一類奇異邊值問題正解的存在性和多重性

第３３卷第１期 Ｖｏ１．３３ Ｎｏ．１

２０１２年１月 Ｊａｎ．２０１２

井岡山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ） １８

文章編號：１６７４．８０８５（２０１２）０１—００１８—０５

一

類奇異邊值問題正解的存在性和多重性

王珍，朱少平

（井岡山大學(xué)數(shù)理學(xué)院，江兩，吉安３４３００９）

摘要：運用Ｋｒａｓｎｏｅｌｓｋｉｉ錐拉伸與壓縮不動點定理討論了當(dāng)ａ在ｔ－＝０，１及廠在ｕ＝０處可以是奇異的一類奇異邊值

問題的正解的存在性和多重性。

關(guān)鍵詞：邊值問題；奇異；正解；錐；不動點定理

中圖分類號：Ｏ１７５ 文獻標(biāo)識碼：Ａ ＤＯＩ：１０．３９６９￣．ｉｓｓｎ．１６７４—８０８５．２０１２．０１．００５

ＴＨＥ ＥＸＩＳＴＥＮＣＥ ＡＮＤ ＭＵＩ ＩＰＬＩＣＩＴＹ ｏＦ ＰｏＳＩＴＩＶＥ ＳｏＬＵＴＩｏＮＳ ＦｏＲ Ａ

ＣＬＡＳＳ ｏＦ ＳＩＮＧＵＬＡＲ ＢｏＵＮＤＡＲＹ ＶＡＬＵＥ ＰＲｏＢＬＥＭ

ＷＡＮＧ Ｚｈｅｎ，ＺＨＵ Ｓｈａｏ—ｐｉｎｇ

（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｊｉｎｇｇａｎｇｓｈａｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉ’ａｌｌ，Ｊｉａｎｇｘｉ ３４３００９，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ’Ｓ ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ ｏｆ ｃｏｎｅ ｅｘｐａｎｓｉｏｎ—ｃｏｍｐｒｅｓｓｉｏｎ ｔｙｐｅ，ｗｅ ｄｉｓｃｕｓｓ ｔｈｅ

ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ ａｎｄ ｍｕｌｔｉｐｌｉｃｉｔｙ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｆｏｒ ａ ｃｌａｓｓ ｏｆ ｓｉｎｇｕｌａｒ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｂｏｕｎｄａｒｙ ｖａｌｕｅ ｐｒｏｂｌｅｍ；ｓｉｎｇｕｌａｒ；ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ｃｏｎｅ；ｆｉｘｅｄ ｐｏｉｎｔ ｔｈｅｏｒｅｍ

研究了三階非線性微分方程兩點邊值問題

０ 引言

微分方程奇異邊值問題是微分方程的一個重

要領(lǐng)域，各種自然科學(xué)也提出了大量的微分方程奇

異邊值問題，如在大氣對流、天體演變及流體力學(xué)

等方面都有著廣泛的背景，其正解具有明顯的物理

意義。三階微分方程的奇異邊值問題在應(yīng)用數(shù)學(xué)和

Ｕｍ（ｆ）＋ （ （ｆ）， （ｆ））＝０， ０＜ｆ＜１．

７￣ｕ（０）＝）， “ （０）＝７３ｕ（１）＋Ｙ （１）＝０，ｂ／＂（０）＝０，

（２）

解的存在性，其中ｆ∈ｃ（【０，１］×Ｒｚ，Ｒ），），１，Ｙ２，），３，

，

０是常數(shù)。

受上述研究工作的啟發(fā)，我們研究邊值問題

物理學(xué)中具有， 泛的應(yīng)用，人們在此方面做出了眾

多的研究工作，如文獻［１．５］等。

姚慶六Ｉ６】采用Ｌｅｒａｙ－Ｓｃｈａｕｄｅｒ非線性抉擇研究

了奇異非線性三階兩點邊值問題

甜 （ｆ）＝ （ｆ） （ （ｆ）），０＜ｔ＜１，

ｕ（ｏ）＝ 甜（叩）， （叩）＝０， （１）＝０， （３）

Ｌ ／

其中， ∈（０，１），叩∈ｌ １，１ ｌ是常數(shù)，口在ｔ＝０，１及廠

在 ＝Ｏ友ｈ可以是奇異的。

（ｆ）＋ （ｆ， （ ），甜 （ｆ），甜 （ｆ））＝０，０＜ｆ＜１，

（０）＝ （０）＝甜 （１）＝０， （１）

的解的存在性，其中／（ｔ，甜，ｖ，Ｗ）：（ｏ，１）× 是

連續(xù)的，且允許它在 ０， ＝１處奇異．

１主要引理和定理

Ｂａｉ Ｊ運用Ｓｃｈａｕｄｅｒ不動點定理與上下解方法

令Ｂａｎａｃｈ空間Ｅ＝ｃ［０，１］，賦予其范數(shù)

收稿［Ｊ期：２０１１—１卜２４；修改日期：２叭２—０ｌ ｌ０

作者簡介： 王￣（１９８４一），江西遂川人，助教，碩士，士要從事微分方程邊值問題研究（Ｅ—ｍａｉｌ：ｓｕｐｅｒｙｅｚｉ１１２７＠１６３．ｃｏｍ）

朱少平（１９８１一），湖北仙桃人，講師，碩士，主要從事概率統(tǒng)計教學(xué)與研究（Ｅ—ｍａｉｌ：ａｐｉｎｇ７１３２＠１６３．ｃｏｍ）．

井岡山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） １９

＝ｍ ａ ｘ

。

ｌ （ｆ）Ｉ。我們定義

（叩）＝ １ （７７一 ） （ ） ＋２卻＋ ，

再由 （０）： （７７）， （叩）＝ｏ， （１）＝０，可得

＝一

｛ ∈Ｅ： （ｆ）≥０， ｍ ［０ｉｎＩｌ】 （ｆ） ＩＩ Ｉ｝’

顯然Ｋ ｃ Ｅ是錐。

對Ｕ∈Ｋ，我們定義

１ １ （ ）ｕｓ，

（ｆ）＝Ｊ：Ｇ（ （ ）廠（ （ ）） ，ｆ∈［０，ｌ】， （１．１）

＝叩 （ ） 一 （叼一 ） （ ） ，

ｇ（ ） ｎ 件 ∈［０，１］，

首先給出下列假設(shè)

