排列組合問題的基本模型及解題方法
導語：解決排列組合問題要講究策略，首先要認真審題，弄清楚是排列(有序)還是組合(無序)，還是排列與組合混合問題。其次，要抓住問題的本質特征，準確合理地利用兩個基本原則進行“分類與分步”。加法原理的特征是分類解決問題，分類必須滿足兩個條件：①類與類必須互斥(不相容)，②總類必須完備(不遺漏)；乘法原理的特征是分步解決問題，分步必須做到步與步互相獨立，互不干擾并確保連續性。分類與分步是解決排列組合問題的最基本的思想策略，在實際操作中往往是“步”與“類”交叉，有機結合，可以是類中有步，也可以是步中有類，以上解題思路分析，可以用順口溜概括為：審明題意，排（組）分清；合理分類，用準加乘；周密思考，防漏防重；直接間接，思路可循；元素位置，特殊先行；一題多解，檢驗真偽。注意以下幾點：
1、解排列組合應用題的一般步驟為：
①什么事：明確要完成的是一件什么事（審題）；
②怎么做：分步還是分類，有序還是無序。
2、解排列組合問題的思路
（1）兩種思路：直接法，間接法。
（2）兩種途徑：元素分析法，位置分析法。
3、基本模型及解題方法：
(一)、元素相鄰問題
（1）、全相鄰問題，捆邦法
例1、6名同學排成一排，其中甲，乙兩人必須排在一起的不同排法有（ C ）種。
A、720 B、360 C、240 D、120
說明：從上述解法可以看出，所謂“捆邦法”，就是在解決對于某幾個元素要求相鄰問題時，可以整體考慮將相鄰元素視作一個“大”元素。
（2）、全不相鄰問題插空法
例2、要排一張有6個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單，任何兩個舞蹈節目不得相鄰，問有多少不同的排法，
解：先將6個歌唱節目排好，其中不同的排法有6！，這6個節目的空隙及兩端共有七個位置中再排4個舞蹈節目有種排法，由乘法原理可知，任何兩個舞蹈節目不得相鄰的排法為種
例3、高三（一）班學要安排畢業晚會的4各音樂節目，2個舞蹈節目和1個曲藝節目的演出順序，要求兩個舞蹈節目不連排，則不同排法的種數是
A、1800 B、3600 C、4320 D、5040
解：不同排法的種數為＝3600，故選B
說明：從解題過程可以看出，不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰，由其它元素將它隔開，此類問題可以先將其它元素排好，再將特殊元素插入，故叫插空法。
（3）、不全相鄰排除法，排除處理
例4、五個人站成一排，其中甲、乙、丙三人有兩人相鄰，有多少排法？
解：
例5、有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現安排2人就座，規定前排中間的3個座位不能坐，并且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數是
解法一： ①前后各一個，有8×12×2＝192種方法
②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32種方法
③兩人都在前排：兩人都在前排左邊的四個位置：
此種情況共有4＋2＝6種方法
因為兩邊都是4個位置，都坐右邊亦有6種方法，所以坐在第一排總共有6＋6＝12種方法
④兩人都坐在第二排位置，先規定甲左乙右
∴ 甲左乙右總共有種方法．同樣甲、乙可互換位置，乙左甲右也同樣有55種方法，所以甲、乙按要求同坐第二排總共有55×2＝110種方法。綜上所述，按要求兩人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346種
解法二：考慮20個位置中安排兩個人就坐，并且這兩人左右不相鄰，4號座位與5號座位不算相鄰（坐在前排相鄰的情況有12種。），7號座位與8號座位不算相鄰（坐在后排相鄰的情況有22種。），共有種
（二）、定序問題縮倍法
例6、信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號，現有3面紅旗、2面白旗，把5面旗都掛上去，可表示不同信號的種數是（ ）（用數字作答）。
解：5面旗全排列有種掛，由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能作一次的掛法，故有
說明:在排列的問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序問題,這類問題用縮小倍數的方法求解比較方便.
