古代人的計數(shù)和運算方法

古代人的計數(shù)和運算方法

5月16日下午我聽了匯師小學張圓老師的一節(jié)數(shù)學課《從算籌到

計算器》（滬教版），本教學內(nèi)容屬于數(shù)學史知識，在人教版數(shù)學教

材里不是教學任務，只出現(xiàn)在“你知道嗎？”等閱讀環(huán)節(jié)供學生有大

致的了解。大概因為授課教師從教時間短（才工作兩年）又承擔著區(qū)

級研究課的壓力（此次是磨課），所以課上得有點散。本節(jié)課的教學

線索記錄如下：

用計數(shù)器、小棒數(shù)數(shù)（引入）→手指計數(shù)→石子計數(shù)→結(jié)繩計數(shù)

→算籌計數(shù)（展開）→籌算（簡單加法）→算盤計數(shù)→珠算→計算器

計算→總結(jié)

我是第一次聽這樣的數(shù)學課，相對于教學方法而言我對本課的知

識內(nèi)容更感興趣。聽完課的最大感受是：數(shù)學是中華古學的一支，與

今天我們稱而贊之的唐詩宋詞、儒道法禪、書畫琴棋、兵法武術(shù)等一

樣博大精深！認識到這一點后隨之而來的是我無可躲閃的羞愧：對于

如此豐厚的祖宗遺產(chǎn)我究竟了解多少？更不論繼承和弘揚了！我們總

習慣于被告知西方數(shù)學的發(fā)達，我們總習慣于歐氏幾何、非歐幾何、

代數(shù)、微積分的偉大——當然它們的確了不起；但我們在努力學習這

些的同時，要不要也努力溫習一下我們自己的數(shù)學遺產(chǎn)？那么就讓我

從本節(jié)課中的“算籌”起開始一番“亡羊補牢”的學習和思考吧！

第一、什么是算籌？

網(wǎng)上有這樣的描述：算籌是中國古代用來記數(shù)、列式和進行各種

數(shù)與式演算的一種工具。又稱為籌、策、算子等。它最初是小竹棍一

類的自然物，以后逐漸發(fā)展成為專門的計算工具，質(zhì)地與制作也愈加

精致。算籌在中國的起源很早，春秋戰(zhàn)國時期的《老子》中就有“善

數(shù)者不用籌策”的記述。中國古代的算籌不僅是正、負整數(shù)與分數(shù)的

四則運算和開方的運算的工具，而且還包含著各種特定的演算。算籌

是在珠算發(fā)明以前中國獨創(chuàng)并且是最有效的計算工具。中國古代數(shù)學

的早期發(fā)達與持續(xù)發(fā)展是受惠于算籌的。

算籌的計數(shù)法則是：凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，

千十相望，萬百相當（《孫子算經(jīng)》）；滿六以上，五在上方.六不積

算，五不單張（《夏陽侯算經(jīng)》），如下圖所示：

可以看出這是一種十進制計數(shù)法，采用縱橫交錯的擺法區(qū)分不同

數(shù)位上的數(shù)字，遇零則空位。

第二、如何籌算？

算籌不僅可以計數(shù)，還能進行計算，稱為籌算。下面是正整數(shù)四

則運算的籌算過程：

加法：23+73=96

減法：247－128=119（分四步）

乘法：49×36=1764（分四步，積在中間）

除法：309÷7=44又1/7（分五步）

如果再學下去，明顯感覺吃力，只好作罷。稍稍一瞥中已是姿容

萬千，其實后面的內(nèi)容相當豐富，我們會感嘆于自身的孤陋和愚鈍，

正如一位網(wǎng)友在學習籌算除法時所說：這個是我絞盡腦汁的,至今無法

參透籌算的除法方法(能理解微積分,居然被除法玩死了)。

第三、算籌的意義何在？

算籌作為中國獨創(chuàng)的在古代相當長時間里十分先進和成熟的計算

工具曾發(fā)揮過十分強大的作用：其一、支撐起古代發(fā)達的計算及數(shù)學

