優選法

更新時間:2023-04-19 04:24:29 閱讀：評論：0

蘑菇煲-excel條形圖

2023年4月19日發(作者：搬家吉語)
優選試驗設計

優選法
在生產和科學實驗中，人們為了達到優質、高產、低消耗的目
的，需要對有關因素（如配方、配比、工藝操作條件等）的最佳點
進行選擇，所有這些選擇點的問題，都稱之為優選問題。
所謂優選法就是根據生產和科研中的不同問題，利用數學原理，
合理地安排試驗點，減少試驗次數，以求迅速地找到最佳點的一類
科學方法。優選法可以解決那些試驗指標與因素間不能用數學形式
表達，或雖有表達式但很復雜的那些問題。
1單因素優選法
常假定f(x)是定義區間（a,b）的單峰函數，但f(x)的表達式
是并不知道的，只有從試驗中才能得出在某一點x的數值f(x)。應
00
用單因素優選法，就是用盡量少的試驗次數來確定f(x)的最大值的
近似位置。這里f(x)指的是試驗結果，區間（a,b）表示的是試驗
因素的取值范圍。
1.1來回調試方法
優選法來源于來回調試法，如圖1，選取一點x做試驗得
1
y=f(x),再取一點x做試驗得y=f(x)，假定x>x，如果y>y,則
112222121
最大值肯定不在區間（a,x）內，因此只需考慮在（x,b）內求最大
11
值的問題。再在（x,b）內取一點x，做試驗得y=f(x)，如果
1333
x>x,而y,則去掉（x,b），再在（x,x）中取一點x,……，不
32323134
斷做下去，通過來回調試，范圍越縮越小，總可以找f(x)的最大值。

這種方法取點是相當任意的，只要取在上次剩下的范圍內就行
了；那么怎樣取x,x,……，可以最快地接近客觀上存在的最高點
12
呢？也就是怎樣安排試驗點的方法是最好的？下面介紹幾種減少試
驗次數的試驗方法。

1.2黃金分割法（0.618法）
所謂黃金分割指的是把長為L的線段分為兩部分，使其中一部
分對于全部之比等于另一部分對于該部分之比，這個比例就是
=0.6180339887……，它的三位有效近似值就是0.618，所以黃金分
割法又稱為0.618法。
黃金分割法（如圖2），就是將第一個試驗點x安排在試驗范
1
圍內的0.618處（距左端點a），即:x1=a+(b-a)0.618……(1)得
到試驗結果y=f（x）；再在x的對稱點x，即：x=b-(ba)
11122
0.618=a+(b-x)=a+(b-a)0.3海鹽南北湖 82……（2）
1

做一次試驗，得到試驗結果y=f(x)；比較結果y=f(x)及
2211
y=f(x)哪個大，如果f(x)大，就去掉（a,x）,如圖2所示，在留
2212
下的（x,b）中已有了一個試驗點x，然后再用以上的求對稱點的
21
方法做下去，一直做到達到要求為止。
在黃金分割法中，不論是哪一步，所有相互比較的兩個試驗點
都在所在區間的兩個黃金分割點上，即0.618和0.382處，而且這
兩個點一定是相互對稱的。
1.3分數法
在介紹分數法之前，引進如下數列：
F=1,F=1,Fn=F+F(n≥2)
01n-1n-2
該數列稱為菲波那契數列，即為：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144……
我們都知道，任何小數都可以表示為分數，則0.618也可近似
地用分數來表示，即：
分數法適用于試驗點只能取整數的情況。例如在配制某清洗液
時，要優選某材料的加入量，其加入量用150ml的量杯來計算，該
量杯的量程分為15格，每格代表10ml，由于量杯是錐形的，所以

每格的高度不等，很難量出幾毫升或幾點幾毫升，因此不便用
0.618法。這時，可將試驗范圍定為0~130ml，中間正好有13格，
就以8/13代替0.618。第一次試驗點在處，即80ml處，第二次試
驗點選在的對稱點處，即50ml處，然后來回調試便可找到滿意的結
果。
在使用分數法進行單因素優選時，應根據試驗區間選擇合適的
分數，所選擇的分數不同，試驗次數也不一樣。如表1所示，雖然
試驗范圍劃分的份數隨分數的分母增加的很快，但相鄰兩分數的試
驗次數只增加1。
表1 分數法試驗
分數Fn/Fn+1 第一試驗點位等分試驗范圍試驗次數
2/3 2/3,1/3 3 2
3/5 3/5,2/5 5 3
5/8 5/8,3/8 8 4
8/13 8/13,5/13 13 5
13/21 13/21,8/21 21 6
21/34 21/34,13/34 34 7
34/55 34/55,21/34 55 8

