中考數(shù)學(xué)常見(jiàn)幾何模型角平分線的基本模型(二)非全等類

2023年12月10日發(fā)(作者：贈(zèng)予)

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專題08 角平分線的重要模型（二）非全等類

角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。

模型1.雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）

【模型解讀】

雙角平分線模型（導(dǎo)角模型）指的是當(dāng)三角形的內(nèi)角（外角）的平分線相交時(shí)，可以導(dǎo)出平分線的夾角的度數(shù)。

【模型圖示】

條件：BD，CD是角平分線.

AC213B4EFD

DA

1234CBM

結(jié)論：1?BDC?90???A21?BDC?90???A

2?BDC?1?A

21．（2022·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）BP是∠ABC的平分線，CP是∠ACB的鄰補(bǔ)角的平分線，∠ABP=20°，∠ACP=50°，則∠P=（

）

A．30°

【答案】A

B．40° C．50° D．60°

【分析】據(jù)角平分線的定義以及一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和，可求出∠P的度數(shù)．

【詳解】∠BP是△ABC中∠ABC的平分線，CP是∠ACB的外角的平分線，

∠∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，

∠∠PCM是△BCP的外角，∠∠P=∠PCM?∠CBP=50°?20°=30°，故選：A．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角性質(zhì)以及角平分線的定義，解題時(shí)注意：一個(gè)三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．

2．（2022·山東·濟(jì)南中考模擬）如圖1，在△ABC中，∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O．

(1)求證：∠AOC＝90°＋2∠ABC；

(2)當(dāng)∠ABC＝90°時(shí)，且AO＝3OD（如圖2），判斷線段AE，CD，AC之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

【答案】(1)見(jiàn)解析

4(2)AE+CD=AC，證明見(jiàn)解析

31【分析】（1）求出∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，根據(jù)角平分線定義求出∠OAC=∠BAC，∠OCA=21∠BCA，即可求出∠OAC+∠OCA的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出即可；

21（3）在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，證△AEO∠∠AMO，△DCO∠∠NCO，推出∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，求出∠MON=∠MOA=45°，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出MK=ML，據(jù)此計(jì)算即可求解．

（1）證明：∠∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，

∠∠BAC+∠BCA=180°-∠ABC，

∠∠BAC的平分線AD與∠BCA的平分線CE交于點(diǎn)O． 11∠∠OAC=∠BAC，∠OCA=∠BCA，

22111∠∠OAC+∠OCA=（∠BAC+∠BCA）=（180°-∠ABC）=90°-∠ABC，

2221∠∠AOC=180°-（∠OAC+∠OCA）=180°-（90°-∠ABC），

21即∠AOC=90°+∠ABC；

2（2）解：4AE+CD=AC，

31證明：如圖2，∠∠AOC=90°+∠ABC=135°，

2∠∠EOA=45°，

在AC上分別截取AM、CN，使AM=AE，CN=CD，連接OM，ON，

?AE?AM?則在∠AEO和∠AMO中，??EAO??MAO，

?AO?AO?∠∠AEO∠∠AMO，

同理∠DCO∠∠NCO，

∠∠EOA=∠MOA，∠CON=∠COD，OD=ON，

∠∠EOA=∠MOA=∠CON=∠COD=45°，

∠∠MON=∠MOA=45°，

過(guò)M作MK∠AD于K，ML∠ON于L，

∠MK=ML，

11S△AOM=AO×MK，S△MON=ON×ML，

22∠∠∠AOS?AOM?，

ONS?MONS?AOMAM?，

S?MONMNAOAM?，

ONMN∠AO=3OD， ∠∠AO3?，

OD1AOAM3??，

ONMN144∠AN=AM=AE，

33∠AN+NC=AC，

4∠AE+CD=AC．

3【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線定義和性質(zhì)，三角形的面積，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握各性質(zhì)定理是解答此題的關(guān)鍵．

3.（2022?蓬溪縣九年級(jí)月考）某校七年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)“三角形內(nèi)角或外角平分線的夾角與第三個(gè)內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系”進(jìn)行了探究．（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)P，∠A＝64°，則∠BPC＝ ；（2）如圖2，△ABC的內(nèi)角∠ACB的平分線與△ABC的外角∠ABD的平分線交于點(diǎn)E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如圖3，∠CBM、∠BCN為△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，請(qǐng)你寫(xiě)出∠BQC與∠A的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（4）如圖4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分線交于點(diǎn)Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分線交于點(diǎn)P，則∠BPC＝ °，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，∠ECQ的平分線與BP的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)R，則∠R＝ °．

【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和角平分線的定義；（2）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，用∠A與∠1表示出∠2，再利用∠E與∠1表示出∠2，于是得到結(jié)論；（3）根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和以及角平分線的定義表示出∠EBC與∠ECB，然后再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理即可得解；（4）結(jié)合（1）（2）（3）的解析即可求得．

【解答】解：（1）∵PB、PC分別平分∠ABC和∠ACB，

∴∠PBC=2∠ABC，∠PCB=2∠ACB（角平分線的性質(zhì)），

∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形內(nèi)角和定理），

∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ ∠ABC+2∠ACB）＝180°?2（∠ABC+211111∠ACB） ＝180°?（180°﹣∠A）＝180°﹣90°+∠A＝90°+∠A＝90°+×64°＝122°．故答案為：122°；

（2）∵BE是∠ABD的平分線，CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=∠ACB，∠ECD=∠ABD．

∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，

111∴∠EBD=2∠ABD=2（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，

22∴∠BEC=2∠A=2??；

11

（3）結(jié)論∠BQC＝90°?∠A．

∵∠CBM與∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，

∵BQ，CQ分別是∠ABC與∠ACB外角的平分線，∴∠QBC=2（∠A+∠ACB），∠QCB=2（∠A+∠ABC）．

∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，

∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°?2（∠A+∠ACB）?2（∠A+∠ABC），

＝180°?2∠A?2（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°?2∠A﹣90°＝90°?2∠A；

（4）由（3）可知，∠BQC＝90°?∠A＝90°?×64°=58°，

由（1）可知∠BPC＝90°+∠BQC＝90°+×58°=119°；

由（2）可知，∠R=∠BQC＝29°故答案為119，29．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的外角性質(zhì)與內(nèi)角和定理，熟記三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵．

