蘇科版七年級下冊第8章《冪的運算》解題策略

《冪的運算》解題策略

乘方運算是我們學習了加減乘除運算后的第五種運算，乘方運算的結果稱為“冪”，.

因此，乘方運算也稱為冪的運算。在初中數學教材《冪的運算》一章的學習過程中，學生感

覺困難重重，主要原因有兩點:一是對冪的內涵理解不夠，導致計算方法(公式)棍淆;二是思

路不明確，無從下手.本文將通過對運算法則的歸類揭示乘方運算的內涵，從而得出解題的

策略

一、冪的運算公式及應用

冪的運算公式如下表:

運算先計算冪后計算冪

加法

一級運算

減法

底同指同

5a2abb23(ab)

aaa

mmm

底同指同

aaa

mmm

2(ab)a2abb

222

nmmn

222

底數相同

agaa

乘法

指數相同

agbagb

二級運算

底數相同

aaa

除法

指數相同

abab

三級運算乘方

mmm

mnmn

mmm

(agb)agb

mmm

()

(ab)ab

mmm

()

mnmnmnmn

()

aaa(a)

[反之]

(記住這三條規律，可以避免通過上表可以看出，兩個冪的運算公式滿足下列三條規律

公式混淆):

1.越低級的運算，對冪的要求越高

幕的加減運算(一級運算)，要求兩個冪的底數和指數都相同;冪的乘除運算，要求兩個冪

的底數和底數中有一項相同;冪的乘方運算則沒有要求.

2.冪的運算過程中，兩個冪的相同部分不變

冪的加減運算中，底數和指數都不變，系數相加減(即:合并同類項).冪的乘除運算中，

底數相同，則底數不變;指數相同，則指數不變- . 冪的乘方運算中，底數不變二

(各3.底數之間的運算，用原運算符號，指數之間的運算，用原運算符號的降級運算符號

運算之間的降級關系如下表)

冪的加法(或減法)運算中，系數處于低層，仍用原運算——加法(或減法)運算.冪的乘法

(或除法)運算中，若指數根同，則指數不變，底數仍用原運算——乘法(或除法)運算;若底數

相同，則底數不變，指數處于上層，則按下表中的降級規律，用對應的加法(或減法)運算.

冪的乘方運算，底數不變，指數降級為乘法運算.

? 疑問:在冪的運算過程中，兩個冪不符合上述運算特征怎么辦

這是學生在學習冪的運算過程中遇到的最常見的困難，解決的方法是“轉化”。通過轉

化兩個冪的底數或指數，從而使兩個冪達到符合相應運算的條件.具體轉化方法如下:

1.化為底數相同

如果兩個冪的底數可以化成同一個數的冪的形式，那么這兩個冪就可以用冪的乘方公式

(a)a

mnmn

，把它們化作同底數冪.

a12a

例1 計算: .

927

分析故需要轉化.注意到底數9和27分別是3的2和因這兩個冪不滿足相乘的條件，

3，3次冪，說明這兩個冪可以把底數都化成

即:

927(3)(3)333

a12a2a132a2a26a8a2

.

2.化為指數相同

(1)當指數相近時，可以反用積的乘方公式，把含較大指數的冪寫成兩個

aaga

mnmn

. 冪的積，并使其中一個冪的指數和指數最小的冪的指數相同

例2 計算: .

1010

分析.注意到因冪的減法運算需要指數和底數皆相同，故需要把它們的指數化的相等

3836

36. 指數38和36很接近，說明可以把它們的指數都化成

36383623636237

即

1010101010(101)109.910

a(a)

mnmn

.

，把指數化成它們的最大公約(2)當指數不相近時，可以反用冪的乘方公式

數.

例3 計算: .

63

分析因這兩個冪不符合相除的特征，故需要轉化，注意到它們的底數不具備化成同

3624

. 底數冪的條件，指數又不相近，故可以考慮把指數化成它們的最大公約數

即

63(6)(3)2169(2169)27

362431221212121212

.