有時試驗范圍中的份數不夠分數中的分母數，例如10份，這時，
可以有兩種方法來解決，一種是分析一下能否縮短試驗范圍，如能
縮短兩份，則可用，如果不能縮短，就可用第二種方法，即添兩個
數，湊足13份，應用。
在受條件限制只能做幾次試驗的情況下，采用分數法較好。
1.4對分法
前面介紹的幾種方法都是先做兩個試驗，在通過比較，找出最
好點所在的傾向性來不斷縮小試驗范圍，最后找到最佳點，但不是
所有的問題都要先做兩點，有時可以只做一個試驗。例如，稱量質
量為20~60g某種樣品時，第一次砝碼的質量為40g，如果砝碼偏輕，
則可判斷樣品的質量為40~60g，于是第二次砝碼的質量為50g，如
果砝碼又偏輕了，則可判斷樣品的質量為50~60g，接下來砝碼的質
量應為55g，如此稱下去，直到天平平衡為準。稱量過程如圖3所
示。
置份數Fn+1

這個稱量過程中就使用了對分法，每個試驗點的位置都在試驗
區間的中點，每做一次試驗，試驗區間長度就縮短一半，可見對分
法不僅分法簡單，而且能很快地逼近最好點。但不是所有的問題都
能用對分法，只有符合以下兩個條件的時候，才能用對分法。
①要有一個標準（或具體指標），對分法每次只有一個試驗，
如果沒有一個標準，就無法鑒別試驗結果是好是壞，在上述例子中，
天平是否平衡就是一個標準；
②要預知該因素對指標的影響規律，也就是說，能夠從一個試
驗的結果直接分析出該因素的值是取大了還是取小了，如果沒有這
一條件就不能確定舍去哪段，保留哪段，也就無從下手做下一次試
驗。對于上例，可以根據天平傾斜的方向來判斷是砝碼重，還是樣
品重，進而可以判斷樣品的質量范圍，即試驗區間。
1.5拋物線法
不管是0.618法，還是分數法，都只是比較兩個試驗結果的好
壞，而不考慮試驗的實際值，即目標函數值。而拋物線法是根據已
得的三個試驗數據，找到這三個點的拋物線方程，然后求出該拋物
線的極大值，作為下次試驗的根據。具體方法如下：
①在三個試驗點x,x,x，且x，分別得試驗值y,y,y,根據
123123123
Lagrange插值法可以得到一個二次函數，即：
y=y+y+y……（3）
123
此處，當x=x時，y=y（i=1，2，3）。該函數的圖形是一條拋物線。
ii
②設上述二次函數在x4取得最大值，這時
x4=……（4）
③在x=x處做試驗，得試驗結果y。如果假定y,y,y,y中的最大
441234
值是由的左右兩點，將這三點記為，此處,若在處的函數值分別為,
則根據這三點又可得到一條拋物線方程，如此繼續下去，直到找到
函數的極大點（或它的充分鄰近的一個點）被找到為止。

粗略地說，如果窮舉法（在每個試驗點上都做試驗）需要做n
次試驗，對于同樣的效果，黃金分割法只要數量級lgn次就可以達
到。拋物線法效果更好些，只要數量級lg(lgn)次，原因就在于黃
金分割法沒有較多地利用函數的性質，做了兩次試驗，比一比大小，
就把它丟掉了，拋物線法則對試驗結果進行了數量方面的分析。
拋物線法常常用在0.618法或分數法取得一些數據的情況，這
時能收到更好的效果。此外，還建議做完了0.618法或分數法的試
驗后，用最后三個數據按拋物線法求出x，并計算這個拋物線在點
4
x=x處的數值，預先估計一下在點x處的試驗結果，然后將這個數
44
值與已經試得的最佳值做比較，以此作為是否在點x處再做一次試
4
驗的依據。
例題：在測定某離心泵效率與流量Q之間關系曲線的試驗中，
已經測得三組數據如表2所示，如何利用拋物線法盡快地找到最高
效率點？
表2 離心泵效率與流量Q試驗數據
流量Q/(L/s) 8 20 32
效率/% 50 75 70
解：首先根據這三組數據，確定拋物線的極值點，即下一試驗
點的位置。為了表示方便，流量用x表示，效率用y表示，于是
x=
4
==24
所以，接下來的試驗應在流量為24L/s時進行。試驗表明，在該處
離心泵效率=78%，該效率已經非常理想了，試驗一次成功。
在拋物線法中，主要是確定拋物線方程和拋物線的最大值，這
些都可以利用Excel來求解。以例題為例，先在Excel中畫出散點
圖，然后選擇菜單【圖表】，打開【添加趨勢線】對話框，在“類
型”標簽中選擇“多項式”類型，階數為2，在“選項”標簽中選
中“顯示公式”，確定后即可得到如圖4所示的拋物線和方程。然
后利用Excel中的“規劃求解”工具求出該拋物線方程的最大值，
即為公式（4）中的x。
4

