中考專題--利用函數與不等式解方案設計與決策型問題

2024年1月10日發(作者：了解的近義詞)

利用函數與不等式解方案設計與決策型問題

一、從一道例題的解答看方案設計與決策型問題

引例：恩發建筑公司從上海某廠購得挖機4臺，從北京某廠購得挖機10臺。現在決定運往重慶分公司8臺，其余都運往漢口分公司；從上海運往漢口、重慶的運費分別是300元/臺、500元/臺，從北京運往漢口、重慶的運費分別是400元/臺、800元/臺 。

（1）若總運費為8400元，上海運往漢口應多少臺？

解:(1）設上海運往漢口應x臺，則

400(6-x)+ 300x + 800(x+4) + 500(4-x) = 8400

解得:x=4因此，若總運費為8400元， 上海運往漢口應4臺。

（2）若總運費少于8400元，有哪幾種調運方案？

解:（2）由題意知：

200x+7600＜8400

解得:x ＜ 4

∵x為非負整數∴x=0、1、2或3

∴若要求總運費不超過 8400元，共有4種調運方案。如下表：

上海到漢口上海到重慶北京到漢口北京到重慶（臺） （臺） （臺） （臺）

方案一 0 4 6 4

方案二 1 3 5 5

方案三 2 2 4 6

方案四 3 1 3 7

（3）求出總運費最低的調運方案，總運費是多少？

設總運費為y元，由題意知：

y= 200x+7600

∵200＞0 ∴x=0時y最小，為7600元。調運方案如下: 北京到漢口6臺，北京到重慶4臺，

上海到重慶4臺.

二、方案設計與決策型問題的基本解題方法

方案設計型問題是指應用數學基礎知識建模的方法，來按題目所呈現的要求進行計算，論證，選擇，判斷，設計的一種數學試題。縱觀近年來各地的中考試題，涉及方案設計與應用的試題大量涌現，它在考查學生數學創新應用能力方面可謂獨樹一幟，新穎別致。其類型有利用不等式（組）進行方案設計，利用概率與統計進行方案設計，利用函數知識進行方案設計，利用幾何知識進行方案設計。其中以利用函數與不等式解決的方案設計問題為最多。

利用函數與不等式解決的方案設計問題的基本方法是：（1）根據題意建立一次函數關系式；（2）根據實際意義建立關于自變量的不等式組，求函數自變量的取值范圍；（3）根據函數自變量的取值范圍，確定符合條件的設計方案；（4）利用一次函數的性質求最大值或最小值，確定最優化方案。

三、全國中考中的利用函數與不等式解決的方案設計問題

類型一、利用不等式解決的方案設計問題：

【綿陽市中考題】李大爺一年前買入了相同數量的A、B兩種種兔，目前，他所養的這兩種種兔數量仍然相同，且A種種兔的數量比買入時增加了20只，B種種兔比買入時的2倍少10只．

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（1）求一年前李大爺共買了多少只種兔？

（2）李大爺目前準備賣出30只種兔，已知賣A種種兔可獲利15元／只，賣B種種兔可獲利6元／只．如果要求賣出的A種種兔少于B種種兔，且總共獲利不低于280元，那么他有哪幾種賣兔方案？哪種方案獲利最大？請求出最大獲利．