4．（2022·遼寧沈陽(yáng)·九年級(jí)期中）閱讀下面的材料，并解決問(wèn)題

111111112 (1)已知在∠ABC中，∠A=60°，圖1-3的∠ABC的內(nèi)角平分線或外角平分線交于點(diǎn)O，請(qǐng)直接寫(xiě)出下列角度的度數(shù)，如圖1，∠O＝ ；如圖2，∠O＝ ；如圖3，∠O＝ ；

(2)如圖4，點(diǎn)O是∠ABC的兩條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，求證：∠O＝90°+2∠A

(3)如圖5，在∠ABC中，∠ABC的三等分線分別與∠ACB的平分線交于點(diǎn)O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度數(shù)．

【答案】(1)120°，30°，60°(2)見(jiàn)解析(3)70°

【分析】（1）由∠A的度數(shù)，在∠ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是內(nèi)角平分線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)進(jìn)而可求得答案；

（2）由∠A的度數(shù)，在∠ABC中，可得∠ABC與∠ACB的和，又BO、CO是角平分線，利用角平分線的定義及三角形內(nèi)角和定理可證得結(jié)論；

（3）先分別求出∠ABC與∠ACB的度數(shù)，即可求得∠A的度數(shù)．

（1）①在圖1中：∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACB

∠∠OBC=2∠ABC，∠OCB=2∠ACB

∠∠OBC+∠OCB

=2（∠ABC+∠ACB）

=2（180°-∠BAC）

=2（180°-60°）=60°

∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=120°；

②在圖2中：

∠BO平分∠ABC，CO平分∠ACD

∠∠OBC=2∠ABC，∠OCD=2∠ACD

∠∠ACD=∠ABC+∠A∠∠OCD=1（∠ABC+∠A）

211111111∠∠OCD=∠OBC+∠O

∠∠O=∠OCD-∠OBC=1∠ABC+1∠A-1∠ABC=1∠A=30°．

2222③在圖3中：∠BO平分∠EBC，CO平分∠BCD

∠∠OBC=2∠EBC，∠OCB=2∠BCD

∠∠OBC+∠OCB=1（∠EBC+∠BCD）=1（∠A+∠ACB+∠BCD）=1（∠A+180°）=1（60°+180°）222211=120°

∠∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=60°．故答案為：120°，30°，60°． （2）證明：∠OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，

∠∠OBC=2∠ABC，∠OCB=2∠ACB，

∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-2（∠ABC+∠ACB）=180°-2（180°-∠A）=90°+2∠A．

（3）設(shè)∠ABO2=∠O2BO1=∠O1BC=α，∠ACO2=∠BCO2=β，

∠2α+β=180°-115°=65°，α+β=180°-135°=45°解得：α=20°，β=25°

∠∠ABC+∠ACB=3α+2β=60°+50°=110°，∠∠A=70°．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理，以及基本圖形是解題的關(guān)鍵．

模型2.角平分線加平行線等腰現(xiàn)（角平分線+平行線）

【模型解讀】

111111）過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形；2）有角平分線時(shí)，過(guò)角一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線，交角的另一邊的直線于一點(diǎn)，也可構(gòu)造等腰三角形。

【模型圖示】

已知如圖1，OP為?AOB的角平分線，點(diǎn)P角平分線上任一點(diǎn)時(shí)，輔助線的作法大都為過(guò)點(diǎn)P作PM//OB或PM//OA即可.即有?OMP是等腰三角形，利用相關(guān)結(jié)論解決問(wèn)題.

如圖1 如圖2

已知如圖2，OC平分?AOB，點(diǎn)D是OA上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE//OC交OB的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則OD=OE.

注意：平行線、角平分線、等腰△知二推一即：

①AD①BC+AC是①BAD的角平分線?①ABC是等腰三角形；

①AD①BC+①ABC是等腰三角形?AC是①BAD的角平分線；

①AC是①BAD的角平分線+①ABC是等腰三角形?AD①BC。

常見(jiàn)模型： AAEDDBEACBECDBC

1．（2022·安徽·二模）如圖，在ABC中，?ABC與?ACB的平分線BD，CD交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．若BE?2，CF?3，BC?9，則AE的長(zhǎng)為（

）

A．2.5

【答案】A

【分析】由角平分線的性質(zhì)得到?ABD??DBC，?ACD??DCB，由兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到?EDB??DBC，?FDC??DCB，進(jìn)而證明BE?ED，CF?DF，解得EF的長(zhǎng)，再根據(jù)平行線判定AEFB．4.5 C．3.75 D．6.75

ABC，最后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．

【詳解】解：BD平分?ABC，CD平分?ACB，??ABD??DBC，?ACD??DCB

EF∥BC??EDB??DBC，?FDC??DCB

??ABD??EDB，?ACD??FDC?BE?ED，CF?DF

BE?2，CF?3?EF?DE?DF?BE?FC?2?3?5

EF∥BC?AEF?ABC?AEEF5??

ABBC9AE5??4AE?10?AE?2.5故選：A．

AE?BE9【點(diǎn)睛】本題考查等角對(duì)等邊、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵． 2．（2022·重慶·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE//BC交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①∠BDF和∠CEF都是等腰三角形；②DE＝BD+CE；③∠ADE的周長(zhǎng)等于AB與AC的和；④BF＞CF；⑤若∠A＝80°，則∠BFC＝130°．其中正確的有___．（填正確的序號(hào)）

【答案】①②③⑤

【分析】根據(jù)等腰三角形的判斷與性質(zhì)和平行線的性質(zhì)及三角形三邊的關(guān)系即可求解．

【詳解】①∠BF是∠ABC的角平分線，CF是∠ACB的角平分線，∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，

∠DE∠BC，∠∠CBF=∠BFD，∠BCF=∠EFC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

∠∠ABF=∠BFD，∠ACF=∠EFC，∠DB=DF，EF=EC，

∠∠BDF和∠CEF都是等腰三角形，∠①選項(xiàng)正確，符合題意；

②∠DE=DF+FE，DB=DF，EF=EC，∠DE=DB+CE，∠②選項(xiàng)正確，符合題意；

③∠∠ADE的周長(zhǎng)為=AD+DE，

∠DE=DB+CE，∠∠ADE的周長(zhǎng)為=AD+DB+AE+CE=AB+AC，∠③選項(xiàng)正確，符合題意；

④根據(jù)題意不能得出BF＞CF，∠④選項(xiàng)不正確，不符合題意；

⑤∠若∠A=80°，∠∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-80°=100°，

∠∠ABF=∠CBF，∠ACF=∠BCF，∠∠CBF+∠BCF=1×100°=50°，

2∠∠BFC=180°-∠CBF-∠BCF=180°-50°=130°，

∠⑤選項(xiàng)正確，符合題意；故答案為：①②③⑤．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)；題目利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．

