六年綜合練習題十二答案（比和比例關系）
比和比例，是小學數學中的最后一個內容，也是學習更多數學知識的重要基礎.有了“比”這個概念和表達方式，處理倍數、分數等問題，要方便靈活得多.我們希望，小學同學學完這一講，對“除法、分數、比例實質上是一回事，但各有用處”有所理解.
這一講分三個內容：
一、比和比的分配；
二、倍數的變化；
三、有比例關系的其他問題.
一、比和比的分配
最基本的比例問題是求比或比值.從已知一些比或者其他數量關系，求出新的比.
例1 甲、乙兩個長方形，它們的周長相等.甲的長與寬之比是3∶2，乙的長與寬之比是7∶5.求甲與乙的面積之比.
解：設甲的周長是2.
甲與乙的面積之比是
答：甲與乙的面積之比是864∶875.
作為答數，求出的比最好都寫成整數.
例2 如右圖，ABCD是一個梯形，E是AD的中點，直線CE把梯形分成甲、乙兩部分，它們的面積之比是10∶7.
求上底AB與下底CD的長度之比.
解：因為E是中點，三角形CDE與三角形CEA面積相等.
三角形ADC與三角形ABC高相等，它們的底邊的比AB∶CD=三角形ABC的面積∶三角形ADC的面積
=（10-7）∶（7×2）= 3∶14.
答：AB∶CD=3∶14.
兩數之比，可以看作一個分數，處理時與分數計算幾乎一樣.三數之比，卻與分數不一樣，因此是這一節講述的重點.
例3 大、中、小三種杯子，2大杯相當于5中杯，3中杯相當于4小杯.如果記號表示2大杯、3中杯、4小杯容量之和，求與之比.
解：大杯與中杯容量之比是5∶2=10∶4，
中杯與小杯容量之比是4∶3，
大杯、中杯與小杯容量之比是10∶4∶3.
∶
=（10×2+4×3+3×4）∶（10×5+4×4+3×3）
=44∶75.
答：兩者容量之比是44∶75.
把5∶2與4∶3這兩個比合在一起，成為三樣東西之比10∶4∶3，稱為連比.例3中已告訴你連比的方法，再舉一個更一般的例子.
甲∶乙=3∶5，乙∶丙=7∶4，
3∶5=3×7∶5×7=21∶35，
7∶4=7×5∶4×5=35∶20，
甲∶乙∶丙=21∶35∶20.
花了多少錢？
解：根據比例與乘法的關系，
連比后是
甲∶乙∶丙=2×16∶3×16∶3×2
=32∶48∶63.
答：甲、乙、丙三人共花了429元.
例5 有甲、乙、丙三枚長短不相同的釘子，甲與乙
，而它們留在墻外的部分一樣長.問：甲、乙、丙的長度之比是多少？
解：設甲的長度是6份.
∶x=5∶4.
乙與丙的長度之比是
而甲與乙的長度之比是 6∶5=30∶25.
甲∶乙∶丙=30∶25∶26.
答：甲、乙、丙的長度之比是30∶25∶26.
于利用已知條件6∶5，使大部分計算都整數化.這是解比例和分數問題的常用手段.
例6 甲、乙、丙三種糖果每千克價分別是22元、30元、33元.某人買這三種糖果，在每種糖果上所花錢數一樣多，問他買的這些糖果每千克的平均價是多少元？
解一：設每種糖果所花錢數為1，因此平均價是
答：這些糖果每千克平均價是27.5元.
上面解法中，算式很容易列出，但計算卻使人感到不易.最好的計算方法是，用22，30，33的最小公倍數330，乘這個繁分數的分子與分母，就有：
事實上，有稍簡捷的解題思路.
解二：先求出這三種糖果所買數量之比.
不妨設，所花錢數是330，立即可求出，所買數量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10.
平均數是（15+11+10）÷3=12.
單價33元的可買10份，要買12份，單價是
下面我們轉向求比的另一問題，即“比的分配”問題，當一個數量被分成若干個數量，如果知道這些數量之比，我們就能求出這些數量.