解：（1）設李大爺一年前買A、B兩種種兔各x只，則由題意可列方程為

x + 20 = 2x－10，解得 x = 30． 即一年前李大爺共買了60只種兔．

（2）設李大爺賣A種兔x只，則賣B種兔30－x只，則由題意得

x＜30－x， ①

15x +（30－x）×6≥280， ②

解 ①，得 x＜15； 解 ②，得x≥∵ x是整數，100100， 即

≤x＜15．

99100≈11.11， ∴ x = 12，13，14．

9即李大爺有三種賣兔方案：

方案一 賣A種種兔12只，B種種兔18只；可獲利 12×15 + 18×6 = 288（元）；

方案二 賣A種種兔13只，B種種兔17只；可獲利 13×15 + 17×6 = 297（元）；

方案三 賣A種種兔14只，B種種兔16只；可獲利 14×15 + 16×6 = 306（元）．

顯然，方案三獲利最大，最大利潤為306元．

類型二、利用函數知識解決的方案設計問題：

【清遠市中考題】某飲料廠為了開發新產品，用A種果汁原料和B種果汁原料試制新型甲、乙兩種飲料共50千克，設甲種飲料需配制x千克，兩種飲料的成本總額為y元．

（1）已知甲種飲料成本每千克4元，乙種飲料成本每千克3元，請你寫出y與x之間的函數關系式．

（2）若用19千克A種果汁原料和17.2千克B種果汁原料試制甲、乙兩種新型飲料，下表是試驗的相關數據；

每千克飲料

果汁含量

果汁

甲

0.5千克

0.3千克

乙

0.2千克

0.4千克

A

B

請你列出關于x且滿足題意的不等式組，求出它的解集，并由此分析如何配制這兩種飲料，可使y值最小，最小值是多少？

【答案】解：（1）依題意得：y?4x?3(50?x)?x?150

（2）依題意得：??0.5x?0.2(50?x)≤19…………(1)

0.3x?0.4(50?x)≤17.2………(2)?解不等式（1）得：x≤30

解不等式（2）得：x≥28

∴不等式組的解集為28≤x≤30

y?x?150，y是隨x的增大而增大，且28≤x≤30

∴當甲種飲料取28千克，乙種飲料取22千克時，

成本總額y最小，y最小?28?150?178（元）

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類型三、利用不等式比較方案的優劣：

【濰坊市中考題】某蔬菜加工廠承擔出口蔬菜加工任務，有一批蔬菜產品需要裝入某一規格的紙箱．供應這種紙箱有兩種方案可供選擇：

方案一：從紙箱廠定制購買，每個紙箱價格為4元；

方案二：由蔬菜加工廠租賃機器自己加工制作這種紙箱，機器租賃費按生產紙箱數收取．工廠需要一次性投入機器安裝等費用16000元，每加工一個紙箱還需成本費2.4元．

（1）若需要這種規格的紙箱x個，請分別寫出從紙箱廠購買紙箱的費用y1（元）和蔬菜加工廠自己加工制作紙箱的費用y2（元）關于x（個）的函數關系式；

（2）假設你是決策者，你認為應該選擇哪種方案？并說明理由．

【答案】解：（1）從紙箱廠定制購買紙箱費用：y1?4x

蔬菜加工廠自己加工紙箱費用：y2?2.4x?16000．

（2）當y1＜y2時，2.4x+16000＜4x，解得：x?10000，

當y1＝y2時，2.4x+16000＝4x，解得：x?10000，

當y1＞y2時，2.4x+16000＝4x，解得：x?10000，

所以，當x?10000時，選擇方案一，從紙箱廠定制購買紙箱所需的費用低；當x?10000時，兩種方案都可以，兩種方案所需的費用相同；當x?10000時，選擇方案二，蔬菜加工廠自己加工紙箱所需的費用低．

四、基本訓練

1．（威海）響應“家電下鄉”的惠農政策，某商場決定從廠家購進甲、乙、丙三種不同型號的電冰箱80臺，其中甲種電冰箱的臺數是乙種電冰箱臺數的2倍，購買三種電冰箱的總金額不超過．．．132 000元．已知甲、乙、丙三種電冰箱的出廠價格分別為：1 200元/臺、1 600元/臺、2 000元/臺．

(1)至少購進乙種電冰箱多少臺？

(2)若要求甲種電冰箱的臺數不超過丙種電冰箱的臺數，則有哪些購買方案？

2．（益陽市）開學初，小芳和小亮去學校商店購買學習用品，小芳用18元錢買了1支鋼筆和3本筆記本；小亮用31元買了同樣的鋼筆2支和筆記本5本.

(1)求每支鋼筆和每本筆記本的價格；

(2)校運會后，班主任拿出200元學校獎勵基金交給班長，購買上述價格的鋼筆和筆記本共48件作為獎品，獎給校運會中表現突出的同學，要求筆記本數不少于鋼筆數，共有多少種購買方案？請你一一寫出.

