第4章 板的穩定
4.1 板的穩定微分方程
板按照其厚度可分為厚板、薄板和薄膜三種。將板的厚度t與板幅面的最小寬度b相比，如果t/b＞1/5～1/8時，板被稱為厚板；當1／80～1／100＜t/b＜1/5～1/8，這個范圍內的板稱為薄板；而當t/b＜1/80～1/100時，板被稱為薄膜。薄膜沒有抗彎剛度，完全靠薄膜張力來支承橫向荷載作用。薄板不僅具有抗彎剛度，還可能存在薄膜張力。
薄板在橫向荷載作用下，如果產生的撓度w ≤t/5，則屬于薄板的小撓度彎曲問題。此時，薄
板中的物理方程和內力表達式與彈性力學中平面應力問題的物理方程和內力表達式相同。薄板中于薄板上下表面等距離的面稱為中面。當薄板在中面內承受平行于中面的荷載而失穩時，也可以根據靜力平衡準則來確定板的臨界荷載。下面根據小撓度理論給出薄板的彈性穩定微分方程 圖4－1
（4.1）
式中：，為單位寬度板的抗彎剛度。式（4.1）是一個以撓度為未知量的常系數線性四階偏微分方程。
板的邊界條件表達式：
1）簡支邊：撓度w＝0，彎距＝0，即 ，由于板的邊界各點撓度均為零，則其曲率，故。
2）固定邊：撓度w＝0，斜率。
3）自由邊：彎距=0，即 ；剪力；扭矩＝0，均勻分布的扭矩等效于均勻分布的剪力，與可合并為。
4.2 受壓簡支板的彈性失穩
4.2.1 單向均勻受壓簡支板的彈性失穩
如圖4－2所示四邊簡支矩形板，板的中面上作用有、＝0、＝0；因此，板的彈性穩定微分方程式（4.1）為
圖4－2
（4.2）
根據板的邊界條件，當
和 時，w＝0、、；
和 時，w＝0、、.
符合這些邊界條件的板的撓曲面可用二重三角級數表示為
（4.3）
式中：m和n分別是板失穩時，在x和y方向的半波數， 為各項的待定常數。
對w微分兩次和四次后代入偏微分方程，得
（4.4）
由于和均不為零，也不為零，否則板仍然為平面平衡狀態，所以
解得 （4.5）
式中：. 只有當n=1時，式（4.5）有最小值，所以有意義的臨界荷載為 （4.6）
或 （4.7）
式中：K — 為穩定系數，. （4.8）
由，可得，K=4，則
要使上式成立， 必須是整數，如果 不是整數，則
或
計算臨界荷載時，m的取值應使K值最小。當n=1時，即在y方向成一個半波的條件下，K隨m和a / b成曲線關系，如圖4－2所示。
板的長寬比在時，m=1，板以一個半波的形式失穩；長寬比在與之間時，m=2，板以兩個半波的形式失穩；長寬比在與之間時，m=3，余類推。而當長寬比時，K值已非常接近于最小值。
由式（4.6）可得板的臨界應力
（4.9）
由式（4.9）可知，單向均勻受壓板的臨界應力與板的寬厚比的平方成反比，而與板的長度
無關。對于單向均勻受壓的矩形板，當加載邊為簡支，而非加載邊為各種不同的支承條件時，穩定系數K的最小值如表4－1。
表4－1
序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
非加載邊的支承條件 | 一邊簡支 一邊自由 | 一邊固定 一邊自由 | 兩邊簡支 | 一邊簡支 一邊固定 | 兩邊固定 |
穩定系數K | 0.425 | 1.280 | 4.000 | 5.420 | 6.970 |
| | | | | |
只有當時，同時邊界條件由簡支變為固定，穩定系數K才會有較大提高。通過上述討論可知，對于單向均勻受壓的狹長板，用增加橫向加勁肋來改變，從而提高穩定系數的做法并無明顯的效果；如果把加勁肋的間距取得小于2b又很不經濟。而對于很寬的薄板，如果采用縱向加勁肋以減少板的寬度b倒是有效的。例如在板的縱向中心加一條加勁肋時。