（Ａ１）口：（０，１）－－－＞［０，＋ｏ。）連續(xù)，ａ（ｔ）Ｔｆ￣恒等于０；

（Ａ２） ：（０，＋∞） ［ｏ，＋。（））連續(xù)，且有

ｌｉ ｍ ｓｕ ｐ

ｑ

』１ｇ（ ）口（ ）廠（ （ ））ｄ ：０，

）：［０， 小 是Ｅ中的有

界開子集，＿￣ＯｅＱ， ｃ ；

（Ａ３）ｏ＜』 口（ ）ｇ（ ）ｕｓ＜懈。

引理１．１令０＜仃＜１，ｈ∈ｃ［ｏ，１】，則邊值問題

（ｆ）： ，ｏ＜ｆ＜ｌ， １

（０）＝ａｕ（ｒ１）， （７７）＝０， （１）：０，

有唯一解 （ｆ）＝ Ｇ（ｆ， （ ） ，其中

，

ｓ＜ｍｉｎ｛ ｝；

一一 ‘＋ ＋— —— １ ， 叩；７７：

一

斛 ，ｔ—Ｓ

Ｇ（ｔ， １＝

２ ２ｆ一 ｌ

；

１

一一 ‘＋叼 ＋ ２，ｓ＞＿ｍａｘ 叼， ｊ‘

一一

ｆｚ＋７７ｆ＋ 翌 ｍａｘ｛叼，ｆ）．

為格林凼數(shù)。

證明由 （，）＝ （ｆ），０＜ｔ＜１，可以得到

（ｆ）＝ （ ） （ ） ＋Ａｔ２＋Ｂｔ＋ｃ，

ｕ（Ｏ１＝Ｃ，

（１）＝ 廳（ ） ＋２Ａ，

＂ ）： １ Ｊ＇

ｏ

＂（０－ ） （ｓ）出＋卻 ＋ＢＵ＋Ｃ，

ｃ＝ 肌） 一 ）出，

因此，邊值問題（１．３）有唯一解

（，） 圭 （ — ） （ ） 一１２ ｔ （ ）出＋御 （ ）ｃｂ一

，ｒ（ ） （ ） ＋ ）凼一

） （ ）ｕｓ：

一、ｌ， ＿

叫 ） 凼

／ｆ●Ｉ、，，

廳 ０

ｆ

、ｌ， ＋

出 一２

十

／，●●●

一／ 一『『ｂ

ｔ

（ ￥ ２ ） ＋ １ ｒ２

Ｊ０２

０７７２

州 ∥

Ｉ

Ｊ。—２（１—－ｏ－

ｚｚＩ ｌ） ＋

ｔ２＿ｔｓ＋ｒｌｓ＿￣ （７７

７２

ｚ

—一

Ｊ

：

ｌ ）

希 一、●

山Ｉ ２

叩

＼

Ｇ（ ） （

（１．５）

引理ｌ?２ 若０＜ ＜ｌ， ≤叼＜ｌ，ｇ（ｓ）

ｍｉｎ｛ ，７７ ）’ 則格林函數(shù)滿足

ｇ（ ） Ｇ（ｔ， ） ｇ（ ），，， ∈［０，１］。

證明當(dāng) ｍｉｎ｛ｔ，叩｝時，結(jié)論顯然成立。

現(xiàn)證當(dāng)ｔ Ｓ ”的情形，由式（１．４）可知

Ｇ（ ）一ｌ

２ｔ２＋ｔｓ＋

＋ ｇ ）（㈤ １．６）

＝

２０ 井岡山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）

咖）＝÷ …麗Ｏ－Ｓ２≥ （ ）

（１．７）

當(dāng)７７ ｔ時，由式（１．４）有

）： ｔ２－－ｔｓ＋７ｔ￣‘

）… ｑ２＋

（ 一７７）（ｓ＋７－２ｔ）＋ 麗７７２

南 ｇ（ ） ‘Ｌ８

并且

）： ｔ２－－ｔｓ＋ｔｉｔ ０３７ ２

（ｓ－７／）＋

＋ ）…麗ｏ－７２≥ （

（１．９）

ｍａｘ｛７，ｔｌ 時，由式（１．４）知

Ｇ（ ）：Ｉｔ＋７ｔ－￣

ｏｒ７２ 芋＋ ０＂７／ ２ ｇ（ ）

、

（１．１Ｏ）

且

Ｇ（ ）＝２

ｔ２＋７ｔ。 ｏｒ ／２

≥

２

一 ‘＋‘ ＋ ２ 麗 ０ｇＩ（ ）

ｔ

一

（１．１１）

綜上所述，Ｅｈ￣（１．６）一（１．１１）￣ｔ

ｇ（ ） Ｇ（ｆ， ） ｇ（ ），（ｆ， ）∈【ｏ，１］×【０，１］

（１．１２）

證畢。

引理１．３（錐拉伸與壓縮不動點定理）設(shè)Ｅ是

Ｂａｎａｃｈ空間，ＫｃＥ是一個錐，Ｑ， 都是Ｅ中的

有界開子集，使得０∈Ｑ， ｃ ，又設(shè) ：Ｋ 是

全連續(xù)算子，如果下列條件之一滿足

（１）Ｉ｛ ｌＩ－＜Ｉｌ ｕ Ｉｌ， ∈ ｎ池，且Ｉｃ Ｔｕ ｃＩ－－ＩＩ ｕ ｌｉ，

∈ＫＮ ；或者

（２）ｌ１ ∈ＫＮｃ￣Ｑ，且ｌｌ ｌＩ－－Ｉ ，

∈ＫＮｏＰ￣Ｎ Ｔ在 ｎｆ ／ｑ）中至少有一個不動

點。

定理１．１假設(shè)條件（Ａ１），（Ａ２），（Ａ３）滿足，

則Ｔ： ／Ｑ 是全連續(xù)的。

證明由“∈ ／Ｑ 及條件（Ａ３），引理１．２和

式（１．１），顯然有ＴＫ ｃ Ｋ。

對 ２，設(shè)

ｌ

ｉｎｆ

０ ｔ＜一；

．

ｔ＜ｓ＜ｔ

（ ），

ｎ

（ｆ）： 口（ｆ），

ｆ≤ ：

（１? ３）

，ｚ ｎ

口（ ），

ｎ－

１

——

＜ １．

，

ｎ

則 ：［０，１］ 【０，＋。。）連續(xù)， （ ） 口（ ），ｔｅ（ｏ，１）

令（ ）（ｆ）＝ Ｇ（ｆ， （ ）／（ （ ）） ，ｆ∈【０，１】，與

前面的證明相似，可證 ： ／Ｑ Ｋ是全連續(xù)的。

設(shè)