3．(內江市)我市部分地區近年出來持續干旱現象，為確保生產生活用水，某村決定由村里提供一點，村民捐一點的辦法籌集資金維護和新建一批儲水池。該村共有243戶村民，準備維護和新建的儲水池共有20個，費用和可供使用的戶數及用地情況如下表：

費用（萬元/儲水池 可供使用的戶數（戶/個） 占地面積（㎡/個）

個）

新建

維護

4

3

5

18

4

6

已知可支配使用土地面積為106㎡，若新建儲水池X個，新建和維護的總費用為y萬元。

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（1）求y與x 之間的函數關系；

（2）滿足要求的方案各有幾種；

（3）若平均每戶捐2000元時，村里出資最多和最少分別是多少？

4．（仙桃）宏志中學九年級300名同學畢業前夕給災區90名同學捐贈了一批學習用品(書包和文具盒)，由于零花錢有限，每6人合買一個書包，每2人合買一個文具盒(每個同學都只參加一件學習用品的購買)，書包和文具盒的單價分別是54元和12元．

(1)若有x名同學參加購買書包，試求出購買學習用品的總件數y與x之間的函數關系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；

(2)若捐贈學習用品總金額超過了2300元，且災區90名同學每人至少得到了一件學習用品，請問同學們如何安排購買書包和文具盒的人數？此時選擇其中哪種方案，使購買學習用品的總件數最多？

5．（襄樊市）為實現區域教育均衡發展，我市計劃對某縣A、B兩類薄弱學校全部進行改造．根據預算，共需資金1575萬元．改造一所A類學校和兩所B類學校共需資金230萬元；改造兩所A類學校和一所B類學校共需資金205萬元．

（1）改造一所A類學校和一所B類學校所需的資金分別是多少萬元？

（2）若該縣的A類學校不超過5所，則B類學校至少有多少所？

（3）我市計劃今年對該縣A、B兩類學校共6所進行改造，改造資金由國家財政和地方財政共同承擔．若今年國家財政撥付的改造資金不超過400萬元；地方財政投入的改造資金不少于70萬元，其中地方財政投入到A、B兩類學校的改造資金分別為每所10萬元和15萬元．請你通過計算求出有幾種改造方案？

6． (眉山市) “六一”前夕，某玩具經銷商用去2350元購進A、B、C三種新型的電動玩具共50套，并且購進的三種玩具都不少于10套，設購進A種玩具x套，B種玩具y套，三種電動玩具的進價和售價如右表所示，

⑴用含x、y的代數式表示購進C種玩具的套數；

⑵求y與x之間的函數關系式；

型 號 Ａ Ｂ C

進價(元／套) 40 55 50

售價(元／套) 50 80 65

⑶假設所購進的這三種玩具能全部賣出，且在購銷這種玩具的過程中需要另外支出各種費用200元。

①求出利潤P(元)與x(套)之間的函數關系式；②求出利潤的最大值，并寫出此時三種玩具各多少套。

7．（十堰市）為執行“節能減排，美化環境，建設美麗新農村”的國策，我市某村計劃建造A、B兩種型號的沼氣池共20個，以解決該村所有農戶的燃料問題．兩種型號沼氣池的占地面積、使用農戶數及造價見下表：

占地面積 使用農戶數 造價

型號

2(單位:m/個 ) (單位:戶/個) (單位: 萬元/個)

A 15 18 2

B 20 30 3

已知可供建造沼氣池的占地面積不超過365m2，該村農戶共有492戶．

(1)滿足條件的方案共有幾種?寫出解答過程．

(2)通過計算判斷，哪種建造方案最省錢．

8．（哈爾濱）躍壯五金商店準備從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件進行銷售．若每個甲種零件的進價比每個乙種零件的進價少2元，且用80元購進甲種零件的數量與用100元購進乙種零件的數量相同．

（1）求每個甲種零件、每個乙種零件的進價分別為多少元？

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（2）若該五金商店本次購進甲種零件的數量比購進乙種零件的數量的3倍還少5個，購進兩種零件的總數量不超過95個，該五金商店每個甲種零件的銷售價格為12元，每個乙種零件的銷售價格為15元，則將本次購進的甲、乙兩種零件全部售出后，可使銷售兩種零件的總利潤（利潤＝售價－進價）超過371元，通過計算求出躍壯五金商店本次從寧云機械廠購進甲、乙兩種零件有幾種方案？請你設計出來．

9．（齊齊哈爾市）某電腦公司經銷甲種型號電腦，受經濟危機影響，電腦價格不斷下降．今年三月份的電腦售價比去年同期每臺降價1000元，如果賣出相同數量的電腦，去年銷售額為10萬元，今年銷售額只有8萬元．

（1）今年三月份甲種電腦每臺售價多少元？

（2）為了增加收入，電腦公司決定再經銷乙種型號電腦，已知甲種電腦每臺進價為3500元，乙種電腦每臺進價為3000元，公司預計用不多于5萬元且不少于4.8萬元的資金購進這兩種電腦共15臺，有幾種進貨方案？

（3）如果乙種電腦每臺售價為3800元，為打開乙種電腦的銷路，公司決定每售出一臺乙種電腦，返還顧客現金a元，要使（2）中所有方案獲利相同，a值應是多少？此時，哪種方案對公司更有利？

10．(鄂州)某土產公司組織20輛汽車裝運甲、乙、丙三種土特產共120噸去外地銷售。按計劃20輛車都要裝運，每輛汽車只能裝運同一種土特產，且必須裝滿，根據下表提供的信息，

土特產種類 甲 乙 丙

8 6 5

每輛汽車運載量（噸）

12 16 10

每噸土特產獲利（百

元）

解答以下問題

(1)設裝運甲種土特產的車輛數為x，裝運乙種土特產的車輛數為y，求y與x之間的函數關系式．

(2)如果裝運每種土特產的車輛都不少于3輛，那么車輛的安排方案有幾種?并寫出每種安排方案。

(3)若要使此次銷售獲利最大，應采用(2)中哪種安排方案?并求出最大利潤的值。

【答案】

1．（威海市）威海解：（1）設購買乙種電冰箱x臺，則購買甲種電冰箱2x臺，

丙種電冰箱(80?3x)臺，根據題意，列不等式：

1200?2x?1600x?(80?3x)?2000≤132000．

解這個不等式，得x≥14．

?至少購進乙種電冰箱14臺．

（2）根據題意，得2x≤80?3x．

解這個不等式，得x≤16．

由（1）知x≥14．

?14≤x≤16．

又x為正整數，

?x?141516，，．

所以，有三種購買方案：

方案一：甲種電冰箱為28臺，乙種電冰箱為14臺，丙種電冰箱為38臺；

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方案二：甲種電冰箱為30臺，乙種電冰箱為15臺，丙種電冰箱為35臺；

方案三：甲種電冰箱為32臺，乙種電冰箱為16臺，丙種電冰箱為32臺．

2．（益陽市）解：(1)設每支鋼筆x元，每本筆記本y元

依題意得：??x?3y?18?x?3 ，解得：?

?2x?5y?31?y?5答：每支鋼筆3元，每本筆記本5元

(2)設買a支鋼筆，則買筆記本(48－a)本

依題意得：??3a?5(48?a)?200 ，解得：20?a?24

?48?a?a所以，一共有５種方案．即購買鋼筆、筆記本的數量分別為：20，28； 21，27； 22，26；

23，25； 24，24．

3．(內江市)解：（1）由題意得y=4x+3(20-x)，即y=x+60

（2）由題意得5x+18(20-x)≥243,4x+6(20-x)≤106，即x≤9，x≥7，∴7≤x≤9

故滿足要求的方案有三種：

新建7個維修13個；新建8個維修12個，新建9個維護11個

（3）由y=x+60知y隨x的增大而增大

∴當x=7時，y最小=67（萬），當x=9時，y最大=69（萬）

而居民捐款共243×0.2=48.6（萬）

∴村里出資最多為20.4萬，最少為18.4萬

4．（仙桃）解：（1）設有x名同學參加購買書包，則有?300?x?名同學購買文具盒，所以可購買書包x300?x個，購買文具盒個.

62x300?x1，即y??x?150.

?623所以購買學習用品的總件數y與x的關系式為：y?（2）設有x名同學參加購買書包，根據題意得

300?x?x?54??12?2300,??62

?1??x?150?90??3解這個不等式組，得1662?x?180.

3又因為6人合買一個書包，故購書包的人數應為6的倍數，

所以購買書包的人數應為：168，或174，或180

相應購買文具盒的人數為：132，或126，或120.

∵總件數y與x的關系式為：y??1x?150，y隨x的增大而減小

3∴當x?168時，總件數最多.

5．（襄樊市）解：（1）設改造一所A類學校和一所B類學校所需的改造資金分別為a萬6 / 9

元和b萬元．依題意得：??a?2b?230?a?60解之得?