4．（2022·沈陽(yáng)市九年級(jí)專項(xiàng)訓(xùn)練）已知：如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，CE、CF分別平分∠ACB

、∠ACD，EF∥BC，分別交AC、CF于點(diǎn)H、F求證：EH=HF

【答案】見(jiàn)解析 【分析】由角平分線的定義可得∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，由平行線的性質(zhì)可得∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，利用等量代換可得∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，根據(jù)等角對(duì)等邊即可求得EH=CH=HF，進(jìn)而求得EH=HF．

【詳解】∵CE、CF分別平分∠ACB、∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠ACF＝∠DCF，

∵EF∥BC，∴∠BCE＝∠CEF，∠CFE＝∠DCF，

∴∠ACE＝∠CEF，∠CFE＝∠ACF，∴EH＝CH，CH=HF，∴EH＝HF.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)等角對(duì)等邊求解是解題關(guān)鍵.

4．（2022·河南南陽(yáng)·三模）閱讀理解：如圖（1），∠ABC中，以B為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與BC和BA分別交于點(diǎn)X，Y再分別以點(diǎn)X，Y為圓心，大于1XY的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，2兩弧交于點(diǎn)D，作射線BD與AC交干點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF//BC交AB于F．

觀察思考：依據(jù)上述操作可，①∠ABE與∠CBE的大小關(guān)系為_(kāi)________；②BF與EF的數(shù)關(guān)系為_(kāi)_______．

拓展延伸：如圖（2）在∠ABC中，∠ABC的平分線與三角形外角∠ACG的平分線交于點(diǎn)D，過(guò)D作DF//BC分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，請(qǐng)判斷EF與BF，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

問(wèn)題解決：如圖（3），在ABCD中，?A?30?，AD?23，連接BD，將∠ABD沿BD折疊，使點(diǎn)A落在直線DC上方的A?處，當(dāng)∠A?DC是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AB的長(zhǎng)度．

【答案】觀察思考：①∠ABE=∠CBE；②BF?EF；拓展延伸：BF?EF?EC；問(wèn)題解決：4或6

【分析】觀察思考：①根據(jù)作圖可知BE是?ABC的角平分線，可得?ABE??CBE，

②根據(jù)EF//BC可得?CBE??FEB，等量代換可得，∠ABE=∠CBE；等角對(duì)等邊即可得，BF?EF；

拓展延伸：方法同上可得BF?FD,ED?EC，進(jìn)而可得BF?EF?EC；

問(wèn)題解決：分?A?DC?90?和?DA?C?90?，兩種情形，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理求解即可求得AB的長(zhǎng)

【詳解】觀察思考：①根據(jù)作圖可知BE是?ABC的角平分線，??ABE??CBE， ②EF//BC??CBE??FEB，

∠ABE=∠CBE；?FBE??FEB，?BF?EF；

BD平分?ABC??ABD??CBD

拓展延伸：BF?EF?EC

DF//BC??FDB??DBC??FBD??FDB?FD?FB

CD平分?ACG??ACD??GCD

DF//BC??EDC??DCG??ACD??EDC

?EC?ED?FD?EF?ED?EF?EC?BF?EF?EC

問(wèn)題解決：當(dāng)?A?DC?90?時(shí)，如圖，延長(zhǎng)A?D交AB于點(diǎn)E,

四邊形ACBD是平行四邊形?AB//DC折疊，?A?D?AD,A?B?ABA?D?DC?A'E?AB

?A?30???EA?B?30?

?A?30?,AD?23?DE?3

22?EB?11A?B?EB?AB?AE?EB22Rt△ADE中，AE?AD2?DE2?當(dāng)?DA?C?90?時(shí)，如圖，

?23???3??3?AB?2AE?6

四邊形ABCD是平行四邊形?CD?AB

折疊，?A?D?AD,A?B?AB?DC?A?B

?四邊形A?DBC是矩形??ADB??A?DB?90?

?A?30?,AD?23?DB?1AB

2?AD?AB2?DB2?3DB?DB?2?AB?2DB?4

綜上所述，AB的長(zhǎng)為4或6

【點(diǎn)睛】本題考查了作角平分線，等邊對(duì)等角，平行線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

模型3.面積模型

【模型解讀與圖示】

已知條件：BG、CG、AG分別是∠ABC、∠ACB、∠BAC的平分線

輔助線：過(guò)點(diǎn)G作GD⊥BC、GE⊥AC、FG⊥AB（求面積需要高，作垂直得到高）

結(jié)論：S△ABC?1?DG?C△ABC

2：S△BCO：S△CAO等于（

）

1．（2022·內(nèi)蒙古·九年級(jí)期末）如圖，ABC的三邊AB，BC，CA長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將ABC分為三個(gè)三角形，則SABO

A．1：1：1 B．1：2：3 C．2：3：4 D．3：4：5

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)O作OD?AC于D，OE?AB于E，OF?BC于F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，可得：OEOFOD，依據(jù)三角形面積公式求比值即可得．

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OD?AC于D，OE?AB于E，OF?BC于F，

點(diǎn)O是三條角平分線交點(diǎn)，OEOFOD，

?SABO：S△BCO：SCAO?111?AB?OE：?BC?OF：?AC?OD?AB:BC:AC?2:3:4，故222選：C．

【點(diǎn)睛】題目主要考查角平分線的性質(zhì)及三角形面積公式，理解角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

2．（2022·安徽滁州·二模）如圖，ABC的面積為3cm2，B的平分線BP與AP垂直，垂足為點(diǎn)P，AB:BC?2:5，那么△APC的面積為_(kāi)_____cm2． 【答案】33

10【分析】延長(zhǎng)AP交BC于T，根據(jù)BP?AT，BP為?ABC的角平分線，可得?BPA??BPT?90?，?PBA??PBT，可證BPA?BPT?ASA?

