三角函數(shù)計算公式大全

2024年3月9日發(fā)(作者：自我介紹作文)

三角函數(shù)公式

三角函數(shù)是數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)中的超越函數(shù)的函數(shù)。它們的本質(zhì)是任何角的集合與一個比值

的集合的變量之間的映射。通常的三角函數(shù)是在平面直角坐標(biāo)系中定義的。其定義域為整個實數(shù)域。

另一種定義是在直角三角形中，但并不完全。現(xiàn)代數(shù)學(xué)把它們描述成無窮數(shù)列的極限和微分方程的

解，將其定義擴(kuò)展到復(fù)數(shù)系。

三角函數(shù)公式看似很多、很復(fù)雜，但只要掌握了三角函數(shù)的本質(zhì)及內(nèi)部規(guī)律，就會發(fā)現(xiàn)三角函

數(shù)各個公式之間有強(qiáng)大的聯(lián)系。而掌握三角函數(shù)的內(nèi)部規(guī)律及本質(zhì)也是學(xué)好三角函數(shù)的關(guān)鍵所在。

定義式

銳角三角函數(shù)

任意角三角函數(shù)

圖形

直角三角形

任意角三角函數(shù)

正弦（sin）

余弦（cos）

正切（tan或t

g）

余切（cot或c

tg）

正割（c）

余割（csc）

表格參考資料來源：現(xiàn)代漢語詞典

[1]

．

函數(shù)關(guān)系

倒數(shù)關(guān)系：① ；② ；③

商數(shù)關(guān)系：①

平方關(guān)系：①

③ ．

；②

．

；② ；

誘導(dǎo)公式

公式一：設(shè) 為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：

公式二：設(shè) 為任意角， 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

公式三：任意角 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

公式四： 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

公式五： 與 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

公式六： 及 的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

記背訣竅：奇變偶不變，符號看象限

[2]

．即形如（2k+1）90°±α，則函數(shù)名稱變?yōu)橛嗝?/p>

數(shù)，正弦變余弦，余弦變正弦，正切變余切，余切變正切。形如2k×90°±α，則函數(shù)名稱不變。

誘導(dǎo)公式口訣“奇變偶不變，符號看象限”意義：

k×π/2±a(k∈z)的三角函數(shù)值．(1)當(dāng)k為偶數(shù)時，等于α的同名三角函數(shù)值，前面加上一

個把α看作銳角時原三角函數(shù)值的符號；

(2)當(dāng)k為奇數(shù)時，等于α的異名三角函數(shù)值，前面加上一個把α看作銳角時原三角函

數(shù)值的符號。

記憶方法一：奇變偶不變，符號看象限：

記憶方法二：無論α是多大的角，都將α看成銳角．

以誘導(dǎo)公式二為例：

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π+α是第三象限的角（終邊在第三象限），正弦函

數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值，余弦函數(shù)的函數(shù)值在第三象限是負(fù)值，正切函數(shù)的函數(shù)值在第三象

限是正值．這樣，就得到了誘導(dǎo)公式二．

以誘導(dǎo)公式四為例：

若將α看成銳角（終邊在第一象限），則π-α是第二象限的角（終邊在第二象限），正弦函

數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是正值，余弦函數(shù)的三角函數(shù)值在第二象限是負(fù)值，正切函數(shù)的三角函

數(shù)值在第二象限是負(fù)值．這樣，就得到了誘導(dǎo)公式四．

誘導(dǎo)公式的應(yīng)用：

運(yùn)用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化三角函數(shù)的一般步驟：

特別提醒：三角函數(shù)化簡與求值時需要的知識儲備：①熟記特殊角的三角函數(shù)值；②注意誘導(dǎo)