例7 一個分數，分子與分母之和是100.如果分子加23，分母加32，
解：新的分數，分子與分母之和是（10+23+32），而分子與分母之比2∶3.因此
例8 加工一個零件，甲需3分鐘，乙需3.5分鐘，丙需4分鐘，現有1825個零件要加工，為盡早完成任務，甲、乙、丙應各加工多少個？所需時間是多少？
解：三人同時加工，并且同一時間完成任務，所用時間最少，要同時完成，應根據工作效率之比，按比例分配工作量.
三人工作效率之比是
他們分別需要完成的工作量是
所需時間是
700×3=2100分鐘）=35小時 .
答：甲、乙、丙分別完成700個，600個，525個零件，需要35小時.
這是三個數量按比例分配的典型例題.
例9 某團體有100名會員，男會員與女會員的人數之比是14∶11，會員分成三個組，甲組人數與乙、丙兩組人數之和一樣多.各組男會員與女會員人數之比是：
甲：12∶13，乙：5∶3，丙：2∶1，
那么丙有多少名男會員？
解：甲組的人數是100÷2=50（人）.
乙、丙兩組男會員人數是 56-24=32 （人）.
答：丙組有12名男會員.
上面解題的最后一段，實質上與“雞兔同籠”解法一致，可以設想，“兔
例10 一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程長之比依次是1∶2∶3.小龍走各段路程所用時間之比依次是4∶5∶6.已知他上坡時速度為每小時3千米，路程全長50千米.問小龍走完全程用了多少時間？
解一：通常我們要求出小龍走平路與下坡的速度，先求出走各段路程的速度比.
上坡、平路、下坡的速度之比是
走完全程所用時間
答：小龍走完全程用了10小時25分.
上面是通常思路下解題.1∶2∶3計算中用了兩次，似乎重復計算，最后算式也頗費事.事實上，靈活運用比例有簡捷解法.
解二：全程長是上坡這一段長的（1+2+3）=6（倍）.如果上坡用的時
設小龍走完全程用x小時.可列出比例式
二、比的變化
已知兩個數量的比，當這兩個數量發生增減變化后，當然比也發生變化.通過變化的描述，如何求出原來的兩個數量呢？這就是這一節的內容.
例11 甲、乙兩同學的分數比是5∶4.如果甲少得22.5分，乙多得22.5分，則他們的分數比是5∶7.甲、乙原來各得多少分？
解一：甲、乙兩人的分數之和沒有變化.原來要分成5+4=9份，變化后要分成5+7=12份.如何把這兩種分法統一起來？這是解題的關鍵.9與12的最小公倍數是36，我們讓變化前后都按36份來算.
5∶4=（5×4）∶（4×4）=20∶16.
5∶7=（5×3）∶（7×3）=15∶21.
甲少得22.5分，乙多得22.5分，相當于20-15=5份.因此原來
甲得22.5÷5×20=90（分），
乙得 22.5÷5×16=72（分）.
答：原來甲得90分，乙得72分.
我們再介紹一種能解本節所有問題的解法，也就是通過比例式來列方程.
解二：設原先甲的得分是5x，那么乙的得分是4x.根據得分變化，可列出比例式.
（5x-22.5）∶（4x+22.5）=5∶7
即 5（4x+22.5）=7（5x-22.5）
15x=12×22.5
x=18.
甲原先得分18×5=90（分），乙得18×4=72（分）.
解：其他球的數量沒有改變.
增加8個紅球后，紅球與其他球數量之比是
5∶（14-5）=5∶9.
在沒有球增加時，紅球與其他球數量之比是
1∶（3-1）=1∶2=4.5∶9.
因此8個紅球是5-4.5=0.5（份）.
現在總球數是
答：現在共有球224個.
本題的特點是兩個數量中，有一個數量沒有變.把1∶2寫成4.5∶9，就是充分利用這一特點.本題也可以列出如下方程求解：
（x+8）∶2x=5∶9.
例13 張家與李家的收入錢數之比是8∶5，開支的錢數之比是8∶3，結果張家結余240元，李家結余270元.問每家各收入多少元？
解一：我們采用“假設”方法求解.
如果他們開支的錢數之比也是8∶5，那么結余的錢數之比也應是8∶5.張家結余240元，李家應結余x元.有
