籃球打氣

理想氣體的變質量問題的處理方法

對理想氣體變質量問題，可根據不同情況用克拉珀龍方程、理想氣體狀態方程和氣體

實驗定律進行解答。

方法一：化變質量為恒質量——等效的方法

在充氣、抽氣的問題中可以假設把充進或抽出的氣體包含在氣體變化的始末狀態中，即

用等效法把變質量問題轉化為恒定質量的問題。

方法二：應用密度方程

一定質量的氣體，若體積發生變化，氣體的密度也隨之變化，由于氣體密度

m

V

??，

故將氣體體積

m

V

?

?

代入狀態方程并化簡得：

22

2

11

1

T

p

T

p

??

?

，這就是氣體狀態發生變化

時的密度關系方程．

此方程是由質量不變的條件推導出來的，但也適用于同一種氣體的變質量問題；當溫度

不變或壓強不變時，由上式可以得到：

2

2

1

1

??

pp

?

和

2211

TT???，江西鷹潭龍虎山 這便是玻意耳定律的密度

方程和蓋呂薩克定律的密度方程．

方法三:應用克拉珀龍方程

其方程為nR

T

PV

?。這個方程有4個變量：p是指理想氣體的壓強，V為理想氣體的

體積，n表示氣體物質的量，而T則表示理想氣體的熱力學溫度；還有一個常量：R為理想

氣體常數，R=8.31J/mol.K=0.082atm.L/mol.K。

方法四:應用理想氣體分態式方程

若理想氣體在狀態變化過程中，質量為m的氣體分成兩個不同狀態的部分

21

mm、，或

由若干個不同狀態的部分

21

mm、的同種氣體的混合，則應用克拉珀龍方程R

M

m

T

PV

?易

推出：

1

2

'

2

'

2

'

1

'

1

'

1

2

22

1

11

T

VP

T

VP

T

VP

T

VP

???

上式表示在總質量不變的前提下，同種氣體進行分、合變態過程中各參量之間的關系，

可謂之“分態式”狀態方程。

1.打氣問題

向球、輪胎中打氣是一個典型的變質量氣體問題。只要選擇球內原有氣體和即將打入的

氣體的整體作為研究對象，就可把打氣過程中的變質量問題轉化為氣體總質量不變的狀態變

化問題。類似的問題還有將一個大容器里的氣體分裝到多個小容器中等，處理的方法也類似。

例1．一個籃球的容積是2.5L，用打氣筒給籃球打氣時，每次把510Pa的空氣打進去

3125cm。如果在打氣前籃球里的空氣壓強也是510Pa，那么打30次以后籃球內的空氣壓強

是多少Pa？（設在打氣過程中氣體教后反思 溫吉林市北山公園 度不變）

解析：由于每打一次氣，總是把V?體積，相等質量、壓強為

0

p的空氣壓到容積為

0

V

的容器中，所以打

n

次氣后，共打入壓強為

0

p的氣體的總體積為nV?，因為打入的nV?體

積的氣體與原先容器里空氣的狀態相同，故以這兩部分氣體的整體為研究對象早晨圖片 ．取打氣前為

初狀態：壓強為

0

p、體積為

0

VnV??；打氣后容器中氣體的狀態為末狀態：壓強為

n

p、

體積為

0

V．

令

2

V為籃球的體積,

1

V為n次所充氣體的體積及籃球的體積之和

則

1

2.5300.125VLL???

由于整個過程中氣體質量不變、溫度不變，可用玻意耳定律求解。

1122

pVpV???

5

5

11

2

2

10(2.5300.125)

Pa2.510Pa

2.5

pV

p

V

????

????

變式1：一個籃球的容積是2.5L，用打氣筒給籃球打氣時，每次把510Pa的空氣打進去

3125cm。如果在打氣前籃球里的空氣壓強也是510Pa，那么打30次以后籃球內的空氣壓強

是多少Pa？（設在打氣過程中氣體溫度不變）

變式

2

.

（

2019

全國理綜

I

卷

33

）熱等靜壓設備廣泛用于材料加工中。該設備工作時，先在室

溫下把惰性氣體用壓縮機壓入到一個預抽真空的爐腔中，然后爐腔升溫，利用高溫高氣壓環

境對放入爐腔中的材料加工處理，改善其性能。一臺熱等靜壓設備的爐腔中某次放入固體材

料后剩余的容積為

0.13m3，爐腔抽真空后，在室溫下用壓縮機將

10

瓶氬氣壓入到爐腔中。

已知每瓶氬氣的容積為

3.210-2m3，使用前瓶中氣體壓強為

1.5107Pa

，使用后瓶中剩余氣體

壓強為

2.0106Pa

；室溫溫度為

27℃

。氬氣可視為理想氣體。

（

i

）求壓入氬氣后爐腔中氣體在室溫下的壓強；

（

ii

）將壓入氬氣后的爐腔加熱到

1227℃

，求此時爐腔中氣體的壓強。

【解題思路】（i）設初始時每瓶氣體的體積為V

0

，壓強為p

0

；使用后氣瓶中剩余氣體的壓

強為p

1

。假設體積為V

0

、壓強為p

0

的氣體壓強變為p

1

時，其體積膨脹為V

1

。由玻意耳定律

p

0

V

0

=p

1

V

1

①

被壓入進爐腔的氣體在室溫和p

1

條件下的體積為

10

VVV

?

??②

設10瓶氣體壓入完成后爐腔中氣體的壓強為p

2

，體積為V

2

。由玻意耳定律

p

2

V

2

=10p

1

V

?③

聯立①②③式并代入題給數據得

p

2

=32107Pa④

圖1

（ii）設加熱前爐腔的溫度為T

0

，加熱后爐腔溫度為T

1

，氣體壓強為p

3

，由查理定律

3

1

10

p

p

TT

?⑤

聯立④⑤式并代入題給數據得

p

3

=1.6108Pa⑥

2.抽氣中的變質量問題

用打氣筒對容器抽氣的的過程中，對每一次抽氣而言，氣體質量發生變化，其解決方法同充

氣問題類似：假設把每次抽出的氣體包含在氣體變化的始末狀態中，即用等效法把變質量問

題轉化為恒定質量的問題。

例2.用容積為V?的活塞式抽氣機對容積為

0

V的容器中的氣體抽氣，如圖1所示。設

容器中原來氣體壓強為

0

p，抽氣過程中氣體溫度不變．求抽氣機的活塞抽動

n

次后，容器

中剩余氣體的壓強

n

p為多大？

解析：如圖是活塞抽氣機示意圖，當活塞下壓，閥門a關閉，b打開，抽氣機氣缸中V

體積的氣體排出．活塞第二每周工作匯報模板 次上提（即抽第二次氣），容器中氣體壓強降為P

2

．根據玻意耳

定律得

第一次抽氣

0010

()pvpvv???0

10

0

v

pp

vv

?

??

第二次抽氣

1020

()pvpvv???2

0

20

0

()

v

pp

vv

?

??

以此類推，第

n

次抽氣容器中氣體壓強降為0

0

0

()n

n

v

pp

vv

?

??

[拓展].某容積為20L的氧氣瓶里裝有30atm的氧氣，現把氧氣分裝到容積為5L的小

鋼瓶中，使每個小鋼瓶中氧氣的壓強為4atm，如每個小鋼瓶中原有氧氣壓強為1atm。問最

多能分裝多少瓶？（設分裝過程中無漏氣，且溫度不變）

解析：設最多能分裝N個小鋼瓶，并選取氧氣瓶中的氧氣和N個小鋼瓶中的氧氣整體

為研究對象。

按題設，分裝前后溫度T不變。

分裝前整體的狀態

分裝后整體的狀態：

由此有分類式：

代入數據解得：

，取34瓶

說明：分裝后，氧氣瓶中剩余氧氣的壓強應大于或等于小鋼瓶中氧氣應達到的壓強

，即，但通常取。千萬不能認為，因為通常情況下不可能將

氧氣瓶中的氧氣全部灌入小鋼瓶中。

例3.開口的玻璃瓶內裝有空氣，當溫度自0C升高到100C時，瓶內恰好失去質量為1g的

空氣，求瓶內原有空氣質量多少克？

解析：瓶子開口，瓶內外壓強相等，大氣壓認為是不變的，所以瓶內的空氣變化可認為

是等壓變化．設瓶內空氣在0C時密度為

1

?，在100C時密度為

1

?，瓶內原來空氣質量

為

m

，加熱后失去空氣質量為m?，由于對同一氣體來說，m??，故有

mm

m

??

?

2

1

?

?

①

根據蓋呂薩克定律密度方程：TT

211

???②

由①②式，可得：

2

21

2731

3.73

373273

Tm

mgg

TT

??

?

???

??

變式3.（2016全國理綜甲）一氧氣瓶的容積為0.08m3，開始時瓶中氧氣的壓強為20個大

氣壓。某實驗室每天消耗1個大氣壓的氧氣0.36m3。當氧氣瓶中的壓強降低到2個大氣壓

時，需重新充氣。若氧氣的溫度保持不變，求這瓶氧氣重新充氣前可供該實驗室使用多少天.。

【名師解析】設氧氣開始時的壓強為

p

1，體積為

V1；壓強變為

p2（

2

個大氣壓）時，體積

為

V

2；

根據玻意耳定律得

p

1V1=p2V2

重新充氣前，用去氧氣在壓強

p

2下的體積為

V3=V2-V1，

設用去的氧氣在壓強

p

0（

1

個大氣壓）下的體積為

V0，則有

p2V3=p0V0

設實驗室每天用去的氧氣在壓強

p

0（

1

個大氣壓）下的體積為△

V

，則氧氣可用的天數為

N=V0/

△

V

聯立解得：

N=4

天。

變式

3.

中醫拔罐的物理原理是利用玻璃罐內外的氣壓差使罐吸附在人體穴位上，進而治療某

些疾病。常見拔罐有兩種，如圖所示，左側為火罐，下端開口；右側為抽氣拔罐，下端開口，

上端留有抽氣閥門。使用火罐時，先加熱罐中氣體，然后迅速按到皮膚上，自然降溫后火罐

內部氣壓低于外部大氣壓，使火罐緊緊吸附在皮膚上。抽氣拔罐是先把罐體按在皮膚上，再

通過抽氣降低罐內氣體壓強。某次使用火罐時，罐內氣體初始壓強與外部大氣壓相同，溫度

為

450K

，最終降到

300K

，因皮膚凸起，內部氣體體積變為罐容積的

20

21

。若換用抽氣拔罐，

抽氣后罐內剩余氣體體積變為抽氣拔罐容積的

20

21

，罐內氣壓與火罐降溫后的內部氣壓相同。

罐內氣體均可視為理想氣體，忽略抽氣過程中氣體溫度的變化。求應抽出氣體的質量與抽氣

前罐內氣體質量的比值。

解析：

設火罐內氣體初始狀態參量分別為

p

1、

T

1、

V

1，溫度降低后狀態參量分別為

p

2、

T

2、

V

2，罐

的容積為

V

0，由題意知

p

1=

p

0、

T

1=450K

、

V

1=

V

2、

T

2=300K

、

V

2=20

V

0/21①

由理想氣體狀態方程得

20

00

12

20

21

pV

pV

TT

?

?

②

代入數據得

p

2=0.7

p

0③

對于抽氣罐，設初態氣體狀態參量分別為

p

3、

V

3，末態氣體狀態參量分別為

p

4、

V

4，罐的

容積為

0

V

?

，由題意知

p

3=

p

0、

V

3=

0

V

?

、

p

4=

p

2④

由玻意耳定律得

2004

VVpp

?

?⑤

聯立

②⑤

式，代入數據得

40

10

7

VV

?

?⑥

設抽出的氣體的體積為

V

，由題意知

40

20

21

VVV

?

??⑦

故應抽出氣體的質量與抽氣前罐內氣體質量的比值為

4

mV

mV

?⑧

聯立

②⑤⑦⑧

式，代入數據得

1

3

m

m

?

