數(shù)學(xué)腦筋急轉(zhuǎn)彎

2024年3月23日發(fā)(作者：物理小知識)

數(shù)學(xué)腦筋急轉(zhuǎn)彎

數(shù)學(xué)腦筋急轉(zhuǎn)彎題目：

1. 有一個房間里有3個袋子，分別標(biāo)有“A”，“B”，“C”。袋子

A里有2個紅球，袋子B里有2個白球，袋子C里有一紅一

白兩個球。現(xiàn)在有人隨機(jī)選擇了一個袋子，并從中隨機(jī)取出了

一個球。他取出的球是紅色。請問，他從哪個袋子取出的球的

可能性最大？

2. 有12個硬幣，其中有一個是假幣，但只能通過天平來判斷

出假幣比真幣輕一些。請問最少需要稱幾次才能確定假幣的位

置？

3. 英國有10個鐘樓，每個鐘樓放置了一個獨(dú)特的時鐘。有人

聲稱這些時鐘有一個相同的問題，即它們都顯示的時間都不準(zhǔn)

確，但都一樣不準(zhǔn)確。現(xiàn)在，一個數(shù)學(xué)家觀察了所有的時鐘，

并稱只需要觀察兩個鐘樓就可以確定其他所有鐘樓的時間。請

問這兩個鐘樓是哪兩個？

4. 有一個植物的種子落在了一個農(nóng)田的某個位置上，這個種子

每天可以向上生長10厘米，也可以向下生長5厘米。如果種

子向上生長，它將在第3天到達(dá)5厘米高度的位置停止生長。

如果種子向下生長，它將在第2天到達(dá)15厘米高度的位置停

止生長。如果開始時種子的高度是0厘米，請問種子最早在幾

天后會停止生長？

5. 有100盞燈，初始狀態(tài)下都是關(guān)閉的。現(xiàn)在有100個人，每

個人按照以下規(guī)則操作：如果燈是關(guān)閉的則打開它，如果燈是

打開的則關(guān)閉它。第1個人會將所有的燈都打開，第2個人會

將2的倍數(shù)的燈關(guān)閉，第3個人會將3的倍數(shù)的燈進(jìn)行操作

（如果是關(guān)閉則打開，如果是打開則關(guān)閉），以此類推。請問

最后有幾盞燈是打開的？

解答：

1. 這個問題涉及條件概率和貝葉斯準(zhǔn)則。設(shè)事件A為從袋子

A中取出紅球，事件B為從袋子B中取出紅球，事件C為從

袋子C中取出紅球。根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則，我們需要計(jì)算P(A|紅

球)、P(B|紅球)和P(C|紅球)的概率。根據(jù)貝葉斯準(zhǔn)則：

P(A|紅球) = P(紅球|A) * P(A) / (P(紅球|A) * P(A) + P(紅球|B) *

P(B) + P(紅球|C) * P(C))

P(B|紅球) = P(紅球|B) * P(B) / (P(紅球|A) * P(A) + P(紅球|B) *

P(B) + P(紅球|C) * P(C))

P(C|紅球) = P(紅球|C) * P(C) / (P(紅球|A) * P(A) + P(紅球|B) *

P(B) + P(紅球|C) * P(C))

根據(jù)題目所給信息，可以得到以下概率：

P(紅球|A) = 1

P(紅球|B) = 0

P(紅球|C) = 1/2

P(A) = 1/3

P(B) = 1/3

P(C) = 1/3

代入計(jì)算可以得到：

P(A|紅球) = 1 * 1/3 / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1/2 * 1/3) = 2/3

P(B|紅球) = 0 * 1/3 / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1/2 * 1/3) = 0

P(C|紅球) = 1/2 * 1/3 / (1 * 1/3 + 0 * 1/3 + 1/2 * 1/3) = 1/3

因此，他從袋子A取出紅球的可能性最大。

2. 可以采用二分法，將12個硬幣分成3組，每組各包含4個

硬幣。然后，將兩組放在天平兩邊進(jìn)行比較。有三種結(jié)果：

- 如果天平平衡，則說明假幣在第三組中。將12個硬幣分成3

組后，再次將兩組放在天平兩邊進(jìn)行比較。如果天平平衡，那

么剩下的兩個硬幣中肯定包含假幣，通過一次比較即可找到。

- 如果天平不平衡，那么說明假幣在其中一個組中。將不平衡

的那組繼續(xù)分成2組，再次進(jìn)行比較。如果天平平衡，則說明

假幣在剩下的那組中，通過一次比較即可找到。

- 如果天平不平衡，那么說明假幣在其中一組中。將不平衡的

那組繼續(xù)分成2組，再次進(jìn)行比較。如果天平平衡，則說明假

幣就是剩下的那個未參與比較的硬幣。

通過以上思路，最少需要稱3次才能確定假幣的位置。

3. 可以通過觀察每個鐘樓的時間與其他所有鐘樓時間差的最小

公倍數(shù)來判斷。假設(shè)時鐘顯示的時間有k分鐘的偏移，那么最

小公倍數(shù)一定可以被所有鐘樓的時間偏移整除。故只需要找到

兩個時鐘的時間差的最小公倍數(shù)就可以推斷其他時鐘的時間。

4. 種子每天的高度可以用一個數(shù)列表示：0, 10, 5, 15, 10, 20, 15,

25, ...。奇數(shù)天數(shù)種子上升，偶數(shù)天數(shù)種子下降。我們可以觀

察到，種子每隔4天會回到初始高度。所以，種子最早在第4

天會停止生長。

5. 在這個問題中，假設(shè)第m盞燈被關(guān)了k次，而其他滿足m

的正整數(shù)倍的燈也會被關(guān)閉k次。只有當(dāng)k是奇數(shù)時，第m

盞燈最終才會被打開。這是因?yàn)檎麛?shù)k的因子個數(shù)是奇數(shù)時，

k才會是奇數(shù)。因?yàn)檎麛?shù)的因子總是成對出現(xiàn)的，除非有一

個因子是平方數(shù)，則可以單獨(dú)出現(xiàn)一次。由于平方數(shù)的平方根

只有整數(shù)時才是整數(shù)，所以只有平方數(shù)的因子個數(shù)是奇數(shù)。

所以，問題可以轉(zhuǎn)化為：找到100盞燈中平方數(shù)的個數(shù)。根據(jù)

平方數(shù)的性質(zhì)，1 * 1 = 1，2 * 2 = 4，3 * 3 = 9，...，10 * 10 =

100，共有10個平方數(shù)。因此，最后有10盞燈是打開的。