簡論中國古代數學中的“黃金分割率”

2024年2月15日發(作者：老白曉)

簡論中國古代數學中的“黃金分割率”

黃金分割,被譽為數學上的“黃金”與“寶石”。

古代希臘畢達哥拉斯學派以及大幾何學家歐幾里德

等都曾深入研究過黃金分割問題。中世紀時,這一

數學命題又與著名的斐波那契數列聯系起來,從而

獲得許多新的性質。在西方數學傳入中國之前,中

國人不曾直接論述黃金分割問題。但是,中國古代

數學中實際上也蘊含著黃金分割問題,只是其表達

方式有所不同。中國古代數學中的黃金分割率不像

歐幾里德幾何那樣演繹得清楚明白,需要我們去發

現。我們無法確證中國古代數學家是否明確意識到

“黃金分割率”,但仍可以從許多中國古代數學問題

中推導和演繹出“黃金分割率”,這有助于充分認識

中國古代數學的價值。

1 勾股術與黃金分割率

明末清初西方數學傳入中國,中國數學家知道

了黃金分割率,開始有人試圖論證黃金分割率在中

國是“古已有之”。例如,清代數學家梅文鼎(公元

1633 - 1721 年) 曾在《幾何通解》自序中說:“惟理分

中末線(即黃金分割率———引者注) 似與勾股異

源,. . . . . . 而仍出于勾股。信古九章之義包舉無

方。”他是這樣推導的:假如一直角三角形的股長是

其勾長的二倍,則這個直角三角形的勾弦之和等于

勾弦之差再加上股,其勾弦之和就被勾弦之差和股

分成中末比。他還說:“《幾何原本》理分中末線,但

求作之法而莫知所用。今依法求得十二等面體及二

十等面體之體積,因得其各體中棱線及軸心、對角諸

線之比例,又兩體互相容及兩體與立方、立圓諸體相

容各比例, 并以理分中末為法, 乃知此線原非徒

設。”〔1〕

按照梅文鼎的觀點,中西數學雖然形式上有所

不同,理論上是可以會通的;西方的幾何學,無非是

中國的勾股術,中末線也可以從勾股術中導出。應

當說,梅文鼎在中西數學比較中看出了兩者的異中

之同,以及黃金分割率與勾股術的聯系(現在中學教

科書通常用代數法解作圖題,其中運用勾股定理) ,

但中國古代數學畢竟沒有明確作出“中末線”,梅文

鼎還是夸大了中西數學的異中之同,他沒有看到歐

幾里德給黃金分割率嚴格而清晰的證明的獨特價

值。歐幾里德在其《幾何原本》卷Ⅱ第11 題中表述:

“分已知線段為兩部分,使全線段與一小線段構成的

矩形的面積等于另一小線段上的正方形的面積。”這

里,歐氏幾何學給黃金分割的證明結果上升到定理

的高度。關于這一點,梅文鼎本人也慨嘆,中國古代

數學家沒有從勾股術中看出黃金分割率是非常可惜

的。

2 “河圖”、“洛書”與黃金分割率

從數學上說,河圖洛書是一種古老的數字組合

方式,也是中國古代數學的源頭。其中也隱含著黃

金分割率。

清代著名學者江永(江慎修) (公元1681 - 1762）

年) 在《河洛精蘊》中已經指出河圖中的黃金分割率

(他稱之為“神分線”) 。他將河圖中宮十數為股,五

數為勾,然后各自自乘,再開方得弦,即:

52 (勾) + 102 (股) = 11. 182 (弦)

再,5 (勾) + 11. 18 (弦) = 16. 18 (勾弦和)

11. 18 (弦) - 5 (勾) = 6. 18 (勾弦較)

10 (股) - 6. 18 (勾弦較) = 3. 819

這樣,以16. 18 (勾弦和) 為長,

則,6. 18 (小段) / 10 (大段) = 0. 618

其中,16. 18 (勾弦長) ×6. 18 (勾弦較) = 99. 99

10 (股) ×10 (股) = 100

若,以10 (股) 為長,

則3. 819 (小段) / 6. 18 (大段) = 0. 6179

其中,10 (股) ×3. 819 = 38. 19

如是,江永說:“八線表半徑用全數如十,則勾弦

較六一八O 三三九,即十邊三十六度之通弦。其列

率即《洛書》三率連比例之理。其所得十邊通弦之

數,實生于五與十,而五十即《河圖》之中宮,至平中

有至奇焉。西人秘惜其法,謂此線為神分線,豈知神

奇即在目前哉”〔2〕?