4.2.2 能量法計算簡支板的彈性失穩
四邊簡支的均勻受壓板，計算公式中每一項都有，因此，可以從各項中將其分離出來，這樣用平衡法求解很方便；而當板的支承條件不是簡支時，三角函數則無法分離，這時就需要用能量法來求解。
1）板的總勢能
已知 ，則彈性應變能
外力勢能
2）瑞利—李茲法
假設符合板的幾何邊界條件的撓曲面函數為
將此式代入總勢能公式中，經積分后，根據勢能駐值原理建立一組的線性代數方程組。其非零解的條件是方程組的系數行列式為零，即可得板的穩定方程。
3）伽遼金法
已知板的平衡偏微分方程為，需假定符合板的幾何與自然邊界條件的撓曲面函數，現假定撓曲面函數為
可得伽遼金方程組
上面方程組經積分后可得到的線性方程組，為得到它們的非零解，其系數行列式應為零，則可得穩定方程，由穩定方程可解的臨界荷載。
4.3 均勻受剪簡支板的彈性失穩
均勻受剪的四邊簡支板如圖4－4所示，在其對角線方向因受壓而失穩，失穩時板的波長與另一對角線方向的拉力有關。對于長板，失穩時的半波長度約為板寬的1.25倍。當采用能量法求解剪切臨界荷載時，板的撓曲面函數可用二重三角函數表示。但是對于均勻受剪的四邊簡支板，可以利用均勻受剪四邊簡支的正方形板來求解臨界荷載的近似值。 圖4－4
如采用伽遼金法求解時，板的中面力，而。板的平衡偏微分方程為
設滿足幾何和自然邊界條件的撓曲面函數為
（4.10）
伽遼金方程組為
（4.11a）
（4.11b）
將式（4.10）的偏微分代入式（4.11）經積分后得到
板的失穩條件是
解得
這個均勻受剪簡支板的剪切失穩臨界荷載計算結果與精確解相比，誤差為19％；如果采用更多項的撓曲面函數，則可提高解的精確度。
經過對矩形板更精確的理論分析，可得
式中：為剪切失穩系數，圖4－5給出了均勻受剪矩形板的剪切穩定系數。
對于四邊簡支的受剪板，剪切穩定系數
當時，
當時，
對于四邊固定的受剪板，剪切穩定系數
當時，
當時， 圖4－5
4.4 單向受壓簡支板的失穩后強度
以上研究的板的失穩都是建立在小撓度理論基礎上的，即認為板在失穩時的撓度遠小于其厚度，忽略了板失穩時中面上的薄膜拉力。如果板的支承構件剛度較大，板的臨界應力雖然不高，但失穩后并不破壞。板中的應力將重新分布，并產生薄膜拉力，使板的承載能力遠遠超過其臨界荷載，這種現象被稱為失穩后強度。此時，板的撓度與板的厚度相比已不是一個小量，所以需按大撓度理論來求解。
4.4.1 平衡偏微分方程
薄板失穩后，板的中面產生了數值遠大于其厚度的撓度，外荷載作用下中面力已不再是常量，在非荷載作用的方向也同時產生了中面力，因此需按大撓度理論研究薄板的失穩后強度。如圖6－6所示，從板中取出的微元體dxdyt上作用著中面力、和,
由這些中面力在x方向的平衡條件,忽略其中的高階微量后可得
（4.12）
同理，由這些中面力在y方向的平衡條件可得
（4.13）
由這些中面力在z方向的平衡條件可得 圖4－6
（4.14）
由式（4.14）可見大撓度理論的平衡方程與小撓度理論平衡方程式（4.1）的形式相同，但它是變系數的。已知中面力、和都包括了作用于中面的外荷載和因為板撓曲而產生的薄膜力，所以都是變量。這樣式（4.12）、式（4.13）和式（4.14）三個方程中有了四個因變量，屬于變系數偏微分方程，并需要根據板的變