第10章 壓桿穩定
10.1 壓桿穩定的概念
在前面討論壓桿的強度問題時，認為只要滿足直桿受壓時的強度條件，就
能保證壓桿的正常工作。這個結論只適用于短粗壓桿。而細長壓桿在軸向壓力作用下，其破壞的形式與強度問題截然不同。例如，一根長300mm的鋼制直桿(鋸條)，其橫截面的寬度11mm和厚度0.6mm，材料的抗壓許用應力等于170MPa，如果按照其抗壓強度計算，其抗壓承載力應為1122N。但是實際上，約承受4N的軸向壓力時，直桿就發生了明顯的彎曲變形，喪失了其在直線形狀下保持平衡的能力從而導致破壞。它明確反映了壓桿失穩與強度失效不同。
1907年8月9日，在加拿大離魁北克城14.4Km橫跨圣勞倫斯河的大鐵橋在施工中倒塌。災變發生在當日收工前15分鐘，橋上74人墜河遇難。原因是在施工中懸臂桁架西側的下弦桿有二節失穩所致。
杭州某研發生產中心的廠房屋頂為園弧形大面積結構，屋面采用預應力密肋網架結構，密
肋大梁橫截面(600mm×1400mm)，屋面采用現澆板，板厚120mm 。2003年2月18日晚19時，當施工到26～28軸時，支模架失穩坍塌，造成重大傷亡事故。
為了說明問題，取如圖10.1a所示的等直細長桿，在其兩端施加軸向壓力F，使桿在直線形狀下處于平衡，此時，如果給桿以微小的側向干擾力，使桿發生微小的彎曲，然后撤去干擾力，則當桿承受的軸向壓力數值不同時，其結果也截然不同。當桿承受的軸向壓力數值F小于某一數值Fcr時，在撤去干擾力以后，桿能自動恢復到原有的直線平衡狀態而保持平衡，如圖10.1a、b所示，這種能保持原有的直線平衡狀態的平衡稱為穩定的平衡；當桿承受的軸向壓力數值F逐漸增大到（甚至超過）某一數值Fcr時，即使撤去干擾力，桿仍然處于微彎形狀，不能自動恢復到原有的直線平衡狀態，如圖10.1c、d所示，則不能保持原有的直線平衡狀態的平衡稱為不穩定的平衡。如果力F繼續增大，則桿繼續彎曲，產生顯著的變形，發生突然破壞。
圖10.1
上述現象表明，在軸向壓力F由小逐漸增大的過程中，壓桿由穩定的平衡轉變為不穩定的平衡，這種現象稱為壓桿喪失穩定性或者壓桿失穩。顯然壓桿是否失穩取決于軸向壓力的數值，壓桿由直線形狀的穩定的平衡過渡到不穩定的平衡時所對應的軸向壓力，稱為壓桿的臨界壓力或臨界力，用Fcr表示。當壓桿所受的軸向壓力F小于臨界力Fcr時，桿件就能夠保持穩定的平衡，這種性能稱為壓桿具有穩定性；而當壓桿所受的軸向壓力F等于或者大于Fcr時，桿件就不能保持穩定的平衡而失穩。
10.2 臨界力和臨界應力
10.2.1 細長壓桿臨界力計算公式——歐拉公式
從上面的討論可知，壓桿在臨界力作用下，其直線形狀的平衡將由穩定的平衡轉變為不穩定的平衡，此時，即使撤去側向干擾力，壓桿仍然將保持在微彎狀態下的平衡。當然，如果壓力超過這個臨界力，彎曲變形將明顯增大。所以，上面使壓桿在微彎狀態下保持平衡的最小的軸向壓力，即為壓桿的臨界力。經驗表明，不同約束條件下細長壓桿臨界力計算公式——歐拉公式為:
（10.1）
式中μl稱為折算長度，表示將桿端約束條件不同的壓桿計算長度l折算成兩端鉸支壓桿的長度，μ稱為長度系數。幾種不同桿端約束情況下的長度系數μ值列于表10.1中。從表10.1可以看出，兩端鉸支時，壓桿在臨界力作用下的撓曲線為半波正弦曲線；而一端固定、另一端鉸支，計算長度為l的壓桿的撓曲線，其部分撓曲線（0.7l）與長為l的兩端鉸支的壓桿的撓曲線的形狀相同，因此，在這種約束條件下，折算長度為0.7l。其它約束條件下的長度系數和折算長度可依此類推。
表11.1 壓桿長度系數
支承 情況 | 兩端鉸支 | 一端固定 一端鉸支 | 兩端固定 | 一端固定 一端自由 |
μ值 | 1.0 | 0.7 | 0.5 | 2 |
撓 曲 線 形 狀 | | | | |
| | | | |
10.2.2 歐拉公式的適用范圍
1、臨界應力和柔度
有了計算細長壓桿臨界力的歐拉公式，在進行壓穩計算時，需要知道臨界應力，當壓桿在臨界力Fcr作用下處于直線臨界狀態的平衡時，其橫截面上的壓應力等于臨界力Fcr除以橫截面面積A，稱為臨界應力，用σcr表示，即
將式（10.1）代入上式，得
若將壓桿的慣性矩I寫成
式中i稱為壓桿橫截面的慣性半徑。
于是臨界應力可寫為
（10.2）
上式為計算壓桿臨界應力的歐拉公式，式中λ稱為壓桿的柔度（或稱長細比）。則： (10.3)
