九年級數學解一元二次方程配方法

2024年2月22日發(作者：偉大的爸爸)

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

22.2 解一元二次方程(配方法)

第1課時

教學內容

間接即通過變形運用開平方法降次解方程．

教學目標

理解間接即通過變形運用開平方法降次解方程，并能熟練應用它解決一些具體問題．

通過復習可直接化成x2=p（p≥0）或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程的解法，?引入不能直接化成上面兩種形式的解題步驟．

重難點關鍵

1．重點：講清“直接降次有困難，如x2+6x-16=0的一元二次方程的解題步驟．

2．?難點與關鍵：不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉化方法與技巧．

教學過程

一、復習引入

（學生活動）請同學們解下列方程

（1）3x2-1=5 （2）4（x-1）2-9=0 （3）4x2+16x+16=9

老師點評：上面的方程都能化成x=p或（mx+n）=p（p≥0）的形式，那么可得

x=±p或mx+n=±p（p≥0）．

22 如：4x2+16x+16=（2x+4）2

二、探索新知

列出下面二個問題的方程并回答：

（1）列出的經化簡為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？

（2）能否直接用上面三個方程的解法呢？

問題1：印度古算中有這樣一首詩：“一群猴子分兩隊，高高興興在游戲，?八分之一再平方，蹦蹦跳跳樹林里；其余十二嘰喳喳，伶俐活潑又調皮，告我總數共多少，兩隊猴子在一起”．

大意是說：一群猴子分成兩隊，一隊猴子數是猴子總數的18的平方，另一隊猴子數是12，那么猴子總數是多少？你能解決這個問題嗎？

問題2：如圖，在寬為20m，長為32m的矩形地面上，?修筑同樣寬的兩條平行且與另一條相互垂直的道路，余下的六個相同的部分作為耕地，要使得耕地的面積為5000m2，道路的寬為多少？

3eud教育網 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

老師點評：問題1：設總共有x只猴子，根據題意，得：

x=（18x）2+12

整理得：x2-64x+768=0

問題2：設道路的寬為x，則可列方程：（20-x）（32-2x）=500

整理，得：x2-36x+70=0

（1）列出的經化簡為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個左邊是含有x的完全平方式而后二個不具有．

（2）不能．

既然不能直接降次解方程，那么，我們就應該設法把它轉化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來講如何轉化：

x2-64x+768=0 移項→ x=2-64x=-768

兩邊加（?642）2使左邊配成x2+2bx+b2的形式 → x2-64x+322=-768+1024

左邊寫成平方形式 → （x-32）2=?256 ?降次→x-32=±16 即 x-32=16或x-32=-16

解一次方程→x1=48，x2=16

可以驗證：x1=48，x2=16都是方程的根，所以共有16只或48只猴子．

學生活動：

例1．按以上的方程完成x-36x+70=0的解題．

2222 老師點評：x-36x=-70，x-36x+18=-70+324，（x-18）=254，x-18=±254，2x-18=254或x-18=-254，x1≈34，x2≈2．

可以驗證x1≈34，x2≈2都是原方程的根，但x≈34不合題意，所以道路的寬應為2．

例2．解下列關于x的方程

（1）x2+2x-35=0 （2）2x2-4x-1=0

分析：（1）顯然方程的左邊不是一個完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；（2）同上．

解：（1）x2-2x=35 x2-2x+12=35+1 （x-1）2=36 x-1=±6

x-1=6，x-1=-6

x1=7，x2=-5

可以，驗證x1=7，x2=-5都是x2+2x-35=0的兩根．

3eud教育網 教學資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

（2）x-2x-212=0 x-2x=12212

32 x2-2x+12=+1 （x-1）2=6262

62 x-1=±6262即x-1=，x-1=-

x1=1+，x2=1-

可以驗證：x1=1+ 三、鞏固練習

62，x2=1-62都是方程的根．

教材P38 討論改為課堂練習，并說明理由．

教材P39 練習1 2．（1）、（2）．

四、應用拓展

例3．如圖，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=8m，CB=6m，點P、Q同時由A，B?兩點出發分別沿AC、BC方向向點C勻速移動，它們的速度都是1m/s，?幾秒后△PCQ?的面積為Rt△ACB面積的一半．

