高等數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)

高數(shù)重點(diǎn)總結(jié)

1、基本初等函數(shù)：反函數(shù)(y=arctanx)，對(duì)數(shù)函數(shù)(y=lnx)，冪函數(shù)(y=x)，指數(shù)函數(shù)(xay?

)，

三角函數(shù)(y=sinx)，常數(shù)函數(shù)(y=c)

2、分段函數(shù)不是初等函數(shù)。

3、無窮?。焊唠A+低階=低階例如：1limlim

0

2

0

??

?

??x

x

x

xx

xx

4、兩個(gè)重要極限：??e

x

ex

x

xx

x

x

xx

?

?

?

?

?

?

?

????

????

1

1lim1lim)2(1

sin

lim)1(

1

00

經(jīng)驗(yàn)公式：當(dāng)

????)(,0)(,

0

xgxfxx，??)()(lim

)(

0

0

)(1lim

xgxf

xg

xx

xxexf???

?

例如：??3

3

lim

1

0

031lim?

?

?

?

?

?

?

?

?

????eexx

x

x

x

x

5、可導(dǎo)必定連續(xù)，連續(xù)未必可導(dǎo)。例如：||xy?連續(xù)但不可導(dǎo)。

6、導(dǎo)數(shù)的定義：??

0

0

0

0

'

)()(

lim)('

)()(

lim

0

xf

xx

xfxf

xf

x

xfxxf

xxx

?

?

?

?

?

???

???

7、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：

??

??)(')('

)(

xgxgf

dx

xgdf

??

例如：

xxx

x

xx

x

yxxy

?

?

?

?

?

???

24

12

2

2

1

1

',

8、隱函數(shù)求導(dǎo)：(1)直接求導(dǎo)法；(2)方程兩邊同時(shí)微分，再求出dy/dx

例如：

y

x

dx

dy

ydyxdx

y

x

yyyx

yx

????

?????

??

22,),2(

'0'22,),1(

122

左右兩邊同時(shí)微分法

左右兩邊同時(shí)求導(dǎo)解：法

9、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo)：若

?

?

?

?

?

)(

)(

thx

tgy

，則

)('

)('

/

/

th

tg

dtdx

dtdy

dx

dy

??，其二階導(dǎo)數(shù)：

??

??

)('

)('/)('

/

)/(

/

2

2

th

dt

thtgd

dtdx

dt

dxdyd

dx

dxdyd

dx

yd

???

10、微分的近似計(jì)算：

)(')()(

000

xfxxfxxf??????

例如：計(jì)算?31sin

11、函數(shù)間斷點(diǎn)的類型：(1)第一類：可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)；例如：

x

x

y

sin

?（x=0

是函數(shù)可去間斷點(diǎn)），)sgn(xy?（x=0是函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)）(2)第二類：振蕩間斷點(diǎn)

和無窮間斷點(diǎn)；例如：?

?

?

?

?

?

?

x

xf

1

sin)(（x=0是函數(shù)的振蕩間斷點(diǎn)），

x

y

1

?（x=0是函

數(shù)的無窮間斷點(diǎn)）

12、漸近線：

水平漸近線：cxfy

x

??

??

)(lim

鉛直漸近線：.)(lim是鉛直漸近線，則若，axxf

ax

???

?

斜漸近線：??axxfb

x

xf

abaxy

xx

?????

????

)(lim,

)(

lim,即求設(shè)斜漸近線為

例如：求函數(shù)

1

1

2

23

?

???

?

x

xxx

y的漸近線

13、駐點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，若f'(x0)=0，稱x0是駐點(diǎn)。

14、極值點(diǎn)：令函數(shù)y=f(x)，給定x0的一個(gè)小鄰域u(x0,δ),對(duì)于任意x∈u(x0,δ)，都

有f(x)≥f(x0)，稱x0是f(x)的極小值點(diǎn)；否則，稱x0是f(x)的極大值點(diǎn)。極小值點(diǎn)與極

大值點(diǎn)統(tǒng)稱極值點(diǎn)。

15、拐點(diǎn)：連續(xù)曲線弧上的上凹弧與下凹弧的分界點(diǎn)，稱為曲線弧的拐點(diǎn)。

16、拐點(diǎn)的判定定理：令函數(shù)y=f(x)，若f"(x0)=0，且x0；x>x0時(shí)，f"(x)<0

或xx0時(shí)，f"(x)>0，稱點(diǎn)(x0，f(x0))為f(x)的拐點(diǎn)。

17、極值點(diǎn)的必要條件：令函數(shù)y=f(x)，在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，且x0是極值點(diǎn)，則f'(x0)=0。

18、改變單調(diào)性的點(diǎn)：

0)('

0

?xf

，

)('

0

xf

不存在，間斷點(diǎn)（換句話說，極值點(diǎn)可能是

駐點(diǎn)，也可能是不可導(dǎo)點(diǎn)）

19、改變凹凸性的點(diǎn)：

0)("

0

?xf

，

)(''

0

xf

不存在（換句話說，拐點(diǎn)可能是二階導(dǎo)數(shù)

等于零的點(diǎn)，也可能是二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)）

20、可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

21、中值定理：

(1)羅爾定理：)(xf在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)?，使得0)('??f

(2)拉格朗日中值定理：)(xf在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)?，使得

)(')()()(?fabafbf???

(3)積分中值定理：)(xf在區(qū)間[a,b]上可積，至少存在一點(diǎn)?，使得

)()()(?fabdxxf

b

a

???

22、常用的等價(jià)無窮小代換：

333

2

3

1

~tan,

6

1

~sin,

2

1

~sintan

2

1

~cos1

)1ln(~)11(2~1~tan~arctan~arcsin~sin~

xxxxxxxxx

xx

xxexxxxxx

???

?

????

23、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法：例如，xxy?

，??1ln'1ln'

1

lnln???????xxyxy

y

xxyx解：

24、洛必達(dá)法則：適用于“

0

0

”型，“

?

?

”型，“??0”型等。當(dāng)

?????/0)(,/0)(,

0

xgxfxx

，)('),('xgxf皆存在，且0)('?xg，則

)('

)('

lim

)(

)(

lim

00xg

xf

xg

xf

xxxx??

?例如，

2

1

2

sin

lim

0

0

2

cos

lim

0

01sin

lim

00

2

0

?

????

???

xe

x

xe

x

xex

x

x

x

x

x

25、無窮大：高階+低階=高階例如，

??????

4

2

2

lim

2

321

lim

5

3

2

5

32

??

??

??????x

xx

x

xx

xx

26、不定積分的求法

(1)公式法

(2)第一類換元法（湊微分法）

(3)第二類換元法：哪里復(fù)雜換哪里，常用的換元：1)三角換元：22xa?，可令

taxsin?；22ax?，可令taxtan?；22ax?，可令taxc?2)當(dāng)有理分式函

數(shù)中分母的階較高時(shí)，常采用倒代換

t

x

1

?

27、分部積分法：????vduuvudv，選取u的規(guī)則“反對(duì)冪指三”，剩下的作v。分部

積分出現(xiàn)循環(huán)形式的情況，例如：dxxxdxex??3c,cos