，則有PA?PT，得11S△BPA?S△BPT，S△ACP?S△CPT，即有S△PBC?S△ABC?3，再根據(jù)AB:BC?2:5，且?ABC的2221角平分線到AB與BC的距離相等，可得S△ABP:S△PBC?2:5，則S△ABP?S△PBC?3，再根據(jù)55S△APC?S△ABC?S△ABP?S△PBC求解即可．

【詳解】如圖延長(zhǎng)AP交BC于T，

∠BP?AT，∠?BPA??BPT?90?，

∠BP為?ABC的角平分線，∠?PBA??PBT，

在△BPA與BPT中，

??PBA??PBT? ,∠BPA?BPT?ASA?

，∠PA?PT，

?BP?BP??BPA??BPT?∠S△BPA?S△BPT，S△ACP?S△CPT，∠S△PBC?11S△ABC?3?cm2?

22∠AB:BC?2:5，且?ABC的角平分線到AB與BC的距離相等，

∠S△ABP:S△PBC?2:5，

則S△ABP?2211S△PBC??3?3?cm2?．

55251133?3?3?cm2?．

5210∠S△APC?S△ABC?S△ABP?S△PBC?3?故答案為：33．

10【點(diǎn)睛】本題主要考查面積及等積變換的知識(shí)點(diǎn)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

3．（2022·湖北武漢·九年級(jí)期中）問(wèn)題背景：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．若一個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角角平分線都交于一點(diǎn)O，點(diǎn)O叫做該多邊形的內(nèi)心，點(diǎn)O到其中一邊的距離叫做r．

問(wèn)題解決：如圖1，在面積為S的ABC中，BC?a，AC?b，AB?c，內(nèi)心O到邊AC的距離為r，試說(shuō)明r?2S．

a?b?c類比推理：如圖2，存在內(nèi)心O的四邊形ABCD面積為S，周長(zhǎng)為l，用含有S與l的式子表示內(nèi)心O到邊AB的距離r?________；

理解應(yīng)用：如圖3，在四邊形ABCD中，AB//DC，AB?21，CD?11，AD?BC?13，對(duì)角線BD?20，點(diǎn)O1與O2分別為△ABD與△BCD的內(nèi)心，它們到各自三角形的邊的距離分別為r1和r2，求r1的值．

r2

【答案】問(wèn)題解決：見(jiàn)解析；類比推理：142S；理解應(yīng)用：

a?b?c?d9【分析】問(wèn)題解決：連接OA、OB、OC，?ABC被劃分為三個(gè)小三角形．利用三角形的面積公式求解即可．

類比推理：已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過(guò)程，r易得．

理解應(yīng)用：上面已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果．但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線，進(jìn)一步易得BD的長(zhǎng)，則r1、r2、r1易得．

r2【詳解】解：?jiǎn)栴}解決：如圖（1），在面積為S的?ABC中，BC?a，AC?b，AB?c，三條角平分線的交點(diǎn)O到三邊的距離為r．連接OA、OB、OC，?ABC被劃分為三個(gè)小三角形．

1111S?S?OBC?S?OAC?S?OAB?BCr?ACr?ABr?(a?b?c)r，

2222?r?2S．

a?b?c類比推理：如圖2中，連接OA、OB、OC、OD，

11111S?S?AOB?S?BOC?S?COD?S?AOD?ar?br?cr?dr?(a?b?c?d)r，

22222?r?2S2S．故答案為：．

a?b?c?da?b?c?dAB//CD，?S?ABD:S?BCD?AB:CD?21:11；

理解應(yīng)用：r1?r2?2S?ABD2S??ABD，

AB?BD?AD542S?CDB2S??CDB，

CD?CB?BD442S?ABDr22S222114?1?54???ABD???．

r22S?BCD27S?CDB2711944【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形面積計(jì)算以及等腰梯形等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用，這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)．

模型4.角平分線定理模型（角平分線分線段成比例（二級(jí)結(jié)論））

【模型解讀與圖示】

條件：已知如圖，AD是①BAC的角平分線，

ABBD

=證明思路：過(guò)點(diǎn)D作DE①AB,DF①AC,再利用等面積的思路，證得：ACCDSABDBDSABDABABBD??簡(jiǎn)證：△，∵DE?DF

∴△∴

=S△ACDCDS△ACDAC

ACCDAA

BDC

BEDFC

1．（2021·黑龍江大慶·中考真題）已知，如圖1，若AD是ABC中?BAC的內(nèi)角平分線，通過(guò)證明可得ABBD=，同理，若AE是ABC中?BAC的外角平分線，通過(guò)探究也有類似的ACCD性質(zhì)．請(qǐng)你根據(jù)上述信息，求解如下問(wèn)題：如圖2，在ABC中，BD?2,CD?3,AD是ABC的內(nèi)角平分線，則ABC的BC邊上的中線長(zhǎng)l的取值范圍是________

【答案】125?l?

22【分析】根據(jù)題意得到AB2=，設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，由三邊關(guān)系可求出kAC3的范圍，反向延長(zhǎng)中線AE至F，使得AE?EF，連接CF，最后根據(jù)三角形三邊關(guān)系解題．

【詳解】如圖，反向延長(zhǎng)中線AE至F，使得AE?EF，連接CF，

BD?2,CD?3,AD是ABC的內(nèi)角平分線，?ABBD2==

ACCD3可設(shè)AB＝2k，AC＝3k，在△ABC中，BC＝5，∴5k＞5，k＜5，∴1＜k＜5，

?BE?EC???AEB??CEF?ABE?FCE?SAS??AB?CF

?AE?EF?由三角形三邊關(guān)系可知，AC?CF?AF?AC?CF

k5k125125?k?AF?5k??AE?∠?l?故答案為：?l?．

222222

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、中線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵． 2．（2022·北京東城·九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．

已知：如圖，∠ABC中， AD是角平分線．

求證：．

證明：過(guò)C作CE∠DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．

∠ AD是角平分線，

∠ ．

．

． ②

又，

． ①

． ③

．

（1）上述證明過(guò)程中，步驟①②③處的理由是什么？（寫(xiě)出兩條即可）

（2）用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，∠ABC中，AD是角平分線，AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，求BD的長(zhǎng)；

（3）我們知道如果兩個(gè)三角形的高相等，那么它們面積的比就等于底的比．請(qǐng)你通過(guò)研究∠ABD和∠ACD面積的比來(lái)證明三角形內(nèi)角平分線定理．

【答案】（1）①平行線的性質(zhì)定理；②等腰三角形的判定定理；③平行線分線段成比例定理；（2）42cm．（3）證明見(jiàn)解析．

11【詳解】試題分析：（1）由比例式ABBD?，想到作平行線，用到了平行線的性質(zhì)定理；AEDC只要證明AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE∠AD，寫(xiě)出比例式用到了平行線分線段成比例定理（推論）；