2a?b?205b?85??，答：改造一所A類學校和一所B類學校所需的改造資金分別為60萬元和85萬元．

（2）設該縣有A、B兩類學校分別為m所和n所．則60m?85n?1575

m??17315

n?121217315n?≤5∴n≥15

1215，∵A類學校不超過5所 ，∴?即：B類學校至少有15所．

（3）設今年改造A類學校x所，則改造B類學校為?6?x?所，依題意得：

??50x?70?6?x?≤400解之得1≤x≤4，∵x取整數，∴x?1，2，3，4

???10x?15?6?x?≥70，即：共有4種方案．

6．（眉山）解：（1）購進C種玩具套數為：50－x－y（或47－（2）由題意得40x?55y?50(x?y)?2350

整理得y?2x?30

－p?(50?40)x?(80?55)y?(65?50)(50?x?y)?200

又∵y?2x?30 ∴整理得p?15x?250

（3）①利潤＝銷售收入進價－其它費用411x－y）

510②購進C種電動玩具的套數為：50?x?y?50?x?(2x?30)?80?3x

?x?107070?據題意列不等式組?2x?30?10，解得20?x? ∴x的范圍為20?x?，且33?80?3x?10?x為整數

x的最大值是23

∵在p?15x?250中，k?15＞0 ∴P隨x的增大而增大

∴當x取最大值23時，P有最大值，最大值為595元．此時購進A、B、C種玩具分別為23套、16套、11套．

7．（十堰市）解: (1) 設建造A型沼氣池 x 個，則建造B 型沼氣池(20－x )個

?15x?20?20?x??365依題意得:

?

?18x?30?20?x??492解得：7≤ x ≤ 9

∵ x為整數 ∴ x = 7，8 ，9 ，∴滿足條件的方案有三種．

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(2)設建造A型沼氣池 x 個時，總費用為y萬元，則：

y = 2x + 3( 20－x) = －x+ 60

∵－1< 0，∴y 隨x 增大而減小，

當x=9 時，y的值最小，此時y= 51( 萬元 )

∴此時方案為：建造A型沼氣池9個，建造B型沼氣池11個．

8．（哈爾濱）解：（1）可列分式方程求解，但要注意檢驗，否則扣分；（2）依據題意列出不等式組，注意不等號中是否有等于，根據未知數都為整數，再結合不等式組的解集，確定未知數的具體數值，有幾個值，即有幾種方案.

解：（1）設每個乙種零件進價為x元，則每個甲種零件進價為(x?2)元．由題意得

80100，

?x?2x解得x?10．

檢驗：當x?10時，x(x?2)?0，?x?10是原分式方程的解．

10?2?8（元）

答：每個甲種零件的進價為8元，每個乙種零件的進價為10元．

（2）設購進乙種零件y個，則購進甲種零件(3y?5)個

?3y?5?y≤95，由題意得?

(12?8)(3y?5)?(15?10)y?371?解得23?y≤25．

y為整數，?y?24或25．?共有2種方案．

分別是：

方案一：購進甲種零件67個，乙種零件24個；

方案二：購進甲種零件70個，乙種零件25個．

9．（齊齊哈爾市）解：（1）設今年三月份甲種電腦每臺售價x元

1，解得：x?4000

?x?1000x經檢驗：x?4000是原方程的根，所以甲種電腦今年每臺售價4000元．

（2）設購進甲種電腦x臺，48000≤3500x?3000(15?x)≤50000

解得6≤x≤10，因為x的正整數解為6，7，8，9，10，所以共有5種進貨方案

（3）設總獲利為W元，

W?(4000?3500)x?(3800?3000?a)(15?x)

?(a?300)x?12000?15a當a?300時，（2）中所有方案獲利相同．

此時，購買甲種電腦6臺，乙種電腦9臺時對公司更有利．

10.(鄂州)解：（1）8x+6y+5(20―x―y)=120

∴y=20―3x ∴y與x之間的函數關系式為y=20―3x

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（2）由x≥3，y=20－3x≥3， 20―x―(20―3x)≥3可得3?x?52

3又∵x為正整數 ∴ x=3，4，5

故車輛的安排有三種方案，即：

方案一：甲種3輛 乙種11輛 丙種6輛

方案二：甲種4輛 乙種8輛 丙種8輛

方案三：甲種5輛 乙種5輛 丙種10輛

（3）設此次銷售利潤為W元，

W=8x·12+6(20－3x)·16+5[20－x－(20－3x)]·10=－92x+1920

∵W隨x的增大而減小 又x=3，4，5

∴ 當x=3時，W最大=1644（百元）=16.44萬元

答：要使此次銷售獲利最大，應采用（2）中方案一，即甲種3輛，乙種11輛，丙種6輛，最大利潤為16.44萬元。

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