2020年中考數沖刺難點突破 將軍飲馬與最值問題(解析版)

2020年中考數沖刺難點突破 將軍飲馬與最值問題

專題三 將軍飲馬中一定兩動模型與最值問題

【專題說明】

一定兩動型可轉化為兩點之間線段最短和點到直線的垂線段最短問題，進而求最值。關鍵是作定點（或

動點）關于動折點所在直線的對稱點，通過等量代換轉化問題。

【模型展示】

【模型】三、一定兩動之點線

在OA、OB上分別取M、N使得PM+MN最小。

AA

P'

M

PP

OO

BB

M

N

N

此處M點為折點，作點P關于OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線

分別交OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（點到直線的連線中，垂線段最短）

【精典例題】

1

、如圖，在邊長為的菱形中，，將沿射線的方向平移得到，

1

ABCD?ABC?60?

?ABDBD?ABD

???

分別連接，，則的最小值為

ACAC?BC

???

AD

?

BC

?

____.

1

【答案】

3

【詳解】

如圖，過點作的平行線，以為對稱軸作點的對稱點，連接交直線于點

CBDB

lll

B

1

ABC

1

1

根據平移和對稱可知，當三點共線時取最小值，即，又

AC?BC?AC?BCA,B,CAC?BC

??

111111

AB

1

AB?BB?1

1

，

根據勾股定理得，，故答案為

AB?3

1

3

2、點P是定點，在OA、OB上分別取M、N，使得PM+MN最小。

AA

P'

M

PP

OO

BB

M

N

N

【解法】作點P關于OA對稱的點P’，將折線段PM+MN轉化為P’M+MN，即過點P’作OB垂線分別交

OA、OB于點M、N，得PM+MN最小值（垂線段最短）

3、點P是定點，在OA、OB上分別取點M、N，使得△PMN周長最小．

A

P'

M

A

P

B

O

M

P

B

P''

O

N

N

2

【解法】分別作點P關于OA（折點M所在直線）、OB（折點N所在直線）的對稱點，化折線段PM+MN+NP

為P’M+MN+NP’’，當P’、M、N、P’’共線時，△PMN周長最小．

3y=ax5ax+cACEA30C04B

、如圖，拋物線﹣與坐標軸分別交于點，，三點，其中（﹣，），（，），點

2

AC=BCNCOBCxBBD⊥xDMCM=BN

，分別是線段，上的動點，在軸上，過點作軸交拋物線于點，點，且，

連接，，．

MNAMAN

（）求拋物線的解析式及點的坐標；

1D

（）當是直角三角形時，求點的坐標；

2△CMNM

（）試求出的最小值．

3AM+AN

【答案】（）拋物線解析式為﹣；點坐標為（，）；（）點的坐標為（，）或（，

1y=x+x+4D352M00

15

2

16

9

66

11

）；（）的最小值為．

3AM+AN

61

9

【詳解】

1

?

9a?15a?c?0

a??

?

?

（）把（﹣，），（，）代入﹣得，解得，

1A30C04y=ax5ax+c

2

?

?

6

c?4

?

?

?

c?4

∴y=x+x+4

拋物線解析式為﹣；

15

2

66

∵AC=BCCO⊥AB

，，

∴OB=OA=3

，

3

∴B30

（，），

∵BD⊥xD

軸交拋物線于點，

∴D3

點的橫坐標為，

當時，﹣，

x=3y=×9+×3+4=5

15

66

∴D35

點坐標為（，）；

（）在中，，

2Rt△OBCBC==5

OB?OC?3?4

2222

設（，），則﹣，﹣（﹣），

M0mBN=4mCN=54m=m+1

∵∠MCN=∠OCB

，

∴△CMN∽△COB∠CMN=∠COB=90°

當時，，則，

CMCN

?

COCB

即，解得，此時點坐標為（，）；

4?mm?1

1616

?

m=M0

99

45

CMCN

?

