一、邊坡穩定性計算方法
在邊坡穩定計算方法中，通常采用整體的極限平衡方法來進行分析。根據邊坡不同破裂面形狀而有不同的分析模式。邊坡失穩的破裂面形狀按土質和成因不同而不同，粗粒土或砂性土的破裂面多呈直線形；細粒土或粘性土的破裂面多為圓弧形；滑坡的滑動面為不規則的折線或圓弧狀。這里將主要介紹邊坡穩定性分析的基本原理以及在某些邊界條件下邊坡穩定的計算理論和方法。
（一）直線破裂面法
所謂直線破裂面是指邊坡破壞時其破裂面近似平面，在斷面近似直線。為了簡化計算這類邊坡穩定性分析采用直線破裂面法。能形成直線破裂面的土類包括：均質砂性土坡；透水的砂、礫、碎石土；主要由內摩擦角控制強度的填土。
圖 9－1為一砂性邊坡示意圖，坡高 H ，坡角 β ，土的容重為 γ ，抗剪度指標為 c 、 φ 。如果傾角 α 的平面 AC 面為土坡破壞時的滑動面，則可分析該滑動體的穩定性。
沿邊坡長度方向截取一個單位長度作為平面問題分析。
圖9-1 砂性邊坡受力示意圖
已知滑體 ABC 重 W ，滑面的傾角為 α ，顯然，滑面 AC 上由滑體的重量 W= γ（Δ ABC）產生的下滑力T和由土的抗剪強度產生的抗滑力Tˊ分別為：
T=W · sina
和
則此時邊坡的穩定程度或安全系數 可用抗滑力與下滑力來表示，即
為了保證土坡的穩定性，安全系數 F s 值一般不小于 1.25 ，特殊情況下可允許減小到 1.15 。對于 C=0 的砂性土坡或是指邊坡，其安全系數表達式則變為
從上式可以看出，當 α =β時，F s 值最小，說明邊坡表面一層土最容易滑動，這時
當 F s =1時，β=φ，表明邊坡處于極限平衡狀態。此時β角稱為休止角，也稱安息角。
此外，山區順層滑坡或坡積層沿著基巖面滑動現象一般也屬于平面滑動類型。這類滑坡滑動面的深度與長度之比往往很小。當深長比小于 0.1時，可以把它當作一個無限邊坡進行分析。
圖 9-2表示一無限邊坡示意圖，滑動面位置在坡面下H深度處。取一單位長度的滑動土條進行分析，作用在滑動面上的剪應力為,在極限平衡狀態時，破壞面上的剪應力等于土的抗剪強度，即
得
式中 N s =c/ γ H 稱為穩定系數。通過穩定因數可以確定 α 和 φ 關系。當 c=0 時，即無粘性土。 α =φ ，與前述分析相同。
二 圓弧條法
根據大量的觀測表明，粘性土自然山坡、人工填筑或開挖的邊坡在破壞時，破裂面的形狀多呈近似的圓弧狀。粘性土的抗剪強度包括摩擦強度和粘聚強度兩個組成部分。由于粘聚
力的存在，粘性土邊坡不會像無粘性土坡一樣沿坡面表面滑動。根據土體極限平衡理論，可以導出均質粘這坡的滑動面為對數螺線曲面，形狀近似于圓柱面。因此，在工程設計中常假定滑動面為圓弧面。建立在這一假定上穩定分析方法稱為圓弧滑動法和圓弧條分法。
1. 圓弧滑動法
1915年瑞典彼得森（ K.E.Petterson ）用圓弧滑動法分析邊坡的穩定性，以后該法在各國得到廣泛應用，稱為瑞典圓弧法。
圖 9 － 3 表示一均質的粘性土坡。 AC 為可能的滑動面， O 為圓心， R 為半徑。假定邊坡破壞時，滑體 ABC 在自重 W 作用下，沿 AC 繞 O 點整體轉動。滑動面 AC 上的力系
有：促使邊坡滑動的滑動力矩 M s =W · d ；抵抗邊坡滑動的抗滑力矩，它應該包括由粘聚力產生的抗滑力矩 M r =c · AC · R ，此外還應有由摩擦力所產生的抗滑力矩，這里假定 φ ＝ 0 。邊坡沿 AC 的安全系數 Fs 用作用在 AC 面上的抗滑力矩和下滑力矩之比表示，因此有
這就是整體圓弧滑動計算邊坡穩定的公式，它只適用于 φ ＝ 0 的情況。 圖9-3 邊坡整體滑動
2. 瑞典條分法
前述圓弧滑動法中沒有考慮滑面上摩擦力的作用，這是由于摩擦力在滑面的不同位置其方向和大小都在改變。為了將圓弧滑動法應用于 φ ＞ 0 的粘性土，在圓弧法分析粘性土坡穩定性的基礎上，瑞典學者 Fellenius 提出了圓弧條分析法，也稱瑞典條分法。條會法就是將滑動土體豎向分成若干土條，把土條當成剛塑體，分別求作用于各土條上的力對圓心的滑動力矩和抗滑力矩，然后按式（ 9-5 ）求土坡的穩定安全系數。
采用分條法計算邊坡的安全系數 F ，如圖 9 － 4 所示，將滑動土體分成若干土條。土條的寬度越小，計算精度越高，為了避免計算過于繁瑣，并能滿足設計要求，一般取寬為 2 ～ 6m 并應選擇滑體外形變休和土層分界點作為分條的界限。于任意第 i 條上的作用力如下。
(1)土條的自。其中 γ 為土的容得， 為土條的斷面面積。將 沿其斷面積的形心作用至圓弧滑面上并分解成垂直滑面的法向分力 和切于滑面的切向分力 ，由圖 9 － 4 （ b ）可知：
