反比例函數公式

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期末復習

第十七章反比例函數

一、知識點：

1.反比例函數概念的理解；

2.反比例函數圖象和性質；

3.反比例函數的實際應用。

二、基礎知識：西市買鞍韉

1.概念：形如(0)

k

yk

x

??的函數叫做反比例函數。

注意：⑴要求：0,00kxy?????圖象與坐標軸無交點；

⑵三種形式：①一般形式：

(0)

k

yk

x

??（x在分母中的指數為1）；

②負指數形式：1ykx??（x指數為

1?

，

0k?

）；

③積的形式：xykSx幾個造句 yk???

矩

＝（或

1

2

Sxyk

?

??）

2.畫圖：列表、描點、連線。

⑴列表：以0為中心，在0的兩邊取三對（或三對以上）互為相反數的數，例如：1,2,3x?和

1,2,3.x???賺錢工作 ?填

y

時，只需計算右側的函數值，則左側值是右側值的相反數，只有這樣才能使畫出的圖

象對稱、美觀。一般取值越多，畫的圖象越準確。

⑵描點：（略）

⑶連線：注意雙曲線的兩個分支是斷開的（如圖1）。

3.圖象的性質：

（1）形狀：雙曲線（兩個分支都無限接近坐標軸，但不與坐標軸相交）；

（2）位置和增減性：

0k?

雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內

y

隨x的增大而

減小；

0k?

雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內

y

隨x的增大而增大；

（3）對稱性：雙曲線

(0)

k

yk

x

??的圖形是中心對稱圖形，本身既關于原點對稱也關于直線

yxyx???和對稱；雙曲線(0)

k

yk

x

??與(0)

k

yk

x

???既關于x軸對稱也關于

y

軸對稱；

（4）幾何意義：雙曲線

(0)

k

yk

x

??圖象上任意一點向x軸和

y

軸作垂線，它們與兩坐標軸所圍成

矩形的面積等于k；

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（5）其它：在同一個坐標系中，k越大反比例函數圖象越靠外；（如圖2所示，

123

kkk??）

注意：⑴雙曲線的兩個分支夢到家人 都無限接近坐標軸，但不與坐標軸相交；⑵增減性的前提條件是在同一

個象限內。

三、應用航空機炮

1.求函數解讀式：

⑴建立函數模型；⑵根據題意列方程或方程組；⑶求出待定系數；⑷寫出函數解讀式。

2.根據實際問題或公式建立反比例函數模型，解決生活中的實際問題；

3.利用函數圖象的性質解決問題。

四、練習

（一）反比例函數概念的練習

1.指出下列反比例函數中

k

的值。

⑴

5

y

x

?⑵

3

y

x

??⑶捉蚊趣事

1

2

y

x

?⑷

2

3

y

x

??

2.做一做。

⑴已知反比例函數22(21)mymx???的圖象在第二象限時，求m的值。

⑵若反比例函數25mymx??的圖象在它所在的象限內

y

隨x的增大而增大，求m的值。

⑶已知反比例函數2(5)nymx???的圖象在第一、第三象限，求m的值。

⑷若23(1)mymx???是反比例函數，則

_____m?

，

_____n?

。

3.做一做。

⑴已知

y

與2x成反比例，且當x＝3時，

y

＝4，①寫出

y

與x之間的函數解讀式；②求x＝1.5時

y

的值。

⑵如果

y

是z的反比例函數，z是x的反比例函數，那么

y

與x有怎樣的函數關系？

⑶如果

y

是z的反比例函數，z是x的正比例函數，且

0x?

那么

y

與x有怎樣的函數關系？

⑷已知

12

yyy??，

1

y與x成正比例，

2

y與x成反比例，且x＝1和x＝2時，

y

的值分別為2和

1

2

，求

y

與x的函數關系式。

⑸已知

12

yyy??，

1

y與2x成正比例，

2

y與

2x?

成反比例，且x＝

1?

時，

y

＝1，當x＝0時，

y

＝3，求

y

與x的函數關系式。

⑹已知

y

與

3x?

成反比例，x與

2

z

成反比例，求

y

與z的函數關系式。

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（二）反比例函數圖象和性質

1.已知A（x，3）時反比例函數

6

y

x

??上一點，則x＝.

2.已知反比例函數圖象經過點（3，2）和（m，

2?

），則m＝.

3.已知

11

ykx?，2

2

k

y

x

?都經過（2，1），則

1

k＝，

2

k＝緬甸菜 .

4.雙曲線過點（

4?

，

2?

），則雙曲線的兩支分別位于第，象限。

5.若反比例函數

k

y

x

?的圖象經過（4，12），則當x＝6時，y＝，當x＝時，y＝

4?

，當y≥

1?

時，x的取值范圍是。

6.已知反比例函數

k

y

x

?經過點（

1?

，2），那么一次函數y＝

2kx??

的圖象一定不經過第象限。

7.反比例函數的圖象在第二、第四象限內，則m的取值范圍是。

8.矩形的面積為20，則矩形的長y與寬x之間的函數解讀式為。

9.已知點A為反比例函數

k

y

x

?上一點，AB⊥x軸與B點，若

ABC

S

?

＝4，則

k

＝。

10函數

m

y

x

?與

ymxm??(0)m?在同一坐標系中的圖象可能是（C）。

分析：方法一、分情況畫圖（

0m?

和

0m?