柔度λ是一個無量綱的量，其大小與壓桿的長度系數μ、桿長l及慣性半徑i有關。由于壓桿的長度系數μ決定于壓桿的支承情況，慣性半徑i決定于截面的形狀與尺寸，所以，從物理意義上看，柔度λ綜合地反映了壓桿的長度、截面的形狀與尺寸以及支承情況對臨界力的影響。
從式（10.2）還可以看出，如果壓桿的柔度值越大，則其臨界應力越小，壓桿就越容易失穩。
2、歐拉公式的適用范圍
歐拉公式是根據撓曲線近似微分方程導出的，而應用此微分方程時，材料必須服從虎克定理。因此，歐拉公式的適用范圍應當是壓桿的臨界應力σcr不超過材料的比例極限σp，即：
有
若設λP為壓桿的臨界應力達到材料的比例極限時的柔度值，即
（10.4）
則歐拉公式的適用范圍為：
（10.5）
上式表明，當壓桿的柔度不小于λP時，才可以應用歐拉公式計算臨界力或臨界應力。這類壓桿稱為大柔度桿或細長桿，歐拉公式只適用于較細長的大柔度桿。從式（10.4）可知，λP 的值取決于材料性質，不同的材料都有自己的E值和σp值，所以，不同材料制成的壓桿，其λP也不同。例如Q235鋼，σp= 200MPa，E = 200GPa，由（10.4）即可求得，λP=100。
10.2.3 中粗桿的臨界力計算—經驗公式、臨界應力總圖
1、中粗桿的臨界應力計算公式—經驗公式
上面指出，歐拉公式只適用于較細長的大柔度桿，即臨界應力不超過材料的
比例極限（處于彈性穩定狀態）。當臨界應力超過比例極限時，材料處于彈塑性階段，此類壓桿的穩定屬于彈塑性穩定（非彈性穩定）問題，此時，歐拉公式不再適用。對這類壓
桿各國大都采用從試驗結果得到經驗公式計算臨界力或者臨界應力。我國在建筑上目前采用鋼結構規范(GBJ17-1988)規定的拋物線公式，其表達式為
（10.6）
式中是有關的常數，不同材料數值不同。對Q235鋼、16錳鋼，
對Q235鋼：
(MPa)
對16錳鋼： (MPa)
2、臨界應力總圖
綜合壓桿按照其柔度的不同，可以分為二類，并分別由不同的計算公式計算其臨界應力。
當λ ≥λc時，壓桿為細長桿（大柔度桿），其臨界應力用歐拉公式
（10.2）來計算；當λ＜λc時，壓桿為中粗桿，其臨界應力用經驗公式（10.6）來計算。如果把壓桿的臨界應力根據其柔度不同而分別計算的情況，用一個簡圖來表示，該圖形就稱為壓桿的臨界應力總圖。圖10.2即為某塑性材料的臨界應力總圖。
圖10.2
例10.1 如圖10.3所示，一端固定另一端自由的細長壓桿，其桿長l = 2m，截面形狀為矩形，b = 20 mm、h = 45 mm，材料的彈性模量E = 200GPa 。試計算該壓桿的臨界力。若把截面改為b = h =30 mm，而保持長度不變，則該壓桿的臨界力又為多大？
解：一、當b=20mm、h=45mm時
（1）計算壓桿的柔度
＞(所以是大柔度桿，可應用歐拉公式)
(2)計算截面的慣性矩
由前述可知，該壓桿必在xy平面內失穩，故計算慣性矩
（3）計算臨界力
查表10—1得μ = 2，因此臨界力為
圖10.3
二、當截面改為b = h = 30mm時
（1）計算壓桿的柔度
＞
(所以是大柔度桿，可應用歐拉公式)
(2)計算截面的慣性矩
代入歐拉公式，可得
從以上兩種情況分析，其橫截面面積相等，支承條件也相同，但是，計算得到的臨界力后者大于前者。可見在材料用量相同的條件下，選擇恰當的截面形式可以提高細長壓桿的臨
界力。
例10.2 圖10.4所示為兩端鉸支的圓形截面受壓桿，用Q235鋼制成，材料的彈性模量E=200Gpa，屈服點應力σs=240MPa，，直徑d=40mm，試分別計算下面二種情況下壓桿的臨界力：
（1）桿長l=1.5m；（2）桿長l=0.5m。
解：（1）計算桿長l=1.2m時的臨界力
兩端鉸支因此 μ=1
慣性半徑
柔度：＞
(所以是大柔度桿，可應用歐拉公式) 圖10.4
（2）計算桿長l=0.5m時的臨界力
μ=1，i=10mm
柔度：＜
壓桿為中粗桿，其臨界力為
例10.3 某施工現場腳手架搭設的二種，搭設是有掃地桿形式，如圖10.5(a)所示，第二種搭設是無掃地桿形式，如圖10.5(b)所示。壓桿采用外徑為48mm，內徑為41mm的焊接鋼管，材料的彈性模量E = 200GPa,排距為1.8m。現比較二種情況下壓桿的臨界應力？
解：（1）第一種情況的臨界應力
一端固定一端鉸支 因此 μ=0.7，計算桿長l=1.8m
慣性半徑
柔度：＜
所以壓桿為中粗桿，其臨界應力為