這里,我們看到,從河圖演算出的黃金分割率是

與數“五”與“十”密切相關的。在河圖中,“五”與

“十”兩數具有特殊的意義。河圖由一、二、三、四、

五、六、七、八、九、十共十個數字組成,其中一、二、

三、四、五稱為生數,六、七、八、九、十稱為成數。十

個數相加為55 ,被古人稱為“天地之數”。《周易·系

辭傳》曰:“天一、地二、天三、地四、天五、地六、天七、

地八、天九、地十。天數五,地數五,五位相得,而各

有合,天數二十有五,地數三十,凡天地之數五十有

五,此所以成變化而行鬼神也。”其實,“五十”之為

“天地之數”,并非它能行鬼神之變化,這當中反映出

上古先民所創造的十進制的計數方法,而十以內的

任何數字都可以運用四則運算法加以計算。也就是

說,任何一個數的平方都可以用這種簡單的加法求

出來,利用它的逆運算,任何一個數的開方也可以用

簡單的減法求出來。《周易·系辭傳》曰:“大衍之數

五十,其用四十有九。”《周髀算經》解釋說:“禹治洪

水,始廣用勾股弦,故稱其為大衍數。”可見,運用勾

股定理對“天地之數”或“大衍之數”“五”與“十”進行

簡單的運算即可求出其中蘊含的黃金分割率。這說

明,黃金分割率并非什么神秘之物,它可以明白地表

現在線段和圖形之比例關系當中,也可以表現在非

常簡單的數字關系中。

至于洛書,它與黃金分割率也有聯系。由洛書

演化的“九宮圖”,如果將其與斐波那契數列相聯系,

亦可找到其中的內在聯系。

有趣的是,生活在與賈憲年代相差不遠的哲學

家程頤在其《易程傳》中,對64 卦按所含陽爻數目

的多少進行分類。其結果正好是楊輝記錄的賈憲三

角形的最后一層的數據。

后人將《易程傳》原文對

64 卦按陽爻的數目進行組合分類的排列進行統計

的時候,又發現,這個分布圖與賈憲三角形十分相

像。從64 卦的分布可以直接導出一個賈憲三角

形〔5〕! 這恐怕不是巧合。聯系到八卦與河圖、洛

書,河圖、洛書與黃金分割和斐波那契數列的內在聯

系,我們有理由得出64 卦也與黃金分割、斐波那契

數列有內在聯系的結論,由此還可看出,黃金分割率

決不只是單純的幾何學問題,它也廣泛地蘊含于以

數值化為特征的中國古代數學中。

4 “五運六氣”學說與黃金分割率

我們知道,正五角星形各線段之比為黃金分割

值,而中國傳統醫學的“五運六氣”學說中實際上已

經蘊含了正五角星形,因此也蘊涵了黃金分割率。

“五運六氣”學說與五行思想有密切關系。《國

語·鄭語》曰:“先王以土與金木水火雜,以成百物。”

