方程組時，單獨解出k、

m

、

n

是不可能的，也是不必要的．故將knm?

看成一個整體求解，從而求得函數解析式，這是求函數解析式的一個常用方法．

例9．若關于

x

的一元二次方程22(1)20xaxa?????有一根大于1，一根小于1?，

求

a

的取值范圍．

分析：此題如果運用根的判別式和韋達定理，解答此題較為困難．整體考慮，把一元二

次方程22(1)20xaxa?????與二次函數22(1)2yxaxa?????聯系起來，利用二次

函數的圖象來解題，則顯得很直觀，也較為容易．

解：由題意可知，拋物線與

x

軸的交點坐標，

一個交點在點(1,0)的右邊，另一個交點在點

(1,0)?的左邊，拋物線圖象開口向上，則可得：

當1x?時,0y?，當1x??時，0y?，即

2

2

20

0

aa

aa

?

???

?

??

?

，∴20a???．

說明：（1）由于當1x?,1x??時，0y?，

所以解答過程中不必再考慮0??了．

（2）利用函數與圖象，整體考察，是解決

涉及方程（不等式）有關根的問題最有效的方法

在之一，在數學教學中應當引起足夠的重視．

四．幾何與圖形中的整體思想

例10．如圖，

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

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第11題

O

P

F

E

D

C

B

A

123456????????????

分析：由于本題出無任何條件，因而單個角是無法求出的．利用三角形的性質，我們將

12???視為一個整體，那么應與△ABC中BAC?的外角相等，同理34???，56???

分別與ABC?，ACB?的外角相等，利用三角形外角和定理，本題就迎刃而解了．

解：因為12DAB?????，34IBA?????，56GCB?????,根據三

角形外角定理，得360DABIBAGCB??????°，

所以123456????????????360°．

說明：整體聯想待求式之間的關系并正確應用相關性質是解決此類問題的關鍵．

例11．如圖，菱形ABCD的對角線長分別為3和

4，P是對角線AC上任一點（點P不與A，C重

合），且PE∥BC交AB于E，PF∥CD交AD于

F，則圖中陰影部分的面積為．

解：不難看出，四邊形AEPF為平行四邊形，

從而△OAF的面積等于△OAE的面積，

故圖中陰影部分的面積等于△ABC的面積，

又因為

1

2ABCABCD

SS

?

?

11

343

22

?????，所以圖中陰影部分的面積為3.

說明：本題中，△OAF與△OAE雖然并不全等，但它們等底同高，面積是相等的．因

而，可以將圖中陰影部分的面積轉化為△ABC的面積．我們在解題過程中，應仔細分析題

意，挖掘題目的題設與結論中所隱含的信息，然后通過整體構造，常能出奇制勝．

例12．如圖，在正方形ABCD中，E為BC邊的中點，AE平分BAF?，試判斷AF

與BCCF?的大小關系，并說明理由．

解：AF與BCCF?的大小關系為AFBCCF??．

分別延長AE，DC交于點G，因為E為BC邊的中點，因而易證△ABE≌△GCE，

所以ABGC?，并且BAECGE???，ABBC?，從而BCCFGF??．由于AE平

分BAF?，所以BAEFAE???，故FAECGE???，即△AFG為等腰三角形，即

AFGF?，所以，AFBCCF??．

說明：證明一條線段等于另外兩條線段的和差，常常用截長法或補短法把問題轉化為證

明兩條線段相等的問題，本題中我們利用三角形全等將BCCF?轉化為FG這一整體，從

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而達到了解決問題的目的．

用整體思想解題不僅解題過程簡捷明快，而且富有創造性，有了整體思維的意識，在思

考問題時，才能使復雜問題簡單化，提高解題速度，優化解題過程．同時，強化整體思想觀

念，靈活選擇恰當的整體思想方法，常常能幫助我們走出困境，走向成功．

練習

一、選擇題

1.（2011鹽城，4，3分）已知a﹣b=1，則代數式2a﹣2b﹣3的值是（）

A.﹣1B.1C.﹣5D.5

2.（2011，臺灣省，26,5分）計算（250+0.9+0.8+0.7）2

﹣（250﹣0.9﹣0.8﹣0.7）

2

之值為

何？（）

A、11.52B、23.04

C、1200D、2400

3.10（2011山東淄博10，4分）已知a是方程x2+x﹣1=0的一個根，則

22

21

1aaa

?

??

錯誤!

未找到引用源。的值為（）

A.

15

2

??

錯誤!未找到引用源。B.

15

2

??

錯誤!未找到引用源。C.﹣1

D.1

二、填空題

1.（2011?德州，14，4分）若x

1

，x

2

是方程x2+x﹣1=0的兩個根，則x12+x22=．

2.（2011年山東省威海市，16，3分）分解因式：16–8（x–y）+（x–y）2=．

3.（2011四川達州，15，3分）若2231210aabb??????錯誤!未找到引用源。，則

2

2

1

ab

a

??錯誤!未找到引用源。=．

三、解答題

1.（2011?江蘇宿遷，21，8）已知實數a、b滿足ab=1，a+b=2，求代數式a2b+ab2

的值．

2.（2010重慶，21，10分）先化簡，再求值：

2

2

122

121

xxxx

xxxx

???

??

??

??

???

??

，其中x滿足

x2－x－1＝0．

窮人思維總是找借口富人的思維是來解決問題的

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答案：ADD；3，（4-x+y）2，6；2,1