分析：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ABC面積的一半，△PCQ也是直角三角形．?根據已知列出等式．

解：設x秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．

根據題意，得：212（8-x）（6-x）=12×12×8×6

整理，得：x-14x+24=0

（x-7）2=25即x1=12，x2=2

x1=12，x2=2都是原方程的根，但x1=12不合題意，舍去．

所以2秒后△PCQ的面積為Rt△ACB面積的一半．

五、歸納小結

本節課應掌握：

3eud教育網 教學資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

左邊不含有x的完全平方形式，?左邊是非負數的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負數，可以直接降次解方程的方程．

六、布置作業

1．教材P45 復習鞏固2．

2．選用作業設計．

一、選擇題

1．將二次三項式x2-4x+1配方后得（ ）．

A．（x-2）2+3 B．（x-2）2-3 C．（x+2）2+3 D．（x+2）2-3

2．已知x2-8x+15=0，左邊化成含有x的完全平方形式，其中正確的是（ ）．

A．x2-8x+（-4）2=31 B．x2-8x+（-4）2=1

C．x2+8x+42=1 D．x2-4x+4=-11

3．如果mx2+2（3-2m）x+3m-2=0（m≠0）的左邊是一個關于x的完全平方式，則m等于（ ）．

A．1 B．-1 C．1或9 D．-1或9

二、填空題

1．方程x2+4x-5=0的解是________．

2．代數式x?x?2x?122的值為0，則x的值為________．

3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設x+y=z，則原方程可變為_______，?所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為______．

三、綜合提高題

1．已知三角形兩邊長分別為2和4，第三邊是方程x2-4x+3=0的解，求這個三角形的周長．

2．如果x2-4x+y2+6y+z?2+13=0，求（xy）z的值．

3．新華商場銷售某種冰箱，每臺進貨價為2500?元，?市場調研表明：?當銷售價為2900元時，平均每天能售出8臺；而當銷售價每降50元時，平均每天就能多售出4臺，商場要想使這種冰箱的銷售利潤平均每天達5000元，每臺冰箱的定價應為多少元？

答案:

