高中數(shù)學(xué)新教材第六章不等式教學(xué)思考

高中數(shù)學(xué)新教材第六章不等式教學(xué)思考

新教材第六章《不等式》與數(shù)、式、方程、函數(shù)、三角等內(nèi)容都有密切聯(lián)系，討論方程或方

的解的情況，研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、最大值、最小值，討論線性規(guī)劃問(wèn)題等，都要經(jīng)常

不等式的知識(shí)，不等式在解決各類實(shí)際問(wèn)題時(shí)也有廣泛應(yīng)用，可見，不等式在中學(xué)數(shù)學(xué)里占有重要地

是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)。

一、 把握教材層次，分層遞進(jìn)教學(xué)

分層遞進(jìn)教學(xué)是根據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)可能達(dá)到的水平及其客觀差異性.把教育對(duì)象、課堂教學(xué)目標(biāo)和

活動(dòng)層次化，當(dāng)然也包括對(duì)教學(xué)內(nèi)容的層次化處理。

高中數(shù)學(xué)新教材第一章《集合與簡(jiǎn)易邏輯》中已經(jīng)介紹了一元一次不等式(組)、一元二次不等

簡(jiǎn)單分式不等式和簡(jiǎn)單絕對(duì)值不等式的解法，而第六章《不等式》是在高一學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)之上進(jìn)一步深

等式的性質(zhì)、介紹不等式證明的常見方法和各種類型不等式的解法，在高三復(fù)習(xí)時(shí)，高二解析幾何的學(xué)

數(shù)形結(jié)合思想的滲透又會(huì)進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)不等式的理解,從而增加不等式問(wèn)題的處理方法，教材對(duì)不

問(wèn)題的處理方式體現(xiàn)了分層遞進(jìn)的教學(xué)策略,這樣做有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中邊學(xué)習(xí)、邊鞏固、再深入

鞏固。那么在不等式這一章的教學(xué)中我們也應(yīng)遵循這一原則，根據(jù)學(xué)生的能力水平提出適合學(xué)生實(shí)際

的教學(xué)目標(biāo)，不必急于補(bǔ)充過(guò)多知識(shí)。

二、 滲透化歸思想、強(qiáng)調(diào)等價(jià)變形

一元一次不等式(組)、一元二次不等式的解法是解各種不等式(組)的基礎(chǔ)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)熟練掌

解其他各種類型的不等式時(shí)，關(guān)鍵是善于根據(jù)有關(guān)的性質(zhì)或定理，把它等價(jià)轉(zhuǎn)化(即等價(jià)變形)為一元

不等式、一元二次不等式(組)。

一般來(lái)講：

(1) 如果不等式是超越不等式或含絕對(duì)值的不等式，則可把它等價(jià)轉(zhuǎn)化成代數(shù)不等式(組)

(2) 如果代數(shù)不等式是無(wú)理不等式，則可把他等價(jià)化歸成有理不等式(組)

(3) 如果有理不等式是分式不等式，則可把他化歸成整式不等式(組)

(4) 如果整式不等式是高次不等式，則可把他等價(jià)化歸成一元一次不等式、一元二次不等式(組)或

用序軸標(biāo)根法

解不等式時(shí)，尤其是解無(wú)理不等式和對(duì)數(shù)不等式時(shí)更要注意變形的等價(jià)性。

例如：解不等式

x?5x?6?x?2

2

變形一: 原不等式變形為

x?5x?6?(x?2)

22

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2

變形二: 原不等式變形為

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22

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變形三：原不等式變形為(1)或(2)

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變形四：原不等式變形為(1)或(2)

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變形五：原不等式變形為(1)或(2)

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x?5x?6?(x?2)

22

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在以上五種變形中，變形一漏掉偶次根號(hào)下的式子必須取非負(fù)值，變形二沒有考慮當(dāng)且僅當(dāng)不等

兩邊都非負(fù)時(shí)才可以將不等式兩邊平方，變形三漏掉了的情況，變形四的(2)式擴(kuò)大了解的范圍

x?2?0

有變形五是原不等式等價(jià)變形。又如對(duì)數(shù)的真數(shù)應(yīng)該大于零也是學(xué)生經(jīng)常容易忽略的,應(yīng)加以強(qiáng)調(diào)。

三、 注重基本方法，防止難度失控

不等式的證明有很多方法，在本章中并未全部涉及，防止難度失控的關(guān)鍵是因材施教。

比較法、綜合法、分析法是證明不等式的基本方法，其中比較法是一種最基本、最重要的方法，它

利用不等式的兩邊的差是正數(shù)或負(fù)數(shù)來(lái)證明不等式，其應(yīng)用非常廣泛，屬必須掌握并要求能夠靈活運(yùn)用

內(nèi)容。

分析法是從要證明的不等式出發(fā)，尋找使這個(gè)不等式成立的某一，如此逐步向前追溯(執(zhí)

充分條件

因)，一直追溯到已知條件或一些真命題為止，分析法的證明過(guò)程常常表現(xiàn)為“要證??只要證??”

后推至已知條件或真命題。

綜合法是從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?/span>)所要證的不等式，綜合法的證

程常常表現(xiàn)為“因?yàn)??所以??”，應(yīng)該說(shuō)：分析法的過(guò)程是思考過(guò)程，綜合法的過(guò)程是推理過(guò)程，

注意的是，當(dāng)我們直接推證不等式有困難時(shí)往往會(huì)用分析法的思想尋求證明的出發(fā)點(diǎn)。實(shí)踐表明，我們

明不等式時(shí)往往實(shí)現(xiàn)分析，后推理。

證明不等式還有反證法、換元法、放縮法、判別式法、利用函數(shù)單調(diào)性等方法，如學(xué)生能力較好

充幾個(gè)例題介紹換元法、放縮法，但不必強(qiáng)調(diào)不等式證明方法的各種技巧，因?yàn)檫@不符合高中數(shù)學(xué)新

的要求，也背離了近幾年來(lái)高考的改革方向。

四、 抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，解決實(shí)際問(wèn)題

理論與實(shí)際相結(jié)合是新教材的一大特色，本章教材在引言中安排了一個(gè)實(shí)際問(wèn)題——求一個(gè)

體無(wú)蓋貯水池的最低總造價(jià)。這個(gè)問(wèn)題是一個(gè)求函數(shù)的最小值的問(wèn)題，可以用函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決，但

用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理，則很容易。除此之外，新教材還增加了—些實(shí)際應(yīng)用題，如6．2

習(xí)第4題，求一個(gè)菜園的最大面積；6.3節(jié)例4，求解一個(gè)行程問(wèn)題，例7，比較截面是圓的水管與截

正方形的水管的流量大小問(wèn)題等。6.2節(jié)中的例1，6.2節(jié)習(xí)題中第6、7題。小節(jié)和復(fù)習(xí)中的參考例題

復(fù)習(xí)參考題六中的第5、10、14題等是利用不等式的知識(shí)解決函數(shù)問(wèn)題、方程問(wèn)題和幾何問(wèn)題等的例習(xí)

這說(shuō)明新教材更加注重培養(yǎng)學(xué)生分析向題、解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提高學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識(shí)，有利于提

生利用不等式的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，從中抽象出數(shù)學(xué)模型。

例：某廠花費(fèi)50萬(wàn)元買回一臺(tái)機(jī)器,此機(jī)器投入生產(chǎn)后每天要付維修費(fèi),已知第x天應(yīng)付的維修

??

1

(x?1)?500

??

4

元.機(jī)器從投產(chǎn)到報(bào)廢共付的維修費(fèi)與購(gòu)買機(jī)器費(fèi)用的和均攤到每一天,叫做每天的平均損

??

當(dāng)平均損耗達(dá)到最小時(shí)，機(jī)器應(yīng)當(dāng)報(bào)廢。

(1) 將每天的平均損耗y(元)表示為投產(chǎn)天數(shù)x的函數(shù)；

(2) 求機(jī)器使用多少天應(yīng)當(dāng)報(bào)廢？

關(guān)鍵詞：

平均損耗——機(jī)器從投產(chǎn)到報(bào)廢共付的維修費(fèi)與購(gòu)買機(jī)器費(fèi)用的和均攤到每一天,叫做每天的平均損耗

．．．．

抓住關(guān)鍵詞不難列出

12x?1

500000?500?(?500)?(?500)??(?500)

?

444

y?

x

500000x7

??499?

x88

則問(wèn)題迎刃而解。

從高中數(shù)學(xué)新教材看來(lái),《不等式》是承上啟下的一章，運(yùn)用遍及整個(gè)高中教學(xué)，在教學(xué)中我

著重把握一個(gè)“度”字，以本為本、以綱為綱，從學(xué)生的實(shí)際情況出發(fā)，確實(shí)以學(xué)生為主體，因人而異

材施教，才能實(shí)現(xiàn)教材改革的真正目標(biāo)——素質(zhì)教育。

蘇州市一中

2001/