FRM知識點：兩基金分離定理
1前言
美國經濟學家馬科維茨1952年發表論文《資產組合的選擇》，標志著現代投資組合理論的開端。他利用均值--方差模型對投資組合進行分析，提出投資組合理論，并進行了系統、深入和卓有成效的研究，后得出這樣的一條曲線（上雙曲線）——有效前沿，在該前
沿上的投資組，均滿足一定風險下的高收益，一定收益下的低風險，給投資者資產組合的
選擇提供了理論基礎。
然而，馬科維茨組合理論雖然給出了組合選擇的方法，在實務操作中卻較難實施，因
為要獲得優組合的各個投資標的的權重，需要每個投資標的的收益、方差（或標準差），
以及各個標的間的相關系數，計算要求極高，當時計算機硬件發展不匹配。因此，資產組
合理論后續發展的“兩基金分離定理”、“單一因素模型”等，都極大的推動了投資組合理論的實際應用。
2文章思路
兩基金分離定理包括兩層涵義，因此本文從以下兩方面展開：其一，投資組合僅有風
險資產，不包括無風險資產，因其引申自馬科維茨組合管理理論（本文不再贅述），所以
主要從定理、定理證明和現實意義進行闡述；其二，引入無風險資產的兩基金分離定理，
也主要從以上三方面展開，然而會引出資本市場線、市場組合等重要概念。
3僅有風險資產
3.1定理
在只有風險資產的情況下，有效前沿是一條上雙曲線，在這條線上，任意兩個分離的
點都代表兩個分離的有效投資組合，而有效組合邊界上任意其他的點所代表的有效投資組
合，都可以由這兩個分離的點所代表的有效投資組合的線性組合生成。
3.2證明
由馬科維茨的投資組合理論可知，過任意兩個分離的各自代表有風險資產的點可以生
成一條雙曲線。所以，有效組合邊界上的兩個分離的點可以看作兩項有風險資產，它們也
就可以生成一條雙曲線。然而，有效組合邊界本身是一條雙曲線。
首先，任意兩條不同的雙曲線不可能在同一側有兩個分離的切點。
其次，如果這兩條雙曲線在這兩個點是相交的話，則由兩個點生成的雙曲線一定會有
一部分落在有效組合邊界所圍區域的外面。然而，由有效組合前沿的定義知這是不可能的，所以這兩條雙曲線一定重合。
綜上，兩基金分離定理成立。
3.3意義
以市場上的機構投資者——共同基金為例。共同基金一方面發行小面額的收益憑證作
為自己的負債，另一方面則把籌集到的大筆資金進行分散化投資，形成自己的投資組合。
如果有兩家不同的共同基金，它們都投資于有風險資產，而且都經營良好，經營良好意味
著它們的收益/風險關系都能落到有效組合前沿。
那么，根據兩基金分離定理，任何別的投資于有風險資產的共同基金，如果經營良好
（即為有效組合前沿上的風險資產組合），其有效投資組合一定與原來那兩個共同基金的
某一線性組合等同。
因此，只要找到這樣兩家不同的經營良好的共同基金，把自己的資金按一定的比例投
資于這兩家基金，就可以與投資于其他經營水平良好的共同基金（即其他不同收益/風險配
比的有效組合）獲得完全一樣的效果。這一結論對投資策略的制定無疑有重要的意義。
4含無風險資產
4.1定理
在引入無風險資產的情況下，有效前沿就變成是一條射線，在這條線上，任何一個的
有效資產組合都可以由無風險資產和一個市場組合的線性組合生成，但是其中一個關鍵的
地方是，該市場組合是作為所有風險資產的代表，投資者投資在該風險組合的每個風險資
產的投資比例不隨投資者的偏好而改變。
4.2證明
該定理的證明首先需要引出資本市場線，然后進行論證。
4.2.1資本市場線
在所有可能有風險資產組合所構成的雙曲線所圍成區域的有效組合邊界左下端，就是
小方差組合。因為有系統風險存在，小方差組合不是無風險的，其預期收益率也一定高于
無風險利率R f點。于是，在標準差——預期收益率圖中：有效組合邊界和表示預期收益率
大小的縱坐標軸是不相接觸的，而代表無風險證券的收益/風險的坐標點落在縱軸上。
因而，在加入無風險證券后，代表新的組合的點一定落在連接R f點和包含所有可能的有風險資產組合的雙曲線所圍區域及其邊界的某一點的射線上。
如此的射線有無數多條。但是，當射線圍繞R f點逆時針旋轉時，不管投資者的收益/風險偏好如何（即不管效用函數的曲線形狀如何），越在上面的射線上的點，其效用值越
大。于是，效用值大的射線一定是與有效組合邊界相切的那一條，即連接R f點和M點的射線。
這條射線實際構成了無風險證券和有風險資產組合的有效組合邊界資本市場線。
4.2.2論證
資本市場線上點（0，Ｒf ）代表無風險資產，點
M （σM ，Ｅ(R M )）有風險的市場組合，而該資產市場線上的任意投資組合為（σ
P ，Ｅ(R P )），設ω為該組合配置風險市場組合的
比例，則：E (R P )=(1-ω)?R f +ω?E (R M )
σP =ωσM
得
ω=σP σM
該投資組合配置σP σM 比例的有風險市場組合，（1-σP σM
）
比例的無風險資產。該投資組合收益Ｅ(R P )為：
E (R P )=R f +σP E(R M )-R f σM
該方程也就是資本市場線的表達式。
此時，其中一項基金是無風險證券，而另一項則是切點M 所代表的有風險資產的組合。資本市場線上任意一點所代表的投資組合，都可以由一定比例的無風險證券和由M 點所代表有風險資產組合生成。在這個包括無風險證券和有風險資產組合的有效組合邊界（即資本市場線）上，兩基金分離定理實際上依然成立。
代表小方差組合的點位于R f 點的右上方，從而保證了切點（M 點）的存在性（如果小
組合的預期收益率與無風險收益率相等的話，雙曲線上的切點會不存在，資本市場線會變
成雙曲線的漸近線）。資本市場線在M點右上方的部分所包含的投資組合，即ω>1，是賣空了無風險證券（即以無風險利率貸款）后，將所得的資金投資于M點所代表的有風險資產組合。
4.3意義
4.3.1現實意義
兩基金分離定理為從事投資服務的金融機構提供了理論指導，不管投資者的收益/風險偏好如何，只需要找到切點M所代表的有風險投資組合，再加上無風險證券，就能為投資
者提供佳的投資方案，而投資者的收益/風險偏好，就只需反映在組合中無風險證券所占的比重。這一佳投資方案的設計與投資者的收益/風險偏好無關的結果，更能說明兩基金分離定理中“分離”一詞的涵義。
M點所代表的有風險資產組合是什么樣的組合，投資者如何才能構建這樣的組合？
4.3.2市場組合
資本市場線與有風險資產的有效組合邊界的切點M所代表的資產組合就是有風險資產的市場組合。市場組合包含所有市場上存在的資產種類，以及各種資產所占的比例和每種
資產的總市值占市場所有資產總市值的比例相同。有風險資產的市場組合就是指從市場組
合中剔除無風險證券后的組合。
首先，任何市場上存在的資產須被包括在M所代表的資產組合里。因為，理性的投資者都會選擇資本市場線上的點作為自己的投資組合，不被M所包含的資產就會變得無人問津，其價格自然會下跌，從而收益率會上升，直到進入M所代表的資產組合。
其次，當市場均衡時，對任何一種資產都不會有過度的需求和過度的供給。因為，所