二、求有關冪的等式中未知數的方法

當兩個相等的冪的底數相等時，它們的指數也相等，如已知，則;當兩個

相等的冪的指數相等時，它們的底數也相等，如已知

底數和指數都不相同時，此時需要轉化兩個冪的則無法直接轉化為整式方程求未知數的值，

底數或指數，使它們相同.當等式兩邊有多個冪時，需要依據運算符號進行運算，先轉化成

aa

aa

2x

x2

3

x

，則.當兩個相等的冪的

x3

. 只有兩個冪的等式再進行求解

例4 若滿足等式:

m

48()

m1124m

1

2

，求的值.

m

分析因等式兩邊有三個冪，且字母在指數上，故需要先計算出等號左邊的積，使

m

. 等號兩邊各保留一個冪，然后再化底數相等，最后用指數相等列等式

2m2362m34m1122m1312

∵

48(2)(2)222

，

1

4m4m4m

()(2)2

，

2

∴，

2m344m

∴.

m17

三、比較冪的大小的方法.

. 當兩個冪的底數相同時，通過比較他們的指數可以判斷它們的大小

如：

33

2018201820182723

，，，.

()()()()()()

111111

333333

. 當兩個冪的指數相同時，通過比較它們的底數可以判斷它們的大小

如：

53

2020202020202727

111111

，，，.

()()()()()()

535353

. 數或指數化的相等，然后才能比較大小

335544

必須先要把它們的底當兩個冪的指數和底數都不相同時，此時它們不能直接比較大小，

例5 比較大小: ，，.

35

4

分析因這三個冪底數和指數都不相等，故不能直接比較大小，需要轉化.注意到它們

11. 化成它們的最大公約數

的底數3、4 、5不具備化成同底數冪的條件，指數有最大公約數11，故可以考慮把指數

即

3(3)2434(4)2565(5)125

555111144411113331111

；，.

∵，

125243256

∴

534

335544

.

熟練掌握轉化底小結在學習《冪的運算》這一章節內容時，記住公式是解題的基礎，

;觀察數和指數的方法是解題的關鍵.分析題目中冪的運算所需要的條件，可以明確解題思路

. 冪的底數和指數的特點，可以明確解題的具體過程

北師版七下數學第一章《整式的乘除》冪的運算與乘法公式學習中的技巧性問題探究

學習冪的運算性質應注意的幾個問題

冪的運算性質是整式乘法的基礎，也是整式乘法的主要依據．在學習中應注

意以下問題．

1．注意符號問題

例1 判斷下列等式是否成立：

①(-x)＝-x，

②(-x，

)＝-(-x)

③(x-y)＝(y-x)，

22

33

22

④(x-y)＝(y-x)，

⑤x-a-b＝x-(a+b)，

⑥x+a-b＝x-(b-a)．

解：③⑤⑥成立．

以上六個等式，是否成立？為什么？這些都應分析清楚．所有這些問題的解

決，對今后的學習是否能夠順利進行，都有著重要的意義．

2．注意冪的性質的混淆

例如：(a＝a，a·a＝a．

)

產生這樣錯誤的原因是對運算性質發生混淆．只一般地糾正錯誤是不能徹底

找出產生錯誤的解決問題的，有必要從乘方的意義以及性質是怎樣歸納得出的，

5275210

33

根源．

3．注意冪的運算性質的逆用

四個運算性質反過來也是成立的．有創新精神的學生在解題時逆用性質，但

大部分學生不會逆用性質或想不到，能正反靈活地運用冪的運算性質會給解題帶

來很大的幫助．

例2 已知10＝4，10＝5，求10的值．

解：10＝(10×(10＝4×5＝1600．

3m+2nm3n232

mn3m+2n

))

554433

例3 試比較3，4，5的大小．

解：∵3＝(3＝243，

)

4＝256，

4＝(4)

5＝125，

3＝(5)