公式的靈活運(yùn)用；③三角函數(shù)化簡的要求是項數(shù)要最少，次數(shù)要最低，函數(shù)名最少，分母能最簡，

易求值最好。

基本公式

和差角公式

二角和差公式

證明如圖：負(fù)號的情況只需要用-

β

代替

β

即可．cot(

α

+

β

)推導(dǎo)只需把角

α

對邊設(shè)為1，

過程與tan(

α

+

β

)相同．

證明正切的和差角公式

證明正弦、余弦的和差角公式

三角和公式

和差化積公式

口訣：正加正，正在前，余加余，余并肩，正減正，余在前，余減余，負(fù)正弦．

積化和差公式

倍角公式

二倍角公式

三倍角公式

證明：

sin3a

=sin(a+2a)

=sin^2a·cosa+cos^2a·sina

=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina

=3sina-4sin^3a

cos3a

=cos(2a+a)

=cos^2acosa-sin^2asina

=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa

=4cos^3a-3cosa

sin3a

=3sina-4sin^3a

=4sina(3/4-sin^2a)

=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]

=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)

=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]

=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)

cos3a

=4cos^3a-3cosa

=4cosa(cos^2a-3/4)

=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]

=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)

=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}

=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)

=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]

=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]

=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)

上述兩式相比可得：

tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)

四倍角公式

sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sin^2a-1)]

cos4a=1+(-8*cos^2a+8*cos^4a)

tan4a=(4*tana-4*tan^3a)/(1-6*tan^2a+tan^4a)

五倍角公式

n

倍角公式

應(yīng)用歐拉公式：

.

上式用于求n倍角的三角函數(shù)時，可變形為：

所以

其中，Re表示取實數(shù)部分，Im表示取虛數(shù)部分．而

所以

n倍角的三角函數(shù)

半角公式

（正負(fù)由 所在的象限決定）

萬能公式

輔助角公式

．

證明：由于 ，顯然 ，且

故有：

其他公式

編輯

正弦定理

余弦定理

詳見詞條：正弦定理

在任意△

ABC

中，角

A

、

B

、

C

所對的邊長分別為

a

、

b

、

c

，三角形外接圓的半徑為

R

．則有

[3]

正弦定理變形可得：

余弦定理

詳見詞條：

余弦定理

：

余弦定理

對于如圖所示的邊長為

a

、

b

、

c

而相應(yīng)角為

α

、

β

、

γ

的△

ABC

，有：

也可表示為：

降冪公式

sin2α=[1-cos(2α)]/2

cos2α=[1+cos(2α)]/2

tan2α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·

sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·

sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tan

γ-tanγ·tanα)

冪級數(shù)

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它們的各項都是正整數(shù)冪的冪函數(shù), 其中c0,c1,c2,.....及a都是常數(shù)， 這種級數(shù)稱為冪級

數(shù)。

泰勒展開式

泰勒展開式又叫冪級數(shù)展開法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+…

實用冪級數(shù)：

ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+…+xn/n!+…,x∈R

ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-…+(-1)k-1xk/k, x∈(-1,1)

sin x = x-x3/3!+x5/5!-…+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cos x = 1-x2/2!+x4/4!-…+(-1)kx2k/(2k)!+…, x∈R

arcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) +

(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…+(2k+1)!!*x2k+1/(2k!!*(2k+1))+…, x∈(-1,1)（!!表示雙階乘）[4]

arccos x = π/2 -[x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)……], x∈(-1,1)

arctan x = x - x3/3 + x5/5 -…, x∈(-∞,1)

sinh x = x+x3/3!+x^/5!+…+x2k-1/(2k-1)!+…, x∈R

cosh x = 1+x2/2!+x^4/4!+…+x2k/(2k)!+…, x∈R

arcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7)…, x∈(-1,1)

arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + …, x∈(-1,1)

在解初等三角函數(shù)時，只需記住公式便可輕松作答，在競賽中，往往會用到與圖像結(jié)合的方法

求三角函數(shù)值、三角函數(shù)不等式、面積等等。

傅里葉級數(shù)

傅里葉級數(shù)

傅里葉級數(shù)又稱三角級數(shù)

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx