圓的認(rèn)識知識點(diǎn)總結(jié)

2024年1月4日發(fā)(作者：我要找到朗朗)

圓的認(rèn)識知識點(diǎn)總結(jié)

圓的定義：

圓是一種幾何圖形..當(dāng)一條線段繞著它的一個端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時;它的另一個端點(diǎn)的軌跡叫做圓..

在一個個平面內(nèi);線段OA繞它固定的一個端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周;另一個端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓;固定的端點(diǎn)O叫做圓心;線段OA叫做半徑..

相關(guān)定義:

1 在同一平面內(nèi);到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓..這個定點(diǎn)叫做圓的圓心..圖形一周的長度;就是圓的周長..

2 連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線段叫做半徑;字母表示為r..

3 通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑;字母表示為d..直徑所在的直線是圓的對稱軸..

4 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦..最長的弦是直徑;直徑是過圓心的弦..

5 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧;簡稱弧..大于半圓的弧稱為優(yōu)弧;優(yōu)弧是用三個字母表示..小于半圓的弧稱為劣弧;劣弧用兩個字母表示..半圓既不是優(yōu)弧;也不是劣弧..優(yōu)弧是大于180度的弧;劣弧是小于180度的弧..

6 由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形..

7 由弦和它所對的一段弧圍成的圖形叫做弓形..

8 頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角..

9 頂點(diǎn)在圓周上;且它的兩邊分別與圓有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角..

10 圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率..它是一個無限不循環(huán)小數(shù);通常用π表示;π……在實(shí)際應(yīng)用中;一般取π≈3.14..

11圓周角等于相同弧所對的圓心角的一半..

12 圓是一個正n邊形n為無限大的正整數(shù);邊長無限接近0但不等于0..

圓的集合定義：

圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合;其中定點(diǎn)是圓心;定長是半徑..

圓的字母表示：

以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”;讀作O”..

圓—⊙ ；

半徑—r或R在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母；

弧—⌒ ；

直徑—d ；

扇形弧長—L ；

周長—C ；

面積—S..

圓的性質(zhì):

1圓是軸對稱圖形;其對稱軸是任意一條通過圓心的直線..

圓也是中心對稱圖形;其對稱中心是圓心..

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦;并且平分弦所對的2條弧..

逆定理：平分弦不是直徑的直徑垂直于弦;并且平分弦所對的2條弧..

2有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理

① 在同圓或等圓中;如果兩個圓心角;兩個圓周角;兩組弧;兩條弦;兩條弦心距中有一組量相等;那么他們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等..

②在同圓或等圓中;相等的弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半圓周角與圓心角在弦的同側(cè)..

直徑所對的圓周角是直角..90度的圓周角所對的弦是直徑..

圓心角計(jì)算公式： θ=L/2πr×360°=180°L/πr=L/r弧度..

即圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)；圓周角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)的一半..

③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍;那么其所對的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍..

3有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓..外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn);到三角形三個頂點(diǎn)距離相等；

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn);到三角形三邊距離相等..

③R=2S△÷LR：內(nèi)切圓半徑;S：三角形面積;L：三角形周長..

④兩相切圓的連心線過切點(diǎn)..連心線：兩個圓心相連的直線

⑤圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M;過點(diǎn)M任作兩弦AB;CD;弦AD與BC分別交PQ于X;Y;則M為XY之中點(diǎn)..

4如果兩圓相交;那么連接兩圓圓心的線段直線也可垂直平分公共弦..

5弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半..

6圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個角所對的弧的度數(shù)之和的一半..

7圓外角的度數(shù)等于這個角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半..

8周長相等;圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大..

點(diǎn)、線、圓與圓的位置關(guān)系：

點(diǎn)和圓位置關(guān)系

①P在圓O外;則 PO>r..

②P在圓O上;則 PO=r..

③P在圓O內(nèi);則 0≤PO

反過來也是如此..

直線和圓位置關(guān)系

①直線和圓無公共點(diǎn);稱相離.. AB與圓O相離;d>r..

②直線和圓有兩個公共點(diǎn);稱相交;這條直線叫做圓的割線..AB與⊙O相交;d

③直線和圓有且只有一公共點(diǎn);稱相切;這條直線叫做圓的切線;這個唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)..AB與⊙O相切;d=r..d為圓心到直線的距離

圓和圓位置關(guān)系

①無公共點(diǎn);一圓在另一圓之外叫外離;在之內(nèi)叫內(nèi)含..

②有唯一公共點(diǎn)的;一圓在另一圓之外叫外切;在之內(nèi)叫內(nèi)切..

③有兩個公共點(diǎn)的叫相交..兩圓圓心之間的距離叫做圓心距..

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r;且R〉r;圓心距為P;則結(jié)論：外離P>R+r；外切P=R+r；內(nèi)含P

內(nèi)切P=R-r；相交R-r

圓的計(jì)算公式:

1.圓的周長C=2πr=或C=πd

2.圓的面積S=πr2

3.扇形弧長L=圓心角弧度制× r = n°πr/180°n為圓心角

4.扇形面積S=nπ r2/360=Lr/2L為扇形的弧長

5.圓的直徑 d=2r

6.圓錐側(cè)面積 S=πrll為母線長

7.圓錐底面半徑 r=n°/360°LL為母線長r為底面半徑

圓的方程:

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中;以點(diǎn)Oa;b為圓心;以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x-a2+y-b2=r2..

特別地;以原點(diǎn)為圓心;半徑為rr>0的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2..

2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為x+D/22+y+E/22=D2+E2-4F/4.故有：

①當(dāng)D2+E2-4F>0時;方程表示以-D/2;-E/2為圓心;以√D2+E2-4F/2為半徑的圓；

②當(dāng)D2+E2-4F=0時;方程表示一個點(diǎn)-D/2;-E/2；

③當(dāng)D2+E2-4F<0時;方程不表示任何圖形..

3、圓的參數(shù)方程：以點(diǎn)Oa;b為圓心;以r為半徑的圓的參數(shù)方程是

x=a+rcosθ; y=b+rsinθ; 其中θ為參數(shù)

圓的端點(diǎn)式：若已知兩點(diǎn)Aa1;b1;Ba2;b2;則以線段AB為直徑的圓的方程為 x-a1x-a2+y-b1y-b2=0

圓的離心率e=0;在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r..

經(jīng)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)Ma0;b0的切線方程為 a0·x+b0·y=r2

在圓x2+y2=r2外一點(diǎn)Ma0;b0引該圓的兩條切線;且兩切點(diǎn)為A;B;則A;B兩點(diǎn)所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2..

圓的歷史:

圓形;是一個看來簡單;實(shí)際上是十分奇妙的形狀..古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的..在一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔;那些孔有的就很圓..到了陶器時代;許多陶器都是圓的..圓的陶器是將泥土放在一個轉(zhuǎn)盤上制成的..當(dāng)人們開始紡線;又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘..古代人還發(fā)現(xiàn)搬運(yùn)圓的木頭時滾著走比較省勁..后來他們在搬運(yùn)重物的時候;就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走;這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多..

約在6000年前;美索不達(dá)米亞人;做出了世界上第一個輪子——圓型的木盤..大約在4000多年前;人們將圓的木盤固定在木架下;這就成了最初的車子..

會作圓;但不一定就懂得圓的性質(zhì)..古代埃及人就認(rèn)為：圓;是神賜給人的神圣圖形..一直到兩千多年前我國的墨子約公元前468-前376年才給圓下了一個定義：圓;一中同長也..意思是說：圓有一個圓心;

圓心到圓周的長都相等..這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得約公元前330-前275年給圓下定義要早100年..

任意一個圓的周長與它直徑的比值是一個固定的數(shù);我們把它叫做圓周率;用字母π表示..它是一個無限不循環(huán)小數(shù);π……但在實(shí)際運(yùn)用中一般只取它的近似值;即π≈3.14.如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr.周髀算經(jīng)上說"周三徑一";把圓周率看成3;但是這只是一個近似值..美索不達(dá)來亞人在作第一個輪子的時候;也只知道圓周率是3..魏晉時期的劉徽于公元263年給九章算術(shù)作注時;發(fā)現(xiàn)"周三徑一"只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值..他創(chuàng)立了割圓術(shù);認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無限增加時;周長就越逼近圓周長..他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率;π= 3927/1250..劉徽把極限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題之中;這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就..祖沖之公元429-500年在前人的計(jì)算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算;求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間;是世界上最早的七位小數(shù)精確值;他還用兩個分?jǐn)?shù)值來表示圓周率：22/7稱為約率;355/113稱為密率.. 在歐洲;直到1000年后的十六世紀(jì);德國人鄂圖公元1573年和安托尼茲才得到這個數(shù)值..現(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī);圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后六十萬億位小數(shù)了..