０≤ ＜ ，

ｍ

）：

｛Ｉ ，

ｏ－

（ ），

ｓ≥一．

Ｌ

ｍ

Ｉ１．１

則

ｆｍ：【０，＋ｏ。） 【０，＋∞）連續(xù)， （ ）≤ （ ）， ∈（０，＋ｏ。）。

令 ．

（ ）（ｆ）＝ Ｇ（，， （ ） （ （ ）） ，ｔｅ［０，１１。

ｆ１．１５）

易知 ： ／Ｑ。 Ｋ是全連續(xù)算子。注意到式

（１．１３），（１．１４）及條件（Ａ２）得

甜～

ｌｉｍ ｓｕｐ

…

Ｇ（ （ ）（ （ ））一 （ｚ，（ ）））

衄

ｇ（ （ ）（ （ ））一 （ （ ））） ＝

…

ｌｉｍ ｓｕｐ ） （ （ ））一 （

ｓｕｐ ｇ）ａ（ｓ （ 。。’

井岡山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版） ２１

所以， ： ／Ｑ －－）Ｋ是全連續(xù)的，注意到

ｎ ｎ

ｆ 時ａｎ（ ）：口（ｆ），類似可證

ｎｌｉｍ 一 ｌｌ＝０， （１．１７）

－－－

｝ｏＯ

“∈ ／Ｑ．” “

因此，Ｔ： ／Ｑ 是全連續(xù)的算子。證畢。

２主要結(jié)果及證明

為萬使起見，我們先定義卜回的一些符號

ｉｆｍ

ｆ （ｕ）ｌｉ ｍ ｆ （ｕ）

， ＝

．

，

＋

ｃ 哿蹄Ｊ：Ｇ（ ）口（ ） ，

Ｄ 毋蹄Ｊ：Ｇ（ ）口（ ） ，

故有０＜Ｄ Ｃ＜∞。

定理２．１假設(shè)條件（Ａ１），（Ａ２）滿足，且存在

兩正數(shù)ＭＩ≠Ｍ２，使

（Ｂ１）廠（ ） － Ｕ，ｖ ∈［ｏ， 】；‘

（Ｂ２） ） Ｍ２

，

Ｖ ∈【 ， ］，

則邊值問題（３）至少有一個正解 ∈Ｋ，且

ｍｉｎ｛Ｍ１，Ｍ２） ＩｌｕｌＩ≤ｍａｘ｛Ｍ１， ）。

證明不失一般性，假設(shè) ＜ ，令

＝

｛甜∈Ｅ： ｌＩ＜ ）， ＝｛ ∈Ｅ： ｌｌ＜ ），由

（Ｂ１）知，對任意 ∈ＫＮ ，有

＝ｍ

ｆ∈【ａ０’ｘ１］ Ｇ（ （ ） （ ）） ≤

ｍ

ａｘ Ｇ（ ， ）Ｍ

１ ｄｓ＝ ＝ ＩＩ

，

乙

所以

ｌ ｌＩ＜Ｉｌｕｌｌ， ∈露ｎ （２．１）

另外，由（Ｂ２）知，對任意 ∈ ｎ ，有

＾ ≤ｕ（ｓ） ＾ ， １

故

Ｉ１￣１１＝ｍ

ａ ｘ

ｆ￣Ｇ（ （ ）／（甜（ ））

』 Ｇ（ ） （ ）） ≥

ｆ Ｇ（ （ ） Ｍ２ ＝ Ｉ，

所以

ｌＩｒ．ＩＩ Ｉｌｕｌｌ， ∈ ｎａ ， （２．２）

應(yīng)用引理１．２中的（１）及式（２．１），（２．２）知，Ｔ

在 ｎ（ Ｉ Ｑ１中有一個不動點 ，且 為邊值問題

（３）的正解。證畢。

推論２．１假設(shè)條件

ｃ ｆ０＝Ｏ￣１ ；

４ ∈

（ ），

滿足，則邊值問題（３）至少有一個正解。

證明由（Ｂ３）可設(shè)ｓ： 一 ，＞０，則存在足

夠小的Ｍ１＞０．使

１

￣ａｌ－ｌ－Ｅ＝一

，

Ｕ Ｃ

∈［０， ］， （２．３）

即滿足定理２．１中條件（Ｂ１）．

由（Ｂ４）可設(shè)ｓ ＝盧 一—１ ＞０，則存在足夠大

ＧＵ

的 ＞０，使

１

＝

，

∈［ ，佃］，（２．４）

毗當(dāng) ∈［ ， ］時，ｆ（ｕ） （ ＿Ｄ） Ｄ ，

即滿足定理２．１中條件（Ｂ２）。

由定理２．１知，邊值問題（３）至少有一個正解。證畢。

推論２．２假設(shè)條件

５ ｆｏ＝ａ２￣（去 ）；

（Ｂ６） ∈卜

滿足，則邊值問題（３）至少有一個正解。

證明由（Ｂ５）可設(shè)￡： 一 ０，則存在

ＧＤ

足夠小的 ＞０，使

一

ｓ＝ …［ 一］ ，

因此，當(dāng) ∈［ｏ－ＭＥ，Ｍ２】時，有

Ｓ（ｕ） （ Ｄ）～ Ｄ～ＭＥ， （２．５）

即滿足定理２．１中條件（Ｂ２）。

再考慮（Ｂ６），可設(shè)ｓ＝ １

一

／３：＞。，則存在足

夠大的 ＞Ｍ２＞０，使

…

吉乙 一 ［ ，＋。。）

以下分兩種情沉考慮

井岡山大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）

（ｉ）假設(shè)／無界；

夠小的正數(shù) ∈【０， ］，使得

廠（甜）＜ｃ～Ｍ１，０＜“＜Ｍ１， （２．１ｏ）

＞ ，使得

因ｆ∈ｃ（（０，１），（０，佃）），則有 ＞Ｐ。使

廠（ ） Ｓ（Ｍ ）， ∈（ｏ，Ｍ】。

由于Ｍ１＞ ，則

由（Ｂ６）及推論２．２的證明知，存在足夠大的正數(shù)

廠（ ）≤／（ ）＜ ， ∈【０， 】， （２．６）

ｆ（ｕ）＜Ｃ ，０＜ ＜ ， （２．１１）

即滿足定理２．１中條件（Ｂ１）。

（ｉｉ）假設(shè)

．

廠有界，則

ｆ（ｕ） Ｌ，Ｕ∈（０，＋ｏ０），

取足夠大的 ＞ＬＣ，由上式知

ｆ（ｕ） Ｌ Ｃ ＾ ， ∈（０，＾ ）， （２．７）

即滿足定理２．１中條件（Ｂ１）。

因此，由定理２．１知推論２．２得證。證畢。

推論２．３假設(shè)條件（Ｂ１），（Ｂ４）和（Ｂ５）成

立，’則邊值問題（３）至少有兩個正解ＵＩ￣Ｈ２且

Ⅲ 嘲 嘲

０ ＩＵｌＩ＜Ｍ ｌｌｕ２１ｌ。

證明由（Ｂ４）及推論２．１的證明知，存在足夠

大的正數(shù) ＞ ，使得

ｆ（ｕ）＞Ｄ ，甜∈［ ， 】， （２．８）

鑒于（Ｂ５）以及推論２．２的證明知，存在足夠小的

正數(shù) ∈［０， 】，使得

ｆ（ｕ）＞Ｄ一 ， ∈Ｉ ， ｌ （２．９）

由（Ｂ１）及定理２．１知，邊值問題（３）至少有兩個

正解甜１，Ｕ２，且

Ｍ２ ＜ １，／１＜Ｍ１≤Ｉ／／２Ｉ＜

證畢。

推論２．４假設(shè)條件（Ｂ２），（Ｂ３）和（Ｂ６）成

立，則邊值問題（３）至少有兩個正解 ，， ，，且

０ ｉ＜ ｌＩｎ『Ｉ。

證明由（Ｂ３）以及推論２．１的證明知，存在足

由（Ｂ２）及定理２．１知邊值問題（３）至少有兩個正解

ｌ，甜２，且滿足

Ｍｌ之 ＩｎＩ＜Ｍ ＩＵ ＩＩ＜

證畢。

參考文獻

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