排列組合公式——熊雄
排列定義：從n個不同的元素中，取r個不重復的元素，按次序排列，稱為從n個中取r個的無重排列。排列的全體組成的集合用 P(n,r)表示。
組合定義：從n個不同元素中取r個不重復的元素組成一個子集，而不考慮其元素的順序，稱為從n個中取r個的無重組合。組合的個數用C(n,r)表示。
一、排列組合部分是中學數學中的難點之一，原因在于
(1)從千差萬別的實際問題中抽象出幾種特定的數學模型，需要較強的抽象思維能力；
(2)限制條件有時比較隱晦，需要我們對問題中的關鍵性詞(特別是邏輯關聯詞和量詞)準確理解；
(3)計算手段簡單，與舊知識聯系少，但選擇正確合理的計算方案時需要的思維量較大；
(4)計算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗，要求我們搞清概念、原理，并具有較強的分析能力。
二、兩個基本計數原理及應用
1.分類計數原理(加法原理)
完成一件事，有類辦法，在第1類辦法中有種不同的方法，在第2類辦法中有種不同的方法，…，在第類辦法中有種不同的方法，那么完成這件事共有：
種不同的方法．
2.分步計數原理（乘法原理）
完成一件事，需要分成個步驟，做第1步有種不同的方法，做第2步有種不同的方法，…，做第步有種不同的方法，那么完成這件事共有：
種不同的方法．
分類計數原理方法相互獨立，任何一種方法都可以獨立地完成這件事。
分步計數原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一個階段，不能完成整個事件．
解決排列組合綜合性問題的一般過程如下:
2.怎樣做才能完成所要做的事,即采取分步還是分類,或是分步與分類同時進行,確定分多少步及多少類。
3.確定每一步或每一類是排列問題(有序)還是組合(無序)問題,元素總數是多少及取出多少個元素.
4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略
具體情況分析
例1.由0,1,2,3,4,5可以組成多少個沒有重復數字五位奇數.
解:由于末位和首位有特殊要求,應該優先安排,以免不合要求的元素占了這兩個位置. 先排末位共有
然后排首位共有
最后排其它位置共有
由分步計數原理得
位置分析法和元素分析法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其它元素.若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其它位置。若有多個約束條件，往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其它條件
練習題:7種不同的花種在排成一列的花盆里,若兩種葵花不種在中間，也不種在兩端的花盆
里，問有多少不同的種法？
例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相鄰且丙丁相鄰, 共有多少種不同的排法.
解：可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排。由分步計數原理可得共有種不同的排法
要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其它元素一起作排列,同時要注意合并元素內部也必須排列.
練習題:某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一起的情形的不同種數為 20
例3.一個晚會的節目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱,舞蹈節目不能連續出場,則節目的出場順序有多少種？
解:分兩步進行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包含首尾兩個空位共有種不同的方法,由分步計數原理,節目的不同順序共有 種
元素相離問題可先把沒有位置要求的元素進行排隊再把不相鄰元素插入中間和兩端
練習題：某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個新節目插入原節目單中，且兩個新節目不相鄰，那么不同插法的種數為 30
例4.7人排隊,其中甲乙丙3人順序一定共有多少不同的排法
解:(倍縮法)對于某幾個元素順序一定的排列問題,可先把這幾個元素與其他元素一起進行排列,然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數,則共有不同排法種數是：
(空位法)設想有7把椅子讓除甲乙丙以外的四人就坐共有種方法，其余的三個位置甲乙丙共有 1種坐法，則共有種方法。
思考:可以先讓甲乙丙就坐嗎?
（插入法)先排甲乙丙三個人,共有1種排法,再把其余4四人依次插入共有 方法
練習題:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？
例5.把6名實習生分配到7個車間實習,共有多少種不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名實習生分配到車間有 7 種分法.把第二名實習生分配到車間也有7種分依此類推,由分步計數原理共有種不同的排法
允許重復的排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可以逐一安排各個元素的位置，一般地n不同的元素沒有限制地安排在m個位置上的排列數為種
練習題：
1．某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為 42
2. 某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人,他們到各自的一層下電梯,下電梯的方法
例6. 8人圍桌而坐,共有多少種坐法?
解：圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人并從此位置把圓形展成直線其余7人共有（8-1）！種排法即！
練習題：6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈 120
例7.8人排成前后兩排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
解:8人排前后兩排,相當于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.個特殊元素有種,再排后4個位置上的特殊元素丙有種,其余的5人在5個位置上任意排列有種,則共有種
一般地,元素分成多排的排列問題,可歸結為一排考慮,再分段研究.
練習題：有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是 346
例8.有5個不同的小球,裝入4個不同的盒內,每盒至少裝一個球,共有多少不同的裝法.
解:第一步從5個球中選出2個組成復合元共有種方法.再把4個元素(包含一個復合元素)裝入4個不同的盒內有種方法，根據分步計數原理裝球的方法共有
解決排列組合混合問題,先選后排是最基本的指導思想.此法與相鄰元素捆綁策略相似嗎?
練習題：一個班有6名戰士,其中正副班長各1人現從中選4人完成四種不同的任務,每人完成一種任務,且正副班長有且只有1人參加,則不同的選法有 192 種
例9.用1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數其中恰有兩個偶數夾1,５在兩個奇數之間,這樣的五位數有多少個？
