笛沙

樣本平均數的方差的推導：

假定從任意分布的總體中抽選出一個相互獨立的樣本

1

,,

n

xx

，則有

22(),

i

ixX

ExX????

即每一個樣本單位都是與總體同分布的。

在此基礎上，

證明樣本平均數以總體平均數為期望值。

??

12

12

12

()()

1

()

1

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1

()

n

n

n

xxx

ExE

n

Exxx

n

ExExEx

n

XXXX

n

???

?

????

????

?????

接著，測試緣分 再以此為基礎，推導樣本平均數的方差。

在此，需要注意方差的計算公式為：

22(())

X

EXEX???

以下需要反復使用這一定義：

22

2

12

2

12

2

2

12

2

222

12

2

222

12

2

(())

()

1

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1

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1

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1

()()()wps文檔加密 ()()

1

x

n

n

n

nij

ij

nij

ij

ExEx

xxx

EX

n

ExxxnX

n

ExXxXxX

n

ExXxXxXxXxX

n

ExXExXEx顯微鏡觀察 XExXxX

n

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???

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?????

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??

??

??

??????????

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?

?

?

?

2

2

2

n

nn

?

???

在證明中，一個關鍵的步驟是()()0

ij

ij

ExXxX

?

????，其原

因在工資計算 于這一項事實上是

i

x與

j

x的協方差。由于任意兩個樣本都是

相互獨立的，因此其協方差均為0。

如果采用的是無放回的抽樣，則樣本間具有相關性，協方差

小于0。此時樣本均值的方差為2

2

1

X

x

Nn

nN

?

?

?

??

?

樣本方差的期望：

證明了樣本平均數的方差公小黃雞圖片 式后，我們可以來分析一下樣本

方差的情況。

先構造一個統計量為

2

1

()

n

i

i

xx

S

n

?

?

?食字開頭的成語

?

?

，我們來求它的期望。

根據方差的簡捷計算千鐘 公式：??2

2

2

X

X

X

n鉤藤的功效

???

?

，可得

??222

11

()()()

ii

ESExnxExnEx

nn

?

??

????

??

??

其中，同樣運用簡捷計算公式，可以得到：

22222()(())

i

ixiX

ExExX??????；

2

2222()(())X

x

ExExX

n

?

?????

原式化為

2

222

2

222

2

1風光攝影

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()()

1

X

X

X

X

X

ESnXnX

nn

XX

n

n

n

?

?

?

?

?

??

?

????

??

??

????

?

?

等式的兩端同除以右側的系數項，得到

2()

1X

n

ES

n

??

?

?

令

22

11

()()

111

nn

ii

ii

xxxx

nn

SS

nnnn

??

??

?

????

???

??

則有2()

X

ES??