中考數(shù)學(xué)圓內(nèi)心外心

2024年3月23日發(fā)(作者：調(diào)研工作)

圓重、難點(diǎn)突破

前言：元月調(diào)考圓的知識(shí)占據(jù)較大比重，這里抓出一些常考的重點(diǎn)、難點(diǎn)題型做專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練。

第1個(gè)問(wèn)題 內(nèi)心、外心知多少

【2013元調(diào) 第10題】

如圖，點(diǎn)I和O分別是△ABC的內(nèi)心和外心，則∠AIB和∠AOB的關(guān)系為（ ）

A、

?AIB??AOB

B、

?AIB??AOB

C、

2?AIB?

C

11

?AOB?180

o

D、

2?AOB??AIB?180

o

22

I

O

B

分析：外心：圓在三角形外，經(jīng)過(guò)三角形3個(gè)頂點(diǎn)

A

三角形外接圓的圓心，圓心到3個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，它是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)。

內(nèi)心：圓在三角形內(nèi)，與三邊都相切

三角形內(nèi)切圓的圓心，圓心到三邊的距離相等，它是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。

∠AIB和∠AOB 都與 ∠C 有關(guān)系，∠AOB=2∠C，

∠AIB=180°

?

（∠IAB+∠IBA）=180°

?

C

111

（∠A+∠B）=180°-∠C）=90°+∠C

?

（180°

222

C

I

A

O

B

A

A

B

外心和內(nèi)心的考查很頻繁

外心考查重點(diǎn)：①圓周角與圓心角的轉(zhuǎn)換，如2013中考第22題

如圖，△ABC為等腰三角形，AB=AC，則∠BEC=∠BOD

E

O

D

C

B

②直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)，反之說(shuō)明是直角三角形（2013中考第25題）

內(nèi)心的考查更靈活：常考角度、面積

111

（1）

?BOC?90

o

??A,?BOA?90

o

??C,?AOC?90

o

??B

222

1

（2）

S

V

ABC

?(a?b?c)r

，a、b、c為三邊長(zhǎng)，r是內(nèi)切圓的半徑

2

A

D

O

B

EC

F

當(dāng)

?BAC?90

o

時(shí)，四邊形ADOF為正方形，

r?

a?b?c

2

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圓重、難點(diǎn)突破

【例題1】如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P為半圓上一點(diǎn)（不與A、B重合），點(diǎn)I為△ABP的內(nèi)心，連接

PI交⊙O于點(diǎn)M，IN⊥BP于N，下列結(jié)論： ①∠APM=45°；②AB=

2

IM；③∠BIM=∠BAP；

④

2

IN?OB

=

2

PM

；其中正確的個(gè)數(shù)有________________

A、1個(gè) B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)

分析：

①題目中給出直徑、圓上的點(diǎn)這樣的字眼

想到：直徑所對(duì)圓周角等于180度，則△ABP是直角三角形

②I為內(nèi)心，內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線即為內(nèi)角平分線

則PI平分

?APB

，所以∠APM=45°。

圓中題目涉及角平分線的，除了滿足角平分線本身的性質(zhì)與定理外，還要注意

P

45

N

I

A

x

x

45

B

M

P

N

I

弧、弦、角、距四組量，有角等，其余皆成立。這里

?APM??BPM

，則AM=BM

則△AMB為等腰直角三角形，AM=BM，AB=

③欲證AB=

2

AM

x

2

IM，則證IM=AM 或 IM=BM 即可。令

?IAB??IAP?x

，則

A

x

45

B

?IAM?45?x,?AIM?45?x

（內(nèi)心性質(zhì)、外角等于不相鄰2內(nèi)角之和）

④對(duì)于∠BIM=∠BAP這個(gè)結(jié)論，最好的辦法是取極端位置迅速判別，

若P在

?

AB

中點(diǎn)處，顯然∠BIM=∠BAP不成立

⑤式子看起來(lái)很復(fù)雜，看見(jiàn)

2

聯(lián)系等腰直角三角形。本題的主線是

內(nèi)角平分線，新觀察上有針對(duì)訓(xùn)練，這里不多復(fù)述。過(guò)點(diǎn)M作AP、BP

P

N

I

A

C

D

O

B

M

2

邊的垂線，易證PCMD為正方形。AB=2OB，則IM=AM=

AB，

2

而AB=2OB，所以IM=

2

OB，又PI=

2

IN，所以

PM=

2

（IN+OB），證畢

M

【例題2】（2013黃岡一模）如圖，△ABC中，下面說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）個(gè)

①若O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=100°；

②若O是△ABC的，∠A=50°，則∠BOC=115°；

③若BC=6，AB+AC=10，則△ABC的面積的最大值是12；

④△ABC的面積是12，周長(zhǎng)是16，則其內(nèi)切圓的半徑是1；

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