⑨

例4.如圖所示，兩個充有空氣的容器A、B，以裝有活塞栓的細管相連通，容器A浸在溫

度為

Ct???23

1

的恒溫箱中，而容器B浸在

Ct??27

2

的恒溫箱中，彼此由活塞栓隔開。容器A

的容積為

LV1

1

?

，氣體壓強為

atmp1

1

?

；容器B的容積為

LV2

2

?

，氣體壓強為

atmp3

2

?

，

求活塞栓打開后，氣體的穩定壓強是多少？

解析：設活塞栓打開前為初狀態，打開后穩定的狀態為末狀態，活塞栓打開前后兩個容

器中的氣體總質量沒有變化，且是同種氣體，只不過是兩容器中的氣體有所遷移流動，故可

用分態式求解。

將兩容器中的氣體看成整體，由分態式可得：

因末狀態為兩部分氣體混合后的平衡態，設壓強為p”，則，代入有關的

數據得：

因此，活塞栓打開后，氣體的穩定壓強為2.25atm。

變式4.如圖4所示的容器A與B由毛細管C連接，

3

BA

VV?,開始時，A、

B都充有溫度為

0

T,壓強為

0

p的空氣。現使A的溫度保持

0

T不變，對B加

熱，使B內氣體壓強變為

0

2p，毛細管不傳熱，且體積不計，求B中的氣體

的溫度。

解析：對B中氣體加熱時，B中氣體體積、壓強、溫度都要發生變化，

將有一部分氣體從B中進入A中，進入A中的氣體溫度又變為

0

T，雖然A中

氣體溫度不變，但由于質量發生變化，壓強也隨著變化（p增大）,這樣A、B兩容器中的

氣體質量都發生了變化，似乎無法用氣態方程或實驗定律來解，那么能否通過巧妙的選取研

究對象及一些中間參量，把變質量問題轉化為定質量問題處理呢？

圖4

加熱后平衡時兩部分氣體壓強相等，均為

0

2p，因此，可先以A、B中的氣體作為研

究對象（一定質量），假設保持溫度

0

T不變，壓強由

0

p增至

0

2p，體積由（

AB

VV?）變為

V；再以此狀態時體積為（

A

VV?）的氣體為研究對象，壓強保持

0

2p不變，溫度由

0

T升到

T,體積由（

A

VV?）變為3

BA

VV?,應用氣體定律就可以求出T來。

先以AB中氣體為研究對象

初狀態

0

p，

0

T,4

ABA

VVV??末狀態

0

2p，T,V

由波義耳定律

00

42

A

pVpV??①

再以B中剩余氣體為研究對象

初狀態2

0

p，

0

T,

A

VV?末狀態

0

2p，T,3

BA

VV?

由蓋?呂薩克定律得

0

3

AA

VVV

TT

?

?②由①②得

0

3TT?

變式5.（10分）（2020高考全國理綜I）甲、乙兩個儲氣罐儲存有同種氣體（可視為理想

氣體）。甲罐的容積為V，罐中氣體的壓強為p；乙罐的容積為2V，罐中氣體的壓強為

1

2

p。

現通過連接兩罐的細管把甲罐中的部分氣體調配到乙罐中去，兩罐中氣體溫度相同且在調配

過程中保持不變，調配后兩罐中氣體的壓強相等。求調配后

（i）兩罐中氣體的壓強；

（ii）甲罐中氣體的質量與甲罐中原有氣體的質量之比。

【名師解析】：

（i）假設乙罐中的元宵節的傳說 氣體被壓縮到壓強為p，其體積變為V

1

，由玻意耳定律有

1

1

(2)=

2

pVpV①

現兩罐氣體壓強均為p，總體積為(V+V

1

)。設調配后兩罐中氣體的壓強為p′，由玻意耳

定律有

p（V+V

1

）=p′（V+2V）②

聯立①②式可得

2

3

pp

?

?③

（ⅱ）若調配后甲罐中的氣體再被壓縮到原來的壓強p時，體積為V

2

，由玻意耳定律

p′V=pV

2

④

設調配后甲罐中氣體的質量與甲罐中原有氣體的質量之比為k，由密度的定義有

2

V

k

V

?⑤

聯立③④⑤式可得

2

3

k?⑥