例7、某工程隊有6項工程需要單獨完成，其中工程乙必須在工程甲完成后才能進行，工程丙必須在工程乙完成后才能進行，有工程丁必須在工程丙完成后立即進行。那么安排這6項工程的不同排法種數是 。
解一：依題意，只需將剩余兩個工程插在由甲、乙、丙、丁四個工程形成的5個空中（插一個或二個），可得有＝30種不同排法。
解二：=30
例8、由數字0、1、2、3、4、5組成沒有重復數字的6位數，其中個位數字小于十位的數字的共有（ ）
A、210個 B、300個 C、464個 D、600個
解： 故選B
（三）、多元問題分類法
例9．某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人),其中甲和乙不同去,甲和丙只能同去或同不去,則不同的選派方案共有 種
解析：某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教(每地1人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可以分情況討論，① 甲、丙同去，則乙不去，有=240種選法；②甲、丙同不去，乙去，有=240種選法；③甲、乙、丙都不去，有種選法，共有600種不同的選派方案．
例10、設集合。選擇I的兩個非空子集A和B，要使B中最小的數大于A中最大的數，則不同的選擇方法共有 (B)
A、 B、 C、 D、
解析：若集合A、B中分別有一個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有一個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有一個元素，集合B中有四個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有兩個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=10種；若集合A中有兩個元素，集合B中有兩個個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有兩個元素，集合B中有三個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有三個元素，集合B中有一個元素，則選法種數有=5種；若集合A中有三個元素，集合B中有兩個元素，則選法種數有=1種；若集合A中有四個元素，集合B中有一個元素，則選法種 數有=1種；總計有，選B.
解法二：集合A、B中沒有相同的元素，且都不是空集，
從5個元素中選出2個元素，有=10種選法，小的給A集合，大的給B集合；
從5個元素中選出3個元素，有=10種選法，再分成1、2兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有2×10=20種方法；
從5個元素中選出4個元素，有=5種選法，再分成1、3；2、2；3、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有3×5=15種方法；
從5個元素中選出5個元素，有=1種選法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1兩組，較小元素的一組給A集合，較大元素的一組的給B集合，共有4×1=4種方法；
總計為10+20+15+4=49種方法。選B.
例11、將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（ ）
A、10種 B、20種 C、36種 D、52種
解析：將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，分情況討論：①1號盒子中放1個球，其余3個放入2號盒子，有種方法；②1號盒子中放2個球，其余2個放入2號盒子，有種方法；則不同的放球方法有10種，選A．
說明：元素多，取出的情況也多種，可按要求分成互不相容的幾類情況分別計算，最后總計。
（四）、元素交叉問題集合法（二元否定問題，依次分類）
例12、從6名運動員中選出4名參加4×100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少種不同的參賽方法？
解：設全集U={6人中任選4人參賽的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根據求集合元素的個數的公式可得參賽方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252
例13、某天的課表要排入語文、數學、英語、物理、化學、體育共六門課程，且上午安排
四節課，下午安排兩節課。
（1）若第一節不排體育，下午第一節不排數學，一共有多少種不同的排課方法？
（2）要求數學、物理、化學不能排在一起（上午第四節與下午第一節不算連排），有多少種不同的排課方法？
例14、同室4人各寫一張賀年卡，先集中起來，然后每人從中拿一張別人送來的賀年卡，則四張賀年卡不同的分配方式有（ ）
A、6種 B、9種 C、11種 D、23種
解：此題可以看成是將數字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一數，且每個方格的標號與所填數字不同的填法問題。所以先將1填入2至4的3個方格里有3種填法；第二步把被填入方格的對應數字填入其它3個方格，又有3種填法；第三步將余下的兩個數字填入余下的兩格中只有一種填法，故共有3×3×1=9種填法。故選B
說明：求解二元否定問題先把某個元素按規定排入，再排另一個元素，如此繼續下去，依此即可完成。
例15、安排5名歌手的演出順序時，要求某名歌手不第一個出場，另一名歌手不最后一個出場，不同排法的總數是 .(用數字作答) 。（答：78種）
說明：某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素的個數的公式來求解。
（五）、多排問題單排法
例16、兩排座位，第一排有3個座位，第二排有5個座位，若8名學生入座（每人一座位），則不同的座法為（ ）
A、 B、 C、 D、
解：此題分兩排座可以看成是一排座，故有 種座法。∴選D
說明：把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。
（六）、至多、至少問題分類法 或 間接法（去雜處理）
含“至多”或“至少”的排列組合問題，是需要分類問題，或排除法。排除法，適用于反面情況明確且易于計算的情況。
例17、從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有 （ ）
