九年級圓的認識

2024年1月4日發(fā)(作者：寫小狗的作文)

9、圓的定義

1、圓的表示方法：圓是平面上到 的距離等于 的所有點組成的集合。

以O為圓心的圓，記作“______”，讀作“________”。

思考：“畫圓需要幾個條件，如何畫圓”（圓心和半徑；圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小）

2、在平面內，點與圓有哪幾種位置關系？

如果⊙O的半徑為r，點P到圓心O的距離為d，那么

點P在圓內?____________； 點P在圓上?____________； 點P在圓外?____________。

逆命題是否成立？

符號“?”讀作“等價于”，表示從左端可以推出右端，從右端可以推出左端。

3. 證明n點（n≥4）共圓的方法：找一個點O使得這n點到點O的距離相等，則這n點在以點O為圓心的圓上。

典型例題

例1：4．已知⊙O的半徑為5cm．

(1)若OP＝3cm，那么點P與⊙O的位置關系是：點P在⊙O__________；

(2)若OQ＝5cm，那么點Q與⊙O的位置關系是：點Q在⊙O__________；

(3)若OR＝7cm，那么點R與⊙O的位置關系是：點R在⊙O__________；

例3．已知：如圖，矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm．若以A為圓心作圓，使B、C、D三點中至少有一點在圓內，且至少有一點在圓外，則⊙A的半徑r的取值范圍是__________________．

強化練習

1．已知⊙O的直徑為8cm，如果點P到圓心O的距離為4.5cm，那么點P與⊙O有怎樣的位置關系？如果點P到圓心O的距離為4cm、3cm呢？

2．已知：如圖，BD、CE是△ABC的高，M為BC的中點．試說明點B、C、D、E在以點M為圓心的同一圓上．

C

·

M

B

E

A

F

二、圓的對稱性

（一）圓心角、弧、弦之間的關系：

1、在______________中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等。

2、在______________中，如果兩個圓心角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其

余各組量都分別相等。

注意：⑴不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，否則，丟掉這個前提，雖然圓心角相等，但所對的弧、弦、弦心距不一定相等．

(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．

(3)要結合圖形深刻體會圓心角、弧、弦、弦心距這四個概念和“所對”一詞的含義．否則易錯用此關系．

(4)在具體應用上述定理解決問題時，可根據(jù)需要，擇其有關部分．如“在同圓中，等弧所對的圓心角相等”“在等圓中，弦心距相等的弦相等”等等．

3、在圓心角、弧、弦這三個量中，角的大小可以用度數(shù)刻畫，弦的大小可以用長度刻畫，那么如何來

刻畫弧的大小呢？

弧的大小：圓心角的度數(shù)與它所對的弧的度數(shù)相等。

典型例題

例1. （2007?無錫）下列結論正確的是（ ）

A．長度相等的兩條弧是等弧 B．半圓是弧

C.等弧所對的弦 D．弧是半圓

練.下列語句中不正確的有（ ）

①相等的圓心角所對的弧相等； ②平分弦的直徑垂直于弦；

③圓是軸對稱圖形，任何一條直徑都是它的對稱軸； ④半圓是弧．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

例2.一點和⊙O上的最近點距離為4cm，最遠距離為9cm，則這圓的半徑是 cm．

練.⊙O的半徑為5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，則AB和CD的距離為____________

例3、如圖，AB、AC、BC都是⊙O的弦，∠AOC=∠BOC∠ABC與∠BAC相等嗎？為什么？

ACBO強化練習

1、畫一個圓和圓的一些弦，使得所畫圖形滿足下列條件：

（1）是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形； （2）既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形。

2、 一條弦把圓分成1：3兩部分，則劣弧所對的圓心角為________。

3、 ⊙O中，直徑AB∥CD弦，AC度數(shù)?60?，則∠BOD=_____ 。

?

4、在⊙O中，弦AB的長恰好等于半徑，弦AB所對的圓心角為 。

（二）圓的對稱性

1、圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任意一條直線都是它的對稱軸。

判斷下列圖形是否具有對稱性？如果是中心對稱圖形，指出它的對稱中心；如果是軸對稱圖形，指出它

的對稱軸。

ADOCCACDCOOABOOBDBAB2、垂徑定理

①垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的弧；

②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧；

③弦的中垂線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的弧；

④平分弦所對的弧的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的另一條弧

3、注意：①條件中的“弦”可以是直徑； ②結論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弧。

典型例題

例1、如圖，以O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C、D，AC與BD相等嗎？為什么？

例2、如圖，已知：在⊙O中，弦AB的長為8，圓心O到AB的距離為3。

⑴求的半徑； ⑵若點P是AB上的一動點，試求OP的范圍。

APOBOACDB

例3. 一跨河橋，橋拱是圓弧形，跨度(AB)為16米，拱高(CD)為4米，求：

⑴橋拱半徑 ⑵若大雨過后，橋下河面寬度(EF)為12米，求水面漲高了多少？

A

C

M

D

O

F

B

例4. △ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°，以點C為圓心，CA為半徑的圓與AB交于點D，求AD的長．

【分析】圓中有關弦的計算問題通常利用垂徑定理構造直角三角形求解。

【說明】解決與弦有關的問題，往往需要構造垂徑定理的基本圖形——由半徑、弦心距、弦的一半構成的直角三角形，它是解決此類問題的關鍵．定理的應用必須與所對應的基本圖形相結合，同學們在復習時要特別注重基本圖形的掌握．

練：如圖2，半圓的直徑AB?10，點C在半圓上，BC?6．

（1）求弦AC的長；

（2）若P為AB的中點，PE⊥AB交AC于點E，求PE的長．

A

P

（圖2）

B

C

E

強化練習

1、如圖,在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB，垂足為M．則有AM=_____， _____=

DACMOBA，___= ．

OPCOPBD

T1 T2 T3

2.過⊙O內一點P作一條弦AB，使P為AB的中點.

3.⊙O中，直徑AB ⊥弦CD于點P ，AB=10cm,CD=8cm，則OP的長為 CM.

4．（2011?揚州）⊙0的直徑AB=40，弦CD⊥AB于點E，且CD=32，則AE的長為（ ）

A．12 B．8 C．12或28 D．8或32

5．一條弦把圓分成1：3兩部分，則弦所對的圓心角為________．

6、如圖，在半徑為2cm的圓O內有長為23cm的弦AB，則此弦所對的圓心角∠AOB為

ABO

7.如圖，點A、B、C在⊙O上，點D在⊙O內，點A與點D在點B、C所在直線的同側，比較∠BAC與

∠BDC的大小，并說明理由．

8、如圖，以點O為圓心的兩個同心圓中，矩形ABCD的邊BC為大圓的弦，邊AD與小圓相切于點M，

OM的延長線與BC相交于點N．

（1）點N是線段BC的中點嗎？為什么？

（2）若圓環(huán)的寬度（兩圓半徑之差）為6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圓的半徑．

9、如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上的兩點，且AC=CD．

（1）求證：OC∥BD；

（2）若BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，試確定四邊形OBDC的形狀．

9、AB是⊙O的直徑，點E是半圓上一動點（點E與點A、B都不重合），點C是BE延長線上的一點，且CD⊥AB，垂足為D，CD與AE交于點H，點H與點A不重合。

（1）求證：△AHD∽△CBD

（2）連HB，若CD=AB=2，求HD+HO的值。

10、如圖，已知AB是⊙O的直徑，EO⊥AB，AE交⊙O于點C，BC交EO于點F

求證：①BO·EF＝EC·BF ②2AO2＝AC·AE