顯然， 是推動土體下滑的力。但如果第 i 條們于滑弧圓心鉛垂線的載側（坡腳一邊），則 起抗滑作用。對于起抗滑作用的切向分力采用符號 T ′表示。因 作用線能過滑弧圓心 O 點力矩為零，對邊坡不起滑動作用，但 決定著滑面上抗剪強度的大小。
(2)滑面上的抗滑力 S ，方向與滑動方向相反。根據庫侖公式應有 S=N i tanφ+cl i 。式中 l i 為第 i 條的滑弧長。
圖9-4 瑞典條分法
(3)土條的兩個側面存在著條塊間的作用力。作用在 i 條塊的力，除重力 外，條塊側面 ac 和 bd 作用有法向力 P i 、 P i+1 ，切向力 H i 、 H i+1 。如果考慮這些條間力，則由靜力平衡方程可知這是一個超靜定問題。要使問題得解，由兩個可能的途徑：一是拋棄剛體平衡的概念，把土當做變形體，通過對土坡進行應力變形分析，可以計算出滑動面上的應力分布，因此可以不必用條分法而是用有限元方法。另一途徑是仍以條分法為基礎，但對條塊間的作用力作一些可以接受的簡化假定。
Fellenius 假定不計條間力的影響，就是將土條兩側的條件力的合力近似地看成大小相等、方向相反、作用在同作用面上。實際上，每一土條兩側的條間力是不平衡的，但經驗表明，土條寬度不大時，在土坡穩定分析中，忽略條間力的作用對計算結果的影響不顯著。
將作用在各段滑弧上的力對滑動圓心取矩，并分別將抗滑作用、下滑作用的力矩相加得出用在整個滑弧上的抗滑力矩以及滑動力矩的總和，即
將抗滑力矩與下滑力矩之比定義為土坡的穩定安全系數，即
這就是瑞典條分法穩定分析的計算公式。該法應用的時間很長，積累了豐富的工程經驗，一般得到的安全系數偏低，即偏于安全，故目前仍然是工程上常用的方法。
（三）畢肖普法
從前述瑞典條分法可以看出，該方法的假定不是非常精確的，它是將不平衡的問題按極限平衡的方法來考慮并且未能考慮有效應力下的強度問題。隨著土力學學科的不斷發展，不少學者致力于條分法的改進。一是著重探索最危險滑位置的規律，二是對基本假定作些修改和補充。但直到畢肖普（ A.N.Bishop ）于 1955 年擔出了安全系數新定義，條分法這五方法才發生了質的飛躍。畢肖普將邊坡穩定安全系數定義為滑動面上土的抗剪強度 τ f 與
實際產生的剪應力 τ 之比，即
（9-7）
這一安全系數定義的核心在于一是能夠充分考慮有效應力下的抗剪總是；二是充分考慮了土坡穩定分析中土的抗剪強度部分發揮的實際情況。這一概念不公使其物理意義更加明確，而且使用范圍更廣泛，為以后非圓弧滑動分析及土條分界面上條間力的各種考慮方式提供了有得條件。
由圖 9 － 5 所示圓弧滑動體內取出土條 i 進行分析，則土條的受力如下：
1. 土條重 W i 引起的切向反力 T i 和法向反力 N i ，分別作用在該分條中心處
2. 土條的側百分別作用有法向力 P i 、 P i+1 和切向力 H i 、 H i+1 。
圖9-5 畢肖普法條塊作用力分析
由土條的豎向靜力平衡條件有 ∑ F z ，即
（9-8）
當土條未破壞時，滑弧上土的抗剪強度只發揮了一部分，畢肖普假定其什與滑面上的切向力相平衡，這里考慮安全系數的定義，且ΔH i =H i+1 -H i 即
（9-9）
將（ 9 － 9 ）式代科（ 9 － 8 ）式則有
令
（9-10）
則
(9-11)
考慮整個滑動土體的極限平衡條件，些時條間力 P i 和 H i 成對出現，大小相等、方向相反，相互抵消。因此只有重力 W i 和切向力 T i 對圓心產生力矩，由力矩平衡知
(9-12)
將（ 9 － 11 ）式代入（ 9 － 9 ）式再代入（ 9 － 12 ）式，且 d i =Rsinθ i ，此外，土條寬度不大時， b i =l i cosθ i ，經整理簡化可行畢肖普邊坡穩定安全系數的普遍公式
(9-13)
式中 ΔH i 仍是未知量。畢肖普進一步假定 ΔH i =0 于是上式進一步簡化為
(9-14)
如果考慮滑面上孔隙水壓力 u 的影響并采用有效應力強度指標，則上式可改寫為
(9-15)
從式中可以看出，參數 m θi 包含有安全系數 F s ，因此不能接求出安全系數，而需采用試算法迭代求解 F s 值。為了便于迭代計算，已編制成 m θ～θ 關系曲線，如圖 9 － 6 所
示。
試算時，可先假定 F s ＝ 1.0 ，由圖 9 － 6 查出各 θ i 所對應的值。代入（ 9 － 14 ）式中，求得邊坡的安全系數 F s ′。若 F s ′與 F s 之差大于規定的誤差，用 F s ′查 m θi ，再次計算出安全系數 F s 值，如是反復迭代計算，直至前后兩次計算出安全系數 F s ′值，如是反復迭代計算，直至前后兩次計算的安全系數非常接近，滿足規定精度的要求為止。通常迭代總是收斂的，一般只要 3 ～ 4 次即可滿足精度。