（2）利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，列出比例式，代入數(shù)據(jù)計(jì)算出結(jié)果．

（3）根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行證明即可．

試題解析：（1）證明過(guò)程中用到的定理有：

①平行線的性質(zhì)定理；

②等腰三角形的判定定理；

③平行線分線段成比例定理；

（2）∠AD是角平分線，

∠BDAB?，

DCACABBD?，ACDC又∠AB=7cm，AC=4cm，BC=6cm，

∠BD7?，

6?BD442（cm）．

11∠BD=（3）∠∠ABD和∠ACD的高相等，

11BD?hAB?hBD2AB2???可得：∠ABD和∠ACD面積的比=，

11DCACDC?hAC?h22可得：BDAB?．

DCAC考點(diǎn)：相似形綜合題．

3．（2022·江西贛州·九年級(jí)期末）定義：有一組對(duì)角互補(bǔ)的四邊形叫做“對(duì)補(bǔ)四邊形”，例如：?A??C?180?，在四邊形ABCD中，或?B??D?180?，則四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．

(1)【概念理解】如圖（1），四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”．

①若?A:?B:?C?3:2:1，則∠D的度數(shù)是_________；

②若?B?90?，且AB?22,AD?2，則CD2?CB2?_______．

1(2)【拓展延伸】如圖（2），四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，當(dāng)AB?CB，且?EBF??ABC2時(shí)，猜測(cè)AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

(3)【類比運(yùn)用】如圖（3），如圖（4），在四邊形ABCD中，AB?CB，BD平分?ADC．

①如圖（3），求證：四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；

②如圖（4），設(shè)AD?a,DC?b，連接AC，當(dāng)?ABC?90?，且【答案】(1)①90?；②4

(2)AE?CF?EF，證明見(jiàn)解析

a1(3)①見(jiàn)解析；②的值是2或2

b∶?B∶?C＝∶∶321，即可求出答案；

【分析】（1）①根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，結(jié)合?AS△ACD4a?時(shí)，求的值．

S△ABC5b②根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可由?B?90?，得出∠D?90?，再運(yùn)用勾股定理即可得出答案；

（2）延長(zhǎng)EA至點(diǎn)K，使得AK?CF，連接BK，依據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，可證明△ABK?△CBF?SAS?，再證明△BEK?△BEF，從而可證得結(jié)論；

（3）①過(guò)點(diǎn)B作BM∠AD于點(diǎn)M，BN∠AC于點(diǎn)N，則?BMA??BNC?90?，可證RRtABM?RtCBN?HL?，進(jìn)而可證得結(jié)論；

②設(shè)AD?a,DC?b，可得AC2?a2?b2，再運(yùn)用面積建立方程求解即可．

（1）解：①∠?A:?B:?C?3:2:1，

設(shè)?A?3x,?B?2x,?C?x，

根據(jù)“對(duì)補(bǔ)四邊形”的定義，

?A??C?180?，

即3x?x?180?，

解得x?45?，

∠?B?2x?90?，

∠?B??D?180?，

∠?D?90?．

故答案為：90?．

②在“對(duì)補(bǔ)四邊形”ABCD中，連續(xù)AC，

∠?B?90?， 則?D?90?，

在RtABC中，BC2?AC2?AB2，

在Rt△ACD中，CD2?AC2?AD2

∠CD?BC?AC?AD??AC?AB222222??AB2?AD?222??2?22?8?4?4，

故答案為：4；

（2）解：AE?CF?EF，理由如下：

延長(zhǎng)EA至點(diǎn)K，使AK?CF，連接BK，

∠四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，

∠?BAD??C?180?，

又∠?BAK??BAD?180?，

∠?BAK??BCD，

又∠AK?CF,AB?CB，

∠△ABK?△CBF?SAS?，

∠?ABK??CBF,BK?BF，

∠?KBF??ABC，

1∠?EBF??ABC，

21∠?EBF??KBF，

2∠?EBK??EBF，

∠BK?BF，BE?BE，

∠△BEK?△BEF?SAS?，

∠EK?EF，

∠AE?CF?AE?AK?EK?EF；

①證明：

BN?DC，（3）過(guò)點(diǎn)B作BM?AD，垂足為M，垂足為N，則?BMA??BNC?90?，∠BD平分?ADC，

∠BM?BN， 又∠AB?CD，

∠RtABM?RtCBN?HL?，

∠?BAM??C，

∠?BAM??BAD?180?，

∠?C??BAD?180?，即?BAD與?C互補(bǔ)，

∠四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”；

②由①知四邊形ABCD是“對(duì)補(bǔ)四邊形”，

∠?ABC??ADC?180?，

∠?ABC?90?，

∠?ADC?90?，

∠AD?a,DC?b，則AC2?AD2?CD2?a2?b2，

∠AB?BC，

22∠AB?BC?11AC2??a2?b2?，

22∠S△ABC?∠11111AB?CB?AB2??a2?b2?，S△ACD?AD?CD?ab，

22422S△ACD4?，

S△ABC5∠122(a?b)41ab2?4a2a，即：2()?5()?2?0，

5bb解得：aa1?2或?，

bb2a1∠的值是2或2．

b【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，四邊形內(nèi)角和，全等三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理和全等三角形判定和性質(zhì)，準(zhǔn)確理解并能夠應(yīng)用新定義“對(duì)補(bǔ)四邊形”解決問(wèn)題．

4．（2022·廣西·九年級(jí)專題練習(xí)）問(wèn)題背景：

一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)結(jié)論．如圖1，已知AD是∠ABC的角平分線，可證ABBD＝．小慧的證明思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CE∠AB，ACCDABBD＝．

ACCD交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明

(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明ABBD＝；

ACCD(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在Rt∠ABC中，∠BAC＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)．連接AD，將∠ACD沿AD所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊AB上的E點(diǎn)處．

①若AC＝1，AB＝2，求DE的長(zhǎng)；

②若BC＝m，∠AED＝?，求DE的長(zhǎng)（用含m，?的式子表示）．

【答案】(1)詳見(jiàn)解析

(2)①DE=

【分析】（1）利用AB∠CE，可證得ABDAC=EC，即可證得結(jié)果；

（2）利用（1）中的結(jié)論進(jìn)行求解表示即可．

(1)