而125＜243＜256，

∴5＜4

3＜34．

4．注意冪的意義與冪的運算性質的混淆

例如：比較2

4與23的大小．

錯解：∵2，2，∴2

4＝23＝24＝23．

產生錯誤的原因是：對冪的意義與冪的乘方混淆不清，教師要弄清冪的意

義．并與冪的性質進行比較．

例4 已知a＝2

4，b＝23，c＝34，d＝42，e＝43，則a、b、c、d、e的

34232

31241234

34

3554

331111

441111

5551111

大小關系是( )

(A)a＝b＝d＝e＜c．

(B)a＝b＝d＝e＞c．

(C)e＜d＜c＜b＜a．

(D)e＜c＜d＜b＜a．

解：a＝2，b＝2，c＝3，d＝4＝2，e＝4

4＝23＝24＝32＝43＝4

＝2．

而2＜2＜3＜2＜2．

∴e＜d＜c＜b＜a．

故應選(C)．

1618166481

16

381464216391828

你會巧用冪的運算法則嗎？

冪的運算法則是進行整式乘除的基礎，在應用中，如能注意以下技巧，常可

獲得妙解．

一、化成同底數冪進行計算

例1 若x＝2，則用x的代數式表示y為______．

+1，y＝3+4

解：∵2＝x-1，

∴y＝3+4

m

2m

m

mm

＝3+2．

＝3+(2

)

m2

2

＝3+(x-1)

2

＝x

-2x+4．

二、化成同指數冪進行計算

例2 比較3、4、5的大小；

解：∵3＝243，＝3×＝(3

411144111111

311133111111

55551111115111

555444333

，4×＝(4＝256

，5×＝(5＝125

)

44＝4)

33＝5)

又256＞243＞125，

∴5＜3＜4．

333555444

xyyx

例3 如果a≠0，b≠0且，(a+b)＝(a-b)，(a+b)＝(a-b)成立，那么x+y的

值是_____．

(A)0．(B)1．(C)2．(D)不能確定．

解：將已知兩等式相乘有

(a+b)＝(a-b)．

x+yx+y

又a≠0，b≠0，

∴a+b≠a-b，

要使(a+b)＝(a-b)成立，只有x+y＝0，所以選(A)．

x+yx+y

三、化成已知冪的形式進行計算

∴5

3x+2y

3x2y

y2x3

＝5·5

＝(5·(5

))

比較大小

A＝1998+1997×1998+1997×1998+…+1997×1998+1997×1998

B＝1998

1998

219961997

試比較A與B的大小．

分析：

(1)把A化簡成B．∵1998+1997×1998＝1998×(1+1997)＝1998，這樣反用

乘法分配律，使1998的指數逐次增加1，和后面再反用乘法分配律，最后就化

簡成B．

(2)把B化成A

2

∵1998＝1998×1998

19981997

1997

＝(1+1997)×1998

＝1998

19971997

+1997×1998

這是僅用同底數冪的性質，應用乘法分配律，把此過程繼續下去就可由B

得到A．

解：方法一

A＝1998+1997×1998+1997×1998

+…+1998+1997×1998

219971996

219961997

＝1998(1+1997)+1997×1998

+ …+1997×1998+1997×1998

＝1998

+1997×1998+…+1997×1998+1997×1998

＝1998

(1+1997)+…+1997×1998+1997×1998

＝1998

+…+1997×1998+1997×1998

＝……

＝1998

＝1998

＝1998

＝1998

＝1998

199619961997

19961997

19971997

1997

1998

319961997

219961997

2219961997

+1997×1998+1997×1998

(1+1997)+1997×1998

+1997×1998

(1+1997)