1.6分批試驗法
在生產和科學實驗中，為加速試驗的進行，常常采用一批同時
做幾個試驗的方法，即分批試驗法。分批試驗法可分為分批試驗法
和比例分割分批試驗法兩種。
1.6.1均分法
假設第一批做2n個試驗（n為任意正整數），先把試驗范圍等
分為（2n+1）段，在2n個分點上作第一批試驗，比較結果，留下較
好的點，及其左右一段。然后把這兩段都等分為（n+1）段，在分點
處做第二批試驗（共2n個試驗），這樣不斷的做下去，就能找到最
佳點。如圖5表明了n=2的情形。

1.6.2比例分割法
假設每一批做2n+1個試驗。
第一步，把試驗范圍劃分為2n+2段，相鄰兩段長度為a和b
（a>b）,這里有兩種排法，第一種自左至右先排短段，后排長段；
另一種是先長后短。在（2n+1）個分點上做第一批試驗，比較結果，
在好試驗點左右留下一長一短兩段，試驗范圍變成a+b。

第二步，把a分成2n+2段，相鄰兩段為a1,b1(a1>b1),且
a1=b1，即第一步中短的一段在第二步變成長段。這樣不斷的做下去，
就能找到最佳點。
圖6表示成人腦筋急轉彎了n=2的情形，每批做5個試驗。創新發展理念

注意，這里長短段的比例不是任意的，它與每批試驗次數有關。
設,則可以證明……（5）把n值代入就能算出兩段的比例。
例如，當n=1時，即每批做3個試驗

若實驗范圍為（0，1），則a=0.366,b=0.134,于是第一批試驗
點為0.134，0.500，0.634或0.366，0.500，0.866；第二批試驗
點由a1=b=0.134,b1=0.3660.134=0.049推出。
又如，當n=2時，即每批作五個試驗，，當試驗范圍為（0，1）
時，a=0.264,b=0.069.故第一批試驗點為0.069，0.333，0.402，
0.666，0.735或0.264，0.333，0.597，0.666，0.930；第二批試
驗點由a1=b=0.069,b1=0.2640.069=0.018推出。
由上面計算可喬布斯死看出，試驗范圍為（0，1）時，a=。而且當
n=0時，即每次作一次試驗時，，這就是黃金分割法，所以比例分
割法是黃金分割法的推廣。表3為了試驗范圍為（0，1）時每批奇
數個試驗的安排情況。
表3 試驗范圍為（0，1）時每批奇數個試驗的安排情況
n 每批試驗次數（2n+1）第一批試驗點
1 0.366 3 0.134，0.500，0.634或
2 0.264 5 0.069，0.333，0.402，
0.366，0.500，0.866

3 0.207 7 0.043，0.250，0.293，
4 0.171 9 0.171，0.200，0.371，
0.666，0.735或0.264，
0.333，0.597，0.666，0.930
0.500，0.543，0.750，0.793
或0.207，0.250，0.457，
0.500，0.707，0.750，0.957
0.400，0.571，0.600，
0.771，0.800，0.971或
0.029，0.200，0.229，
0.400，0.429，0.600，
0.629，0.800，0.829