解：∠AB∠CE，

∠∠BAD=∠DEC，

∠AD平分∠BAC，

∠∠BAD=∠CAD，

∠∠CAD=∠DEC，

∠AC=EC，

∠∠BDA=∠CDE，

ECD，即m5

；②DE?tan??13ABCE?，由AD平分∠BAC，可知BDCD∠ABD∠ECD，

ABCE?，

BDCDABAC?，

BDCD即∠ABBD?；

ACCD(2)

①由折疊可知，AD平分∠BAC，CD=DE，

由（1）得，ABBD?，

ACCD∠AC＝1，AB＝2，

∠BC?AC2?AB2?12?22?5，

∠25?CD，

?1CD5，

35；

3解得：CD=∠DE=

CD=②由折疊可知∠AED＝∠C=?，

∠tan??AB，

ACABBDm?CD??，

ACCDCD由①可知∠tan??∠CD?m?CD，

CDmtan??1，

mtan??1即：DE?CD?．

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是相似三角形的綜合運(yùn)用，靈活轉(zhuǎn)化比例關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

課后專項(xiàng)訓(xùn)練

1．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)石門(mén)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）如圖，Rt∠ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，若AB＝12，CD＝3，則∠DBE的面積為（

）

A．10

【答案】C

【分析】如圖：過(guò)D作DF∠AB于F,然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DF=CD=3,然后再根據(jù)中點(diǎn)的定義求得BE的長(zhǎng)，最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．

【詳解】解：如圖：過(guò)D作DF∠AB于F,

∠∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，∠DF=CD=3

∠點(diǎn)E為1AB的中點(diǎn)， AB＝12∠BE=2B．12 C．9 D．6

AB=6

11∠∠DBE的面積為BEDF??6?3?9

．故選：C．

22 【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線定理、中點(diǎn)的定義、三角形的高等知識(shí)點(diǎn)，作出∠DBE的高并運(yùn)用角平分線定理求出成為解答本題的關(guān)鍵．

2．（2022·山東棗莊·二模）如圖，AI、BI、CI分別平分?BAC、?ABC、?ACB，ID?BC，ABC的周長(zhǎng)為18，ID?3，則ABC的面積為（

）

A．18

【答案】D

IF∠AC于點(diǎn)F，【分析】過(guò)I點(diǎn)作IE∠AB于點(diǎn)E，如圖，利用角平分線的性質(zhì)得到IE=IF=ID=3，然后根據(jù)三角形面積公式得到S△ABC?S△IAB?S△IBC?S△IAC，據(jù)此即可求得．

【詳解】解：過(guò)I點(diǎn)作IE∠AB于點(diǎn)E，IF∠AC于點(diǎn)F，如圖，

B．30 C．24 D．27

∠AI，BI，CI分別平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，∠IE=IF=ID=3，

11133∠S△ABC?S△IAB?S△IBC?S△IAC

??AB?3??BC?3??AC?3?(AB?BC?AC)??18

22222?27

故選：D．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形的面積．

3．（2022·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，∠ABC外的一點(diǎn)P到三邊所在直線的距離相等，若∠BAC＝80°，則∠CPB＝___°． 【答案】40

【分析】如圖所示，由∠ABC外的一點(diǎn)P到三邊所在直線的距離相等，可以推出BP和PC11?ACP??DCP??ACD，分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，則?ABP??CBP??ABC，22由三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB?180?∠A?∠ABC=100?2∠CBP，從而可得1?DCP??ACD=40?∠CBP，再由三角形外角的性質(zhì)可得?CBP??CPB??DCP，由此2即可得到答案．

【詳解】解：∠∠ABC外的一點(diǎn)P到三邊所在直線的距離相等，

∠BP和PC分別是∠ABC和∠ACD的角平分線，

11∠?ABP??CBP??ABC，?ACP??DCP??ACD，

22∠∠ACB?180?∠A?∠ABC=100?2∠CBP，

∠∠ACB?∠ACD=180，∠∠ACD=180?∠ACB=80?∠CBP

1∠?DCP??ACD=40?∠CBP，

2∠?CBP??CPB??DCP，∠?CPB=40，故答案為：40．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握角平分線的性質(zhì)．

4．（2022·山東濟(jì)寧·二模）如圖，BE是?ABD的平分線，CF是?ACD的平分線，BE與CF交于G，若?BDC?140?，?BGC?110?，則?A?________． 【答案】80?

【分析】首先連接BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出?1??2?40?，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判斷出?3??4?30?，再根據(jù)BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，判斷出?5??6?30?；最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，用180??(?1??2??3??4??5??6)即可求出∠A的度數(shù).

【詳解】如下圖所示，連接BC，

∠?BDC?140?，∠?1??2?180??140??40?，

∠?BGC?110?，∠?1??2??3??4?180??110??70?，

∠?3??4?70??40??30?，

∠BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，

∠∠3=∠5，∠4=∠6，

又∠?3??4?30?，∠?5??6?30?，

∠?1??2??3??4??5??6?(?1??2??3??4)?(?5??6)?70??30??100?，

∠?A?180??100??80?.故答案為：80?.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)角度的和差計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

5．（2022·蘇州九年級(jí)期中）如圖，在ABC中，?F?16?，BD、CD分別平分?ABC、?ACB，M、N、Q分別在DB、DC、BC的延長(zhǎng)線上，CE分別平分?MBC、?BCN，BE、BF、CF分別平分?EBC、?ECQ，則?A?_______． 【答案】52°

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義可求出∠E，利用三角形內(nèi)角和求出?5??6??1，得到?MBC??NCB，從而求出?DBC??DCB，再次利用角平分線的定義和三角形內(nèi)角和得到∠A．

【詳解】解：BF、CF分別平分?EBC、?ECQ，??5??6，?2??3??4，

?3??4??5??F，?2??3??4??5??6??E，

即?2??5??F，2?2?2?5??E，?2?F??E?32?，

BE、CE分別平分?MBC、?BCN，

111??5??6??MBC，?1??NCB，??5??6??1?(?MBC??NCB)，

222?E?180??(?5??6??1)?32?，∴?5??6??1?148?，

∴?MBC??NCB?2??5??6??1??296?，

BD、CD分別平分?ABC、?ACB，

??DBC?11?ABC，?DCB??ACB，

22∴?DBC??DCB?180???MBC?180???NCB?360????MBC??NCB?=64?，

??A?180????ABC??ACB??180??2??DBC??DCB??52?，故答案為：52°．

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題． 6.（2020·山東九年級(jí)期中）如圖、∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的外角∠ACG的平分線CF相交于點(diǎn)F.過(guò)F作DF∥BC，交AB于D,交AC于E，若BD＝8，DE＝3，則CE的長(zhǎng)度為_(kāi)_______；

【答案】5

【分析】根據(jù)角平分線和平行線的性質(zhì)可得?ABF??BFD,?ACF??EFC，由等角對(duì)等邊可得BD?DF,CE?EF，所以CE?EF?DF?DE?5.