）；方法二、同11、12題。

11.函數ykxb??（

0k?

）與

k

y

x

?（

0k?

）在同一坐標系中的圖象可能是（A）。

分析：方法一、同10題；方法二、列表分析如下：

函數

ABCD

ykxb??

0k?0k?0k?0k?

k

y

x

?

0k?0k?0k?0k?

結論不矛盾矛盾矛盾矛盾

12正比例函數

y

＝2

kx

與反比例函數

1k

y

x

?

?在同一坐標系中的圖spa視頻 象不可能是（D）。

4/5

分析：方法一、同10題；方法二、列表分析如下：

函數

ABCD

y＝2kx

0k?0k?0k?0k?

1k

y

x

?

?

1k?1k?1k?1k?

可能性可能可能可能不可能

可能的條件0k?0k?01k??————

13.已知A（

2?

，a），B（

1?

，

b

），C（3，c）在雙曲線

k

y

x

?（

0k?

）上，則abc、、的大

小關系為。

14.已知A（a，

1?

），B（

b

，

25

4

?），C（c，25?）在雙曲線

2

y

x

?的圖象上，則abc、、的

大小關系為。

15.已知反比例函數

m

y

x

?的圖象上有兩點A（

1

x，

1

y），B（

1

x，

1

y），當

1

x<0<2x時，

1

y>

2

y，則m的取值范圍是。

16.如圖3是三個反比例函數1

k

y

x

?，2

k

y

x

?，3

k

y

x

?在同一個

坐標系中的圖象，由此觀察到

1

k，

2

k，

3

k的大小關系為。

（三）函數解讀式

1.當n取何值時，2(1)mynx???是反比例函數？它的圖象在第幾象限？并畫出圖象。

2.已知A（

4?

，2），B（n，

4?

）是一次函數ykxb??與反比例函數

m

y

x

?圖象的兩個交點，

⑴求這兩個函數的解讀式。⑵根據圖象寫出使一次函數值小于反比例函數值的x的取值范圍。

3.已知反比例函數

5k

y

x

?

?與一次函數2yxk??的圖象相交，其中一個點的交點縱坐標為

4?

，

求這兩個函數的解讀式。

4.已知一次函數ykxk??的圖象與反比例函數

8

y

x

?的圖象在第一象限交于B（4，n），求

k

，

b

的值。

5.點A是正比例函數2yx?與一次函數

8

y

x

?在第一象限交點，求⑴A點坐標。⑵已知

4

3

yxb??

與x軸交于點C，求B的值和C的坐標。

6.已知反比例函數圖象過點（1，3），⑴求反比例函數解讀式。⑵求21yx??與反比例函數圖象的

交點A、B和坐標原點O組成的三角形的面積。

（四）應用

1.一水池內有污水60（3m），設放凈全池水所需時間為t（h），1h放水量為w（3m）。⑴試寫出

t與w之間的函數解讀式，t是w的反比例函數嗎？⑵當w＝15時求t的值。

2.如圖4，點P是x軸正半軸上一點，過P作x軸垂線交雙曲線

1

y

x

?與一點Q，連接OQ，當P沿

5/5

x軸正方向運動時，Rt△QOP的面積（）。

A.逐漸變大B.逐漸變小C.保持不變D.無法確定

3.如圖5，雙曲線

6

y

x

?上取一點B，過B作AB⊥x軸與A點，BC⊥

y

軸與C點。

⑴求矩形OABC的面積。

⑵作類似矩形OA

1

B

1

C

1

，求矩形OA

1

B

1

C

1

的面積。

⑶你發現了什么？

⑷利用⑶的結論解決：在

k

y

x

?的圖象上有一點M，作MN⊥

y

軸與H，已知矩形ONMH的面積為

9，求解讀式。

4.如圖6，Rt△ABO的頂點A是雙曲線

k

y

x

?與直線(1)yxk????在第四象限的交點，AB⊥x軸

與B，且

3

2ABO

S

?

?，求這個解讀式。

5.如圖7，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，P是BC上與B、C不重合的任意一點，設PA＝x，

點D到PA的距離為

y

，求

y

與

y

之間的函數關系式。

6.已知，雙曲線

k

y

x

?的圖象經過P（2，2），函數yaxb??的圖象與直線

yx??

平行，且經過

雙曲線上一點Q（1，m）.⑴求出點Q的坐標。⑵函數2

25k

yaxbx

k

?

???有最大值還是最小值，這個

值是多少？

7.某函數具有下列兩條性質：①圖象關于原點成中心對稱；②當x>0時，函數值

y

隨x的增大而減

小。寫出一個符合條件的函數解讀式。

8某函數具有下列兩條性質：①圖象不經過第二象限；②圖象經過點（2，

5?

）。寫出一個符合條件

的函數解讀式。.

9.一次函數22(1)21ymxm????對任意的實數m，當m變化時，可表示無數條直線，求證cad放大命令 ：這

無數條直線相交于一點，求出這點坐標。

解：當m＝0時，1yx??；當m＝1時，23yx??。解

1

23

yx

yx

??

?

?

??

?

的

2

1

x

y

?

?

?

??

?

，把x＝2，

y

＝3代入22(1)21ymxm????的左右兩邊得：左邊＝1；右邊＝22(1)221mm????＝1，所有，左

邊＝右邊，即不論m取何值時，這無數條直線都相交于一點（2，1）。