1.7逐步提高法（爬山法）
實踐中往往會遇到這樣的情況，即某些可變因素不允許大幅度
調整。這種情況下，用爬上罰較好。具體方法如下：
先找一個起點，在a點做試驗后向該因素的減少方向找一點b,
做試驗。如果好，就繼日本美女動漫續減少；如果不好，就往增加的方向找一點
c，做試驗，如果c點好就繼續增加，這樣一步一步地提高。如爬到
某點e，再增加時反而壞了，則e就是該因素的最好點。這就是單
因素問題的爬山法。
爬山法的效果和快慢與起點關系很大，起點選得好可以省好多
次試驗。所以對爬山法來說試驗范圍的正確與否很重要。此外，每
步間隔的大小，對試驗效果關系也很大。在實踐中往往采取“兩頭
小，中間大”的辦法，也就是說日記四百字，先在各個方向上用小步試探一下，
找出有利于尋找目標的方向，當方向確定后，再根據具體情況跨大
步，到快接近最好點時再改為小步。如果由于估計不正確，大步跨
過最佳點，這時可退回一步，在這一步內改用小步進行。一般來說，
越接近最佳點的時候，試驗指標隨因素的變化越緩慢。
1.8多峰情況
前面介紹的方法只2適用于“單峰”情況，遇到“多峰”的情
況怎么辦？可以采用下述兩種辦法。

?先不管它是“單峰”還是“多峰”，就用上面介紹的方法做
下去，找到一個“峰”后，如果達到生產要求，就先按它生產，以
后再找其他更高的“峰”。
?先做一批分布得比較均勻、疏松的試驗，看它是否有“多峰”
現象。如果有，則在每個可能出現“高峰”的范圍內做試驗，把這
些“峰”找出來。這時，第一批試驗點最好依以下的比例劃分：：
=0.618：0.382，如圖7所示

則留下的試驗區間成如圖8所示的形式：

接下去便可用0.618法了。

2雙因素優選法
雙因素優選問題，就是要迅速找到二元函數z=f(x,y)的最大值，
及其對應的（x,y）最大值，及其對應的（x,y）點的問題，這里
x,y代表的是雙因素。假定處理的是單峰問題，也就是把x,y平面
作為水平面，試驗結果z看成這一點的高度，這樣的圖形就像一座
山，雙因素優選法的幾何意義是找出該山峰的最高點。如果在水平
面上畫出該山峰的等高線（z值相等的點構成的曲線在x-y上的投
影），如圖9所示，最里邊的一圈等高線即為最佳點。

下面介紹幾種常用的雙因素優選法。
對開法
在直角坐標系中畫出一矩形代表優選范圍：a
在中線x=(a+b)/2上用單因素法找最大值，設最大值在p點。
再在中線y=(c+d)/2上用單因素法找最大值，設為Q點。比較P和
Q的結果，如果Q大，去掉x<(a+b)/2部分，否則去掉另一半。再
用同樣的方法來處理余下的半個矩形，不斷地去其一半，逐步地得
到所需要的結果。優選過程如圖10所示。

需要指出的是，如果P，Q兩點的試驗結果相等（或無法辨認好
壞），這說明P和Q點位于同一條等高線上，所以可以將圖上的下
半塊和左半塊都去掉，僅留下第一象限。所以當兩點試驗數據的可
分辨性十分接近時，可直接去掉試驗范圍的3/4。
例題：某化工廠試制磺酸鋇，其原料磺酸是磺化油經乙醇水溶
液萃取出來的。試驗目的是選擇乙醇水溶液的合適濃度和用量，使

分離出的磺酸最多。根據經驗，乙醇水溶液的濃度變化范圍為
50%~90%（體積百分比），用量變化范圍為30%~70%（質量百分比）。
解：用對折法優選，如圖11，先將乙醇用量固定在50%，用
0.618法，求得A點較好，即濃度為80%；而后上下對折，將濃度固
定在70%，用0.618法優選，結果B點較好，如圖11（a）。比較A
點與B點的試驗結果，A點比B點好，于是丟掉下半部分。在剩下
的范圍內再上下對折，將濃度固定于80%，對用量進行優選，結果
還是A點最好，如圖11（b）。于是A點即為所求。即乙醇水溶液
濃度為80%，用量為50%。

強盛的意思-淘寶客服工作職責

本文發布于:2023-04-19 04:24:28，感謝您對本站的認可！

本文鏈接：http://www.newhan.cn/zhishi/a/1681849469158194.html

本文word下載地址：優選法.doc

本文 PDF 下載地址：優選法.pdf

上一篇：林徽因的愛情

下一篇：返回列表

標簽：優選法

留言與評論（共有 0 條評論）