【詳解】解： BF平分∠ABC，CF平分∠ACG.

??ABF??CBF,?ACF?FCG

DFBC

??CBF??BFD,?GCF??EFC

??ABF??BFD,?ACF??EFC?BD?DF,CE?EF

?CE?EF?DF?DE?BD?DE?8?3?5故答案為：5

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，靈活利用角平分線及平行線的性質(zhì)判證明角相等是解題的關(guān)鍵.

7．（2021·福建中考真題）如圖，AD是ABC的角平分線．若?B?90?,BD?點(diǎn)D到AC的距離是_________．

3，則

【答案】3

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，即可求得．

【詳解】如圖，過(guò)D作DE?AC，則D到AC的距離為DE AD平分?CAB，?B?90?,BD?3，?DE?BD?3

?點(diǎn)D到AC的距離為3．故答案為3．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)，理解點(diǎn)到直線的距離的定義，熟知角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．

8．（2022·北京·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，∠ABC中，∠A=70°， BD、CE為角平分線，則∠BOC=______°

【答案】125

【分析】先用角平分線的性質(zhì)求出∠2+∠4的度數(shù)，再由三角形的內(nèi)角和定理便可求出∠BOC的度數(shù)．

【詳解】解：∠∠ABC和∠ACB的平分線BD、CE相交于點(diǎn)O，∠∠1=∠2，∠3=∠4，

∠∠2+∠4=2（180°-∠A）=2（180°-70°）=55°，

∠∠BOC=180°-（∠2+∠4）=180°-55°=125°．故答案為：125．

11

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．

9．（2021·湖北荊門(mén)市·八年級(jí)期末）如圖，在ABC中，?ABC和?ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EF//BC交AB于E，交AC于F，過(guò)點(diǎn)O作OD?AC于D，下列結(jié)論：①?BOC?90??1?A：②點(diǎn)O到ABC各邊的距離相等；③EF?BE?CF：④21AD?(AB?AC?BC)；⑤設(shè)OD?m，AE?AF?n，則S△AEF?mn；其中正確的2結(jié)論是______．

【答案】①②③④

【分析】由∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，可得11?OBC??ABC,?OCB??ACB,結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可得221?OBC??OCB?90???A,再次利用內(nèi)角和定理可判斷①，如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB2于M，作ON⊥BC于N，結(jié)合OD?AC,

利用角平分線的性質(zhì)可判斷②，利用平行線的性質(zhì)與角平分線的定義證明BE?OE,CF?OF可判斷③，如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，證明BNO≌BMO,

可得BN?BM,

同理可得：AM?AD,CD?CN,

從而可判斷④，如圖2，由SAEF?SAOE?SAOF?11AEOM?AFOD，結(jié)合OM?OD?m,AE?AF?n,

從22而可判斷⑤．

【詳解】解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

11??OBC??ABC,?OCB??ACB,

22∴?OBC??OCB??ABC??ACB?180???A,

111??ABC??ACB???180???A??90???A,

222??11??A??90???A,故①符合題22?∴?BOC?180????OBC??OCB??180???90??意；

如圖1，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N， ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，?OM?ON,ON?OD,

?OM?ON?OD,

故②符合題意；

∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，

∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，

∵EF//BC，

∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，

∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，

∴BE=OE，CF=OF，

∴EF=OE+OF=BE+CF，

故③符合題意；

如圖2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，連接OA，??BNO??BMO?90?,

OB平分?ABC,

??MBO??NBO,

?BN?BM,

同理可得：AM?AD,CD?CN,

BO?BO,

?BNO≌BMO?AAS?,

??11?AB?AC?BC???AM?BM?AD?CD?BN?CN?

2211AM?AD????2AD?AD,

故④符合題意，如圖2，由②得：ON=OD=OM=m，

22AEF∴S?SAOE?SAOF?111AEOM?AFOD?m?AE?AF?,

2221?mn,

故⑤不符合題意．

故答案為：①②③④．

2

AE?AF?n，?SAEF【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的定義與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．

10．（2022·北京市宣武外國(guó)語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)期中）請(qǐng)閱讀下面材料，并回答所提出的問(wèn)題．

三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分對(duì)邊所得的兩條線段和這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．

已知：如圖，∠ABC中，AD是角平分線． 求證：ABBD?．

ACDC證明：過(guò)C作CE∠DA，交BA的延長(zhǎng)線于E．

∠∠1＝∠E，∠2＝∠3．

∠AD是角平分線，

∠∠1＝∠2．

∠∠3＝∠E．

∠AC＝AE．

又∠CE∠DA，

∠∠ABBD?．……①

AEDCABBD?．

ACDC(1)上述證明過(guò)程中，步驟①處的理由是_____

(2)用三角形內(nèi)角平分線定理解答：已知，∠ABC中，AD是角平分線，AB＝7cm，AC＝4cm，BC＝6cm，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)____cm．

【答案】

平行線分線段成比例定理

42

11【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理解決問(wèn)題即可．

（2）設(shè)BD＝xcm，則CD＝（6﹣x）cm，利用（1）中結(jié)論解決問(wèn)題即可．

【詳解】(1)①的理由是：平行線分線段成比例定理．

(2)設(shè)BD＝xcm，則CD＝(6﹣x)cm，

7∠AD平分∠ABC，∠AB＝BD，∠＝x，解得x＝42，∠BD＝42cm，

111146?xACCD故答案是：平行線分線段成比例定理，42．

11【點(diǎn)睛】考查平行線分線段成比例定理和用分式方程解決問(wèn)題，解題關(guān)鍵是正確理解題意，利用分式方程解決問(wèn)題．

11．（2022湖北中考模擬）如圖，已知∠ABC的周長(zhǎng)是21，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD∠BC于D，且OD＝4，∠ABC的面積是_____．