一、1．B 2．B 3．C

二、1．x1=1，x2=-5 2．2 3．z2+2z-8=0，2，-4

3eud教育網 教學資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

三、1．（x-3）（x-1）=0，x1=3，x2=1，

∴三角形周長為9（∵x2=1，∴不能構成三角形）

2．（x-2）2+（y+3）2+z?2=0，

∴x=2，y=-3，z=-2，（xy）=（-6）=3．設每臺定價為x，則：（x-2500）（8+z-21362900?x50

×4）=5000，

x2-5500x+7506250=0，解得x=2750

22.2.2 配方法

第2課時

教學內容

給出配方法的概念，然后運用配方法解一元二次方程．

教學目標

了解配方法的概念，掌握運用配方法解一元二次方程的步驟．

通過復習上一節課的解題方法，給出配方法的概念，然后運用配方法解決一些具體題目．

重難點關鍵

1．重點：講清配方法的解題步驟．

2．難點與關鍵：把常數項移到方程右邊后，?兩邊加上的常數是一次項系數一半的平方．

教具、學具準備

小黑板

教學過程

一、復習引入

（學生活動）解下列方程：

（1）x2-8x+7=0 （2）x2+4x+1=0

老師點評：我們前一節課，已經學習了如何解左邊含有x的完全平方形式，?右邊是非負數，不可以直接開方降次解方程的轉化問題，那么這兩道題也可以用上面的方法進行解題．

解：（1）x2-8x+（-4）2+7-（-4）2=0 （x-4）2=9

x-4=±3即x1=7，x2=1

（2）x2+4x=-1 x2+4x+22=-1+22

（x+2）2=3即x+2=±3

x1=3-2，x2=-3-2

3eud教育網 教學資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

二、探索新知

像上面的解題方法，通過配成完全平方形式來解一元二次方程的方法，叫配方法．

可以看出，配方法是為了降次，把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解．

例1．解下列方程

（1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0

分析：我們已經介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來完成，即配一個含有x的完全平方．

解：（1）移項，得：x2+6x=-5

配方：x2+6x+32=-5+32（x+3）2=4

由此可得：x+3=±2，即x1=-1，x2=-5

（2）移項，得：2x2+6x=-2

二次項系數化為1，得：x2+3x=-1

配方x+3x+（32232）=-1+（522232）（x+5223232）=254

5232 由此可得x+=±，即x1=-，x2=--

（3）去括號，整理得：x+4x-1=0

移項，得x2+4x=1

配方，得（x+2）2=5

x+2=±5，即x1=5-2，x2=-5-2

三、鞏固練習

教材P39 練習 2．（3）、（4）、（5）、（6）．

四、應用拓展

例2．用配方法解方程（6x+7）（3x+4）（x+1）=6

2 分析：因為如果展開（6x+7），那么方程就變得很復雜，如果把（6x+7）看為一個數y，那么（6x+7）2=y2，其它的3x+4=122（6x+7）+12，x+1=16（6x+7）-16，因此，方程就轉化為y?的方程，像這樣的轉化，我們把它稱為換元法．

解：設6x+7=y

則3x+4=1212161616y+，x+1=12y-）（

y-16 依題意，得：y2（y+12）=6

去分母，得：y2（y+1）（y-1）=72

2242 y（y-1）=72， y-y=72

（y-212）=22894

3eud教育網 教學資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

y-212=±172

y2=9或y2=-8（舍）

∴y=±3

當y=3時，6x+7=3 6x=-4 x=-23

53 當y=-3時，6x+7=-3 6x=-10 x=- 所以，原方程的根為x1=-23

，x2=-53

五、歸納小結

本節課應掌握：

配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟．

六、布置作業

1.教材P45 復習鞏固3．

2.作業設計

一、選擇題

1．配方法解方程2x- A．（x- C．（x-1313243x-2=0應把它先變形為（ ）．

2313）2=）2=8989 B．（x- D．（x-）2=0

）2=109

2．下列方程中，一定有實數解的是（ ）．

A．x2+1=0 B．（2x+1）2=0

C．（2x+1）2+3=0 D．（22212x-a）2=a

3．已知x+y+z-2x+4y-6z+14=0，則x+y+z的值是（ ）．

A．1 B．2 C．-1 D．-2

二、填空題

1．如果x2+4x-5=0，則x=_______．

2．無論x、y取任何實數，多項式x2+y2-2x-4y+16的值總是_______數．

3．如果16（x-y）2+40（x-y）+25=0，那么x與y的關系是________．

三、綜合提高題

1．用配方法解方程．

（1）9y2-18y-4=0 （2）x2+3=23x

3eud教育網 教學資源集散地。可能是最大的免費教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

2．已知：x2+4x+y2-6y+13=0，求

3．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件贏利40元，?為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場決定采取適當降價措施，經調查發現，?如果每件襯衫每降價一元，商場平均每天可多售出2件．

①若商場平均每天贏利1200元，每件襯衫應降價多少元？

②每件襯衫降價多少元時，商場平均每天贏利最多？請你設計銷售方案．

答案:

一、1．D 2．B 3．B

二、1．1，-5 2．正 3．x-y=三、1．（1）y2-2y-495449x?2yx?y22的值．

，（y-1）2=139=0，y2-2y=，

y-1=±133，y1=133+1，y2=1-133

3eud教育網 教學資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網！

3eud教育網 百萬教學資源，完全免費，無須注冊，天天更新！

（2）x2-23x=-3 （x-3）2=?0，x1=x2=3

2．（x+2）2+（y-3）2=0，x1=-2，y2=3，

∴原式=?2?613??813

3．（1）設每件襯衫應降價x元，則（40-x）（20+2x）=1200，

2x-30x+200=0，x1=10，x2=20

（2）設每件襯衫降價x元時，商場平均每天贏利最多為y，

則y=-2x2+60x+800=-2（x2-30x）+800=-2[（x-15）2-225]+800=-2（x-15）2+1250

∵-2（x-15）2≤0，

∴x=15時，贏利最多，y=1250元．

答：略

3eud教育網 教學資源集散地?？赡苁亲畲蟮拿赓M教育資源網！