時，，則，當

△CMN∽△CBO∠CNM=∠COB=90°

CBCO

即，解得，此時點坐標為（，）；

4?mm?11111

?

m=M0

5499

11

16

）或（，）；綜上所述，點的坐標為（，

0 M0

9

9

（）連接，，如圖，

3DNAD

∵AC=BCCO⊥AB

，，

∴OC∠ACB

平分，

∴∠ACO=∠BCO

，

∵BD∥OC

，

∴∠BCO=∠DBC

，

4

∵DB=BC=AC=5CM=BN

，，

∴△ACM≌△DBN

，

∴AM=DN

，

∴AM+AN=DN+AN

，

而（當且僅當點、、共線時取等號），

DN+AN≥ADAND

∴DN+AN=

的最小值，

6?5?61

22

∴AM+AN

的最小值為．

61

4ABCDEFADBCDFEEH⊥DF

、如圖，在正方形中，點，分別是邊，的中點，連接，過點作，垂足為

HEHDCG

，的延長線交于點．

（）猜想與的數量關系，并證明你的結論；

1DGCF

BCMN2HMN∥CDADABCD10PMN

于點，，（）過點作，分別交，若正方形的邊長為，點是上一點，

求周長的最小值．

△PDC

5

【答案】（）結論：，理由見解析；（）的周長的最小值為．

1CF=2DG2△PCD10+2

26

【詳解】

（）結論：．

1CF=2DG

理由：四邊形是正方形，

∵ABCD

∴AD=BC=CD=AB∠ADC=∠C=90°

，，

∵DE=AE

，

∴AD=CD=2DE

，

∵EG⊥DF

，

∴∠DHG=90°

，

∴∠CDF+∠DGE=90°∠DGE+∠DEG=90°

，，

∴∠CDF=∠DEG

，

∴△DEG∽△CDF

，

∴==

DGDE

1

，

CFDC

2

∴CF=2DG

．

（）作點關于的對稱點，連接交于點，連接，

2CNMKDKMNPPC

此時的周長最短．周長的最小值．

△PDC=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK

6

由題意：，，，，，

CD=AD=10ED=AE=5DG== DH=EG=

5DE?DG

5

5

5

2EG

2

∴EH=2DH=2

5

，

∴HM==2

DH?EH

，

DE

∴DM=CN=NK==1

DH?HM

22

，

在中，，

Rt△DCKDK===2

CD?CK

22

10?210?(23)

2222

26

∴△PCD10+2

的周長的最小值為．

26

5ABCDAB=9ECDDE=2CEPAC

、如圖，在正方形中，，點在邊上，且，點是對角線上的一個動點，則

PE+PD

的最小值是（ ）

A B C9 D

．．．．

310

103

92

7

【答案】

A

【詳解】

∵ABCD∴BDAC∴P′D=P′BBEBEACP′

四邊形是正方形，點與關于對稱，，解：如圖，連接，設與交于點，

∴P′D+P′E=P′B+P′E=BEPACBEPD+PEBE∵△CBE

最小．即在與的交點上時，最小，為的長度．直角

中，，，，．故選．

∠BCE=90°BC=9CE=CD=3∴BE==A

1

9?3

22

310

3

6∠AOBOBxPOAN30OB

、如圖，的邊與軸正半軸重合，點是上的一動點，點（，）是上的一定點，

點是的中點，，要使最小，則點的坐標為．

MON∠AOB=30°PM+PNP______

8

【答案】（，）．

3

3

2

2

【詳解】

PM+PN∵OANN′∴ON=ON′NOAN′N′MOAP

最小，垂直平分，，解：作關于的對稱點，連接交于，則此時，

∠N′ON=2∠AON=60°∴△NON′∵MON∴N′M⊥ON∵N0∴ON=33

是等邊三角形，點是的中點，，點），，（，，

∵MON∴OM=1.5∴PM=∴P

點是的中點，，，（，）．故答案為：（，）．

33

333

22

222

9