【答案】42

【分析】先連接AO，把∠ABC變成三個(gè)小的三角形，根據(jù)等高計(jì)算即可．

【詳解】解：連接AO，可知AO平分∠BAC，由角平分線的性質(zhì)可知

點(diǎn)O到AB、AC、BC的距離相等，

把求∠ABC的面積轉(zhuǎn)化為求∠AOB、∠AOC、∠BOC的面積之和，

1即(AB?AC?BC)?OD?42

2

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)．

12．（2022·云南昆明八年級(jí)期末）（1）如圖 1，在△ABC

中，∠ABC

的平分線 BF

交 AC

于

F，

過(guò)點(diǎn) F

作 DF∥BC，

求證：BD=DF．（2）如圖 2，在△ABC

中，∠ABC

的平分線 BF

與∠ACB

的平分線 CF

相交于 F，過(guò)點(diǎn) F

作 DE∥BC，交直線 AB

于點(diǎn) D，交直線 AC

于點(diǎn)

E．那么 BD，CE，DE

之間存在什么關(guān)系？并證明這種關(guān)系．（3）如圖 3，在△ABC

中，∠ABC

的平分線 BF

與∠ACB

的外角平分線 CF

相交于 F，過(guò)點(diǎn) F

作 DE∥BC，交直線 AB

于點(diǎn)D，交直線 AC

于點(diǎn) E．那么 BD，CE，DE

之間存在什么關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想．（不需證明） 【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）BD+CE＝DE，證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（3）BD﹣CE＝DE，證明過(guò)程見(jiàn)詳解

【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義得出∠DFB＝∠CBF，∠ABF＝∠CBF，推出∠DFB＝∠DBF，根據(jù)等角對(duì)等邊推出即可；（2）與（1）證明過(guò)程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結(jié)論；

（3）與（1）證明過(guò)程類似，求出BD＝DF，EF＝CE，即可得出結(jié)論．

【詳解】解：（1）∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；

（2）BD+CE＝DE，理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；

同理可證：CE＝EF，∵DE＝DF+EF，∴BD+CE＝DE；

（3）BD﹣CE＝DE．理由是：∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，

∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∴∠DFB＝∠DBF，∴BD＝DF；

同理可證：CE＝EF，∵DE＝DF﹣EF，∴BD﹣CE＝DE．

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，本題具有一定的代表性，三個(gè)問(wèn)題證明過(guò)程類似．

13．（2022·江陰市學(xué)九年級(jí)月考）如圖，△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線交于O點(diǎn)，過(guò)O點(diǎn)作EF∥BC交AB，AC于E，F(xiàn)．（1）如圖①，當(dāng)AB=AC時(shí)圖中有

個(gè)等腰三角形．（2）如圖②，寫(xiě)出EF與BE、CF之間關(guān)系式，并說(shuō)明理由．（3）如圖③，若△ABC中∠ABC的平分線BO與三角形外角平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．EF與BE、CF關(guān)系又如何?說(shuō)明你的理由．

【答案】（1）5；（2）EF=BE+CF，理由見(jiàn)解析；（3）EF=BE-CF，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形；

（2）由EF∥BC，可得∠2=∠3，又∠1=∠2，根據(jù)等量代換得到∠1=∠3，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE+CF；

（3）由于OE∥BC，可得∠5=∠6，又∠4=∠5，根據(jù)等量代換得到∠4=∠6，所以O(shè)E=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，繼而可證得EF=BE-CF．

【詳解】解：（1）當(dāng)AB=AC時(shí)，圖中有5個(gè)等腰三角形．如圖1，由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB，

又∵OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，∴∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB，

根據(jù)EF∥BC，可得∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO，

由此可得出△ABC，△OBC，△EBO，△CFO，△AEF都是等腰三角形．故答案為：5；

（2）關(guān)系式：EF=BE+CF如圖，∵EF∥BC，∴∠2=∠3，

又∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴OE=BE，在△CFO中，同理可證OF=CF，

∵EF=EO+FO，∴EF=BE+CF；

（3）關(guān)系式：EF=BE-CF如圖，∵OE∥BC，∴∠5=∠6，

又∠4=∠5，∴∠4=∠6，∴OE=BE，

在△CFO中，同理可證OF=CF，∵EF=EO-FO，∴EF=BE-CF．

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)．解題時(shí)注意：等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．

14．（2022·江西·九年級(jí)期中）如圖，在ABC中，已知：AB?10,AC?8,AD是它的角平分線，DE?AC且DE?4．（1）求ABC的面積；（2）在解完（1）問(wèn)后，小智經(jīng)過(guò)S△ABDABABBD??反思后發(fā)現(xiàn)，小慧發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)判斷小智和小慧的發(fā)現(xiàn)是否正確?若正S△ACDACACCD確，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程，若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）36，（2）都正確，證明見(jiàn)詳解

AD是它的角平分線，DE?AC利用角平分線性質(zhì)

有【分析】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，DF=DE，分別求S△ABD和S△ACD，則S△ABC= S△ABD+ S△ACD計(jì)算即可

DF⊥AB，（2）都正確 AD是它的角平分線，則DE=DF，由（1）知S△ABD=DE?AC，S△ACD=1ABDF，21ACDE，求兩個(gè)三角形面積之比，

211BDAG，S?ACD=DCAG，再求求兩個(gè)三角形面積之比即可．

22過(guò)A作AG⊥BC于G，AG是△ABD的高，也是△ACD的高，分別求出利用高表示的三角形的面積S?ABD=【詳解】（1）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于F，AD是它的角平分線，DE?AC，DF=DE=4，

S△ABD=1111ABDF=?10?4=20，S△ACD=ACDE=?8?4=16，S△ABC= S△ABD+

2222S△ACD=20+16=36，

（2）都正確，

AD是它的角平分線，DE?AC，DF⊥AB，則DE=DF，

S△ABD=S111ABDF，S△ACD=ACDE=ACDF，△ABDS△ACD2221ABDFAB?2?，

1ACDEAC2過(guò)A作AG⊥BC于G，S?ABD=11BDAG，S?ACD=DCAG，

22S△ABDS△ACD11BDAGBDS△ABD2ABDFABS△ABDABBD2?==?=??，由，，

11SACDCDCSAC△ACD△ACDDCAGACDE22小智和小慧的發(fā)現(xiàn)都正確．

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積與角平分線定理，掌握三角形的面積與角平分線定理，會(huì)求三角形的面積，會(huì)用面積證明角分線分得的兩線段的比是解題關(guān)鍵．

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