∴A＝B

方法二

B＝1998

1998

1997

1997

19971997

19971996

19971996

199719961996

＝1998×1998

＝(1+1997)×1998

＝1998

+1997×1998

＝1998×1998

+1997×1998

＝(1+1997)×1998

＝1998

＝……

+1997×1998

+1997×1998+1997×1998

＝1998

+1997×1998+…+1997×1998+1997×1998

219961997

2219961997

＝1998×1998+1997×1998

+…+1997×1998+1997×1998

＝(1+1997)×1998+1997×1998

+…+1997×1998+1997×1998

219971996

219961997

＝1998+1997×1998+1997×1998

+…+1997×1998+1997×1998

∴A＝B

求值

abcd

已知：3·5·7·19

+1＝1996，其中a，b，c，d都是自然數，

計算：(a+b-c-d)之值．

abdc

abdc

1996

分析：∵3·5·7·19

+1＝1996

∴3·5·7·19＝1995．

因為3、5、7、19是互質數，所以a、b、c、d的值是唯一確定的，只須把

1995分解質因數．

1995＝3×5×7×19

∴a＝b＝c＝d＝1．此題可解

解：∵3·5·7·19

+1＝1996

∴3·5·7·19＝1995

∵1995＝3×5×7×19

∴a＝b＝c＝d＝1

∴(a+b-c-d)

1996

1996

abcd

abcd

＝(1+1-1-1)

＝0

1996

＝0

在“整式乘除”教學中培養學生逆向思維

義務教育數學教學大綱明確指出：“數學教學中，發展思維能力是培養能力

的核心”在初中數學教學中主要是發展學生的邏輯思維能力，包括培養學生會觀

察、比較、分析、綜合、抽象和概括；會用歸納、演繹和類比進行推理，會準確

地闡述自己的思想和觀點；形成良好的思維品質．本文僅就在“整式乘除”一章

的教學談談自己培養學生逆向思維的點滴做法，不妥之處請專家同行指正．

在整式乘除運算中，有的運用冪的運算性質運算，有的運用乘法公式運算，

大量習題都是直接套用公式計算，但有一部分如果直接運用公式不僅計算很繁，

而且很難計算正確．如果把公式反過來使用，就會化繁為簡、化難為易．

一、在冪的運算性質教學中培養學生逆向思維

1．同底數冪乘法與同底數冪除法互為逆運算．

例1與a的積為3a的單項式是______．

bb

n22n+12n+1

．例2 如果M÷3xy＝－＋，則M＝

11

n+1

x

918

例1是已知積和其中一個因式，求另一個因式；例2是已知除式和商式求被

除式，這時可利用乘法與除法的互逆來解答．

例3已知2＝3，2＝5，求2．

aba+b

a+b

本題如果想先求出a、b的值，再代入2中求值，是很難辦到的，初一學

2生無法進行，但若將同底數冪乘法的性質反過來用，就得到＝2·2，這樣

a+bab

問題就迎刃而解了．

2．積的乘方與冪的乘方性質的逆用．

例4 計算（－3）×（）

19951997

1

3

1

觀察兩個冪的底數，－3和呈互為負倒數關系，積為－1，于是可聯想到

3

將積的乘方的性質逆用，但兩個冪指數又不一樣，怎么辦呢？再將同底數冪乘法

性質逆用一次，得到（－3）×（）×（），這樣問題就解決了．

199519952

11

33

該題在學習整式除法這一內容后，還可將負指數冪的性質逆用，也可得解．

＝-3·(3

＝-3·3

＝-3

1995-11997

)

-19971995

-2

平方差公式與完全平方公式

一、公式透析

b)(ab)a(ab

22

平方差公式：

特點是相乘的兩個二項式中，a表示的是完

全相同的項，+b和-b表示的是互為相反數的兩項。所以說，兩個二項式相乘能

不能用平方差公式，關鍵看是否存在兩項完全相同的項，兩項互為相反數的項。

完全平方公式：

(ab)a2abb

222

注意不要漏掉2ab項

二、典例解析

例1：下列各式可以用平方差公式的是（）

A.(a4c)(a4c)B.(x2y)(2xy)C.(3a1)(13a)

D.(xy)(xy)

11

22

例2:如何用公式計算

(1)(xy)

2

例3：已知

mn10,mn24，求（1）mn(2)(mn)

222

三、綜合應用

1.按圖中所示的方式分割正方形，你能得到什么結論

b a x y

2.觀察下列各式,你會發現什么規律,用只含一個字母n的式子表示出來.

351541

2

573561

2

1113143121

2

3).

2(31)(31)(31)1

32432