體系。我國古代數(shù)學的突出特點是以計算為中心。經(jīng)幾代人整理、修

訂而成的數(shù)學經(jīng)典——《九章算術(shù)》，形成的我國古代數(shù)學體系的中

心就是籌算計算。在有史料可查的記載中，從春秋時期的“運籌”到

籌算達到極盛的宋元，起碼在長達二千年的時間里，我國與計算有關

的數(shù)學成就，幾乎都是應用算籌來進行計算的。可以說，沒有算籌，

也就不可能有我國古代輝煌的數(shù)學成就。其二、支撐起發(fā)達的古代自

然科學及社會經(jīng)濟。中國古代依賴于計算的實用自然科學如天文學、

地理學、農(nóng)學（田畝、水利等）、土木工程學等曾取得過至今令世人

驚嘆的杰出成就，這些均受益于算籌的運用。在此基礎上，才會出現(xiàn)

我國古代那繁榮的社會經(jīng)濟、強大的國力及燦爛的文明。其三、催生

算盤的產(chǎn)生。籌算在具有簡便實用、形象具體、容易操作的優(yōu)點的同

時，也存在著縱橫記數(shù)和置籌不便、占用地方面積大、運籌的數(shù)字較

大和計算速度加快時擺放容易出現(xiàn)失誤等缺點。唐宋以來籌算已經(jīng)簡

化，并且形成了一套運算口訣，這些口訣用字極少而意義完整。到了

元代，這種簡化籌算乘除法的歌訣更加簡練和完備。比較重要的歌訣

有“化零歌”、“歸除歌訣”、“撞歸訣”、“起一訣”等，如朱世

杰《算學啟蒙》記載有“化零歌”：“一退六二五，二留一二五，三

留一八七五……”。籌算的的簡化，使計算過程中，用手擺放算籌的速

度已不能適應計算的速度，這就產(chǎn)生了計算時得心不能應手的矛盾。

于是，“青出于藍而勝于藍”的算盤應運而生，這是古代中國人民長

期使用算籌進行不斷優(yōu)化的結(jié)果。到了明代，由于商品經(jīng)濟繁榮、使

用數(shù)學和商業(yè)數(shù)學的發(fā)展，要求計算更簡潔、更迅速。籌算的弊端暴

露的也日益明顯。珠算因“隨手撥珠便成答案”的優(yōu)點，而備受青睞。

加之珠算吸收了籌算的運算技巧，很快籌算被珠算取代。明代的后期，

算籌最終被送進了歷史的博物館。其四、沉淀成寶貴的數(shù)學遺產(chǎn)。現(xiàn)

在雖然進入信息時代，電子計算機以其超強的計算能力將算籌和算盤

遠遠地拋進歷史塵埃里。但是，算籌算盤附帶著籌算與珠算那精深的

數(shù)學思想與方法卻仍然具有重要的研究與應用價值，不會隨時間的流

逝而泯滅。當下不是流行對古代經(jīng)典的重讀嗎？央視《百家講壇》一

類節(jié)目已對《論語》、《三字經(jīng)》、《道德經(jīng)》、《誡子書》、《易

經(jīng)》、《山海經(jīng)》等古學進行解讀，并掀起過一波波的爭論。什么時

候也有人來解讀解讀《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》？到時候我一定做

一名最忠實的聽眾！我想其意義絕不比前者差。這不僅僅是對古代數(shù)

學經(jīng)典的了解及對我國燦爛文化的感受問題，更重要的是正視我們祖

先幾千年積累的傳統(tǒng)數(shù)學成就、領悟數(shù)學經(jīng)典中包含的深刻而獨特的

數(shù)學思想與方法。我相信從中我們不僅僅能收獲古人的知識，更能傳

承古人的智慧，獲得創(chuàng)造的靈感與啟示。我也相信其中隱藏著通向數(shù)

學創(chuàng)新的密碼，關鍵是我們要具有識別他的意識與智慧。寫到這里我

越發(fā)覺出自身的局限，面對如此美妙的數(shù)學遺產(chǎn)我卻是個十足的盲人！

深呼吸——夜，已很深……