《尚書·洪范》曰:“五行:一曰水,二曰火,三曰木,四

曰金,五曰土。”后來“五行”與“五方”聯系起來,即

中、東、南、西、北五方。在這種觀念中“, 土”居中,起

支配作用“, 五方”并不構成五個角。到了戰國時期,

五行思想有了進一步的發展,形成了以鄒衍為代表

的陰陽五行學說。其相生相克的原理突破了殷人以

土居中的“五方”觀念,用正五邊形和五角星形來形

象地表示這一學說是再恰當不過的了。

5 黃赤交角與黃金分割率

我國是世界上天文學發達最早的國家之一。在

天文觀測實踐中,古代數學獲得了長足進步。特別

是投影幾何學、三角函數學等測量數學在當時世界

上取得領先成績。這其中,黃道面與赤道面交角數

值的確定以及與之相關的36°角、72°角的形成皆與

黃金分割率有明顯的聯系。

關于黃赤交角。據史料記載,世界上最古老的

星表之一———我國的《石氏星經》已經確定了赤道座

標體系,而且已經知道了黃道傾角。成書于公元前

一世紀的《周髀算經》有用圭表測影并用勾股定理進

行天文計算的記錄。當時用垂直于地面的高八尺

表,在中午測日影長,用日影長度來定義每年二十四

節氣,這是治歷各家的重要參數。關于兩至影長的

具體數字,東漢的賈逵在注釋《周髀算經》時說:“冬

至日距極為百一十五度,夏至日距極六十七度。”

(《后漢書》卷十二) 以二除兩者之差,得整數二十四

度(折合現在的23°39’18 〃) 。東漢另一位天文學家

張衡(公元78 - 139 年) 在《渾儀》一書的殘篇中有如

下記載:“赤道橫帶渾天之腹,去極九十一度十九分

之五。黃道斜帶其腹,出赤道表里各二十四度。故

夏至去極六十七度而強,冬至去極百一十五度亦強

也。”張衡再次給出了黃赤交角的具體數值。隋唐以

降,黃赤交角的數值計算得越來越精確。徐昂的宣

明歷(公元822 年) 所用的黃赤交角值為23°34′55″,

僅比理論值小37″。元代數學家郭守敬等人于《授

時歷》中多次應用了沈括的“會圓術”,并配合使用相

似三角形各線段間的比例關系,從而在推算“赤道積

度”、“赤道內外度”方面創立了新的方法。從數學意

義上來講,新的方法相當于開辟了通往球面三角法

的途徑。由于采用了新的方法“, 中國的一整套觀測

值(以郭守敬極精確的數值為最高峰) ,曾為18 世紀

天文學家關于所謂黃道傾角易變性的討論提供了證

據”

6 結 語

以上通過對中國古代數學中蘊涵的“黃金分割

率”的分析和論證,我們至少可以得到兩點啟發:

第一,黃金分割率普遍地蘊含于數學的許多分

支學科中,中國古代數學作為世界數學發展的一種

類型,同樣與黃金分割率有著內在的聯系。

如前所述,有關黃金分割的數學問題非常廣泛,

而尤以斐波那契數列所蘊涵的數學問題最為豐富。

例如,在歐幾里德算法的計算過程中,為了求出兩個

給定正整數的最大公因數,數學家G. 拉梅(Lame ,

1795 - 1870 年) 提出了下述巧妙的定理:為了求出

兩個正整數的最大公因數,所需進行的除法的次數

決不大于較少整數的位數的五倍。而這個定理的證

明首先要用到斐波那契數列的某些性質〔9〕。我們

知道,歐幾里德關于求取兩個正整數的最大公因子

的算法同我國古代《九章算術》中的“更相減損術”是

相同的。這也就是說,“更相減損術”與斐波那契數

列的某些性質也是有聯系的。相關的問題,我們甚

至還可以在數論的重要分支丟番圖逼近(Diophan2

tine Approximation) 中找到。我國著名數學家華羅

庚在其數論研究中涉及到的丟番圖逼近方程與斐波

那契數列有關〔10〕。上個世紀數學界的領物大

衛·希爾伯特在1900 年巴黎國際數學家代表大會上

的演講中曾提到的第十個問題是丟番圖方程可解性

的判別。1970 年,前蘇聯科學家馬蒂雅舍維奇在前

人研究的基礎上,引入了斐波那契數列,從而解決了

希爾伯特第十個問題〔11〕。這表明,黃金分割率不只

是在初等數學有,而且在高等數學甚至數學的前沿

學科中也廣泛蘊涵著;不只在西方數學體系中廣為

存在,而且在東方諸國的數學體系中也時隱時現。

因此,在西方以外的數學體系中“發掘”出黃金分割

率并不是值得大驚小怪的事情。

第二,黃金分割問題的解決有賴于東西方數學

思想和方法的互補。古代希臘數學家們熱衷于對純

粹幾何圖形的演繹證明,這使他們作出了包括黃金

分割線段在內的許多幾何證明,但他們往往與無理

數概念及離散、無窮、極限等思想失之交臂〔12〕。與

此相反,古代東方的印度、中國、阿拉伯諸國,其算術

和代數學發展較快。例如中國很早就有了負數《, 九

章算術》中明確規定了分數的四則運算;在無理數方

面,中國將有理數和無理數同樣看待,在開方不盡時

利用十進小數近似地表示之。而從數論角度來看,

最無理的數就是黃金分割數;無理數用有理數是很

難逼近的。這是否昭示人們,那些最早認識到無理

數的國家有可能最早接觸到黃金分割數值。這一

點,中國的河圖、洛書提供了有力的證明。還有一個

事實,即斐波那契數列是與東方數學密切相關的。

我們已經知道,文藝復興前哨的意大利,由于其特殊

的地理位置和貿易聯系而成為東西方文化的“熔

爐”。意大利學者早在12 - 13 世紀就開始翻譯、介

紹希臘與阿拉伯的數學文獻。斐波那契早年隨父在

北非師從阿拉伯人習算,后又游歷地中海沿岸諸國,

其代表作《算盤書》、《幾何實踐》等也是根據阿拉伯

文與希臘文材料編譯而成的。《算盤書》最大的功績

是系統地介紹印度記數法,并影響和改變了歐洲數

學的面貌。有資料表明《, 算經》中的“契丹算法”,即

我國的“盈不足術”、“物不知其數”和“百雞問題”等,

它們是經由印度、阿拉伯國家傳到歐洲的。對此,我

們似乎可以作出一個大膽的推測:斐波那契數列很

可能是從東方諸國傳到西方的,或至少是在受到了

東方特別是中國的算術和代數學的啟發而形成的!

此外“, 巴斯卡三角形”也不是巴斯卡最早發現的。

大量研究資料表明,在全世界范圍內,東方各國比歐

洲更早知道數字三角形。而關于這一三角形的發明

者賈憲的記載是最早的。至于巴斯卡本人,他在算

術三角形的研究中將經典的幾何命題同三角形中數

值關系結合起來進行考慮,并得出一系列新的性質。

這進一步說明,西方數學的發展是在與東方數學的

交流和互動中前進的,不能認為,只有嚴格的演繹推

理才能發現和證明黃金分割率的存在,算術的直覺

常常能直接洞悉數學命題的真諦。

另一方面,東方的算術和代數學必須依賴于嚴

密的邏輯體系才能獲得大的發展。在黃金分割問題

方面,中國古代數學家也不是沒有遇到與之相關的

幾何學問題。中國先秦時期的五行觀念是與畢達哥

拉斯的五邊形數的觀念有相似之處的(李約瑟曾指

出兩者的共同點)〔13〕。但是,中國古代數學終究難

以在幾何學上形成正五邊形或五角星形。《周髀算

經》中已給出了“勾股定理”和“弦圖”,只要將勾為股

的一半,即可推演出黃金分割率。但《周髀算經》的

作者沒有這樣做。其中的一個原因,可能是這樣做

對于當時的天文觀測或其他實際問題的解決并無多

大用處。中國古代數學多是為解決實際問題而提出

的,它往往給出了解決具體問題的算法,卻沒有上升

到一般公理和定義的高度,沒有形成嚴密的邏輯演

繹體系,因而不可能從幾何學上證明黃金分割率。

至于中國古代數學中與黃金分割率相近的“今有

術”,雖然包含著比例問題,并且得出了“二內項之積

等于二外項之積”這一結論,但是它仍然同印度的

“三率法”一樣,沒有明確地表示出二比率相等的意

義,因此它不是真正意義上的黃金分割率。總之,

“與希臘人的幾何學天才相比,中國人的數學是代數

和算法的”〔14〕。中國古代數學沒有建立嚴密的公理

體系和公理化方法,這是它的特點,也是它的局限

性。因此,盡管中國古代數學在數值計算方面觸及

到黃金分割率,但終因邏輯思維和幾何學的不發達

而未能摘取幾何學上的“寶石”。