2020初中幾何專項精講《第8講.勾三股四弦五II》

2024年2月15日發(作者：保護地球英語)

第八講.勾三股四弦五II

【教學目標】

1.復習直角三角形及勾股定理；

2.掌握勾股定理的直接應用；

3.掌握構造勾股定理法。

4.掌握勾股定理的綜合應用

【知識、方法梳理】

1. 勾股定理定義：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么

a2?b2?c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

B弦cAb股a勾C

勾：直角三角形較短的直角邊

股：直角三角形較長的直角邊

弦：斜邊

勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c有下面關系：a?b?c，那么這個三222角形是直角三角形。

2. 勾股數：滿足a?b?c的三個正整數叫做勾股數（注意：若a,b,c為勾股數，那么222ka,kb,kc同樣也是勾股數組。）

*附：常見勾股數：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13

3. 判斷直角三角形：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?b?c，那么這個三角形是直角三角形。（經典直角三角形：勾三、股四、弦五）

其他方法：（1）有一個角為90的三角形是直角三角形。

（2）有兩個角互余的三角形是直角三角形。

用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：

（1）確定最大邊（不妨設為c）；

（2）若c?a?b，則?ABC是以?C為直角的三角形；

若a?b?c，則此三角形為鈍角三角形（其中c為最大邊）；

若a?b?c，則此三角形為銳角三角形（其中c為最大邊）

4.注意：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

（2）在直角三角形中，如果一個銳角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。

（3）在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的角等于30。

ooo2222222222221

5. 勾股定理的作用：

（1）已知直角三角形的兩邊求第三邊。

（2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關系。

（3）用于證明線段平方關系的問題。

（4）利用勾股定理，作出長為n的線段

【典例精講】

類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法

例1. 若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長是20，求此直角三角形的面積。

【思路點撥】：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設未知數，再根據勾股定理列出方程，求出未知數的值進而求面積。

【解析】：設此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據題意得：

?3x???4x??20

222 化簡得x?16；

∴直角三角形的面積＝21?3x?4x?6x2?96

2 總結升華：直角三角形邊的有關計算中，常常要設未知數，然后用勾股定理列方程（組）求解。

類型二：勾股定理的應用

例2. 如圖，公路MN和公路PQ在點P處交匯，且?QPN?30，點A處有一所中學，oAP＝160m。假設拖拉機行駛時，周圍100m以內會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否會受到噪聲影響？請說明理由，如果受影響，已知拖拉機的速度為18km/h，那么學校受影響的時間為多少秒？

【思路點撥】：（1）要判斷拖拉機的噪音是否影響學校A，實質上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。（2）要求出學校受影響的時間，實質是要求拖拉機對學校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機行至哪一點開始影響學校，行至哪一點后結束影響學校。

【解析】：作AB?MN，垂足為B。

在

Rt?ABP中，∵?ABP?90,?APB?30,AP?160,

oo1AP?80.（在直角三角形中，30o所對的直角邊等于斜邊的一半）

2 ∵點

A到直線MN的距離小于100m,

∴

AB? ∴這所中學會受到噪聲的影響。

如圖，假設拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛到點C處學校開始受到影響，那么AC?100?m?，

2

由勾股定理得：

BC?100?80?3600,∴

BC?60。

222

同理，拖拉機行駛到點D處學校開始脫離影響，那么，AD＝100?m?，BD＝60?m?,

∴CD＝120?m?。

拖拉機行駛的速度為 :18km/h?5m/s

t?120m?5m/s?24s。

答：拖拉機在公路

MN上沿PN方向行駛時，學校會受到噪聲影響，學校受影響的時間為24秒。

總結升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,構造直角三角形以便利用勾股定理。

類型三：數學思想方法

（一）轉化的思想方法

我們在求三角形的邊或角，或進行推理論證時，常常作垂線，構造直角三角形，將問題轉化為直角三角形問題來解決．

例3. 如圖所示，?ABC是等腰直角三角形，AB?AC，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE?DF，若BE?12，CF?5．求線段EF的長。

【思路點撥】：現已知BE、CF，要求EF，但這三條線段不在同一三角形中，所以關鍵是線段的轉化，根據直角三角形的特征，三角形的中線有特殊的性質，不妨先連接AD．

【解析】：連接AD．

因為?BAC?90，AB?AC． 又因為AD為?ABC的中線，

所以AD?DC?DB．AD?BC．

且?BAD??C?45．

因為?EDA??ADF?90． 又因為?CDF??ADF?90．

所以?EDA??CDF． 所以?AED??CFD?ASA?．

所以AE?FC?5．

同理：AF?BE?12．

在Rt△AEF中，根據勾股定理得：

EF?AE?AF?5?12?13，所以EF?13。

總結升華：此題考查了等腰直角三角形的性質及勾股定理等知識。通過此題，我們可以了解：當已知的線段和所求的線段不在同一三角形中時，應通過適當的轉化把它們放在同一直角三角形中求解。

222222oooo3

（二）方程的思想方法

【思路點撥】：由a?b?33，再找出a、b的關系即可求出a和b的值。

oo 例4.已知?ABC中，?C?90，?A?60，a?b?33，求a、b、c的值。

【解析】：在Rt?ABC中，?A?60o，?B?90o??A?30o，

則c?2b，由勾股定理，得a?c2?2??2b?2?b2?3b。

因為a?b?33，所以3b?b?3?3，

b?3?3?1?3?1?3 ，a?3b?3?3?3，c?2b?23。

總結升華：在直角三角形中，30o的銳角的所對的直角邊是斜邊的一半。

【雙基訓練】

1.等邊三角形的邊長為2，求它的面積。

2.直角三角形周長為12cm，斜邊長為5cm，求直角三角形的面積。

3.若直角三角形的三邊長分別是n?1，n?2，n?3，求n。

4.以下列各組數為邊長，能組成直角三角形的是（ ）

A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40

4

5.如圖學校有一塊長方形花園，有極少數人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假設2步為1m），卻踩傷了花草。

6.如圖中的虛線網格我們稱之為正三角形網格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。

（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。

（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？

（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。

【縱向應用】

7.如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點D落在BC邊的點F處，已知AB?8cm，BC?10cm，求EF的長。

練習題答案

5

【雙基訓練】

1.【答案】如圖，等邊?ABC，作AD?BC于D

1BC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）

2 ∵AB?AC?BC?2（等邊三角形各邊都相等）

∴BD＝1

在直角三角形ABC中，AB2?AD2?BD2，

222 即：AD?AB?BD??1?3

∴AD?3

1

S?ABC?BC?AD?3

23a。 注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長為a，則其面積為42.【答案】設此直角三角形兩直角邊長分別是x,y，根據題意得：

?x?y?5?12(1)

?2

22(2)?x?y?5 由（1）得：x?y?7，

則BD?

?x?y??49，x?2xy?y?49 (3)

222 (3)－(2)，得：xy?12

∴直角三角形的面積是11xy??12?6?cm2?

22

3.【思路點撥】：首先要確定斜邊（最長的邊）長n?3，然后利用勾股定理列方程求解。

【解析】：此直角三角形的斜邊長為n?3，由勾股定理可得：

?n?1???n?2???n?3?

化簡得：n?4

∴n??2，但當n??2時，n?1??1?0，∴n?2

總結升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。

4.【解析】：此題可直接用勾股定理的逆定理來進行判斷，

對數據較大的可以用c?a?b的變形：b2?c2?a2??c?a??c?a?來判斷。

2222222 例如：對于選擇D，

∵8??40?39???40?39?，

2 ∴以8，39，40為邊長不能組成直角三角形。

同理可以判斷其它選項。 【答案】：A

5. 【解析】：他們原來走的路為3+4＝7(m)

設走“捷徑”的路長為xm，則x?32?42?5

故少走的路長為7－5＝2(m)

又因為2步為1m，所以他們僅僅少走了4步路。【答案】4

6

3133?，面積是?1?。

2224 （2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積324??63。

4 （3）過A作AK?BC于點K（如圖所示），則在Rt?ACK中，6.【答案】（1）單位正三角形的高為33?3?AK?32????,

22??215KC?1?1??，故AC?AK2?KC222?33??5?2???13

?2????2????2

7. 【解析】：因為?ADE與?AFE關于AE對稱，所以AD?AF，DE?EF。

因為四邊形ABCD是矩形，所以?B??C?90，

在Rt?ABF中，AF?AD?BC?10cm，AB?8cm，

所以BF?oAF2?AB2?102?82?6?cm?。

所以FC?BC?BF?10?6?4?cm?。

設EC?xcm，則EF?DE??8?x?cm。

在Rt?ECF中，EC?FC?EF，即x?4??8?x?，解得x?3。

222222

EF?DE??8?x?cm?5cm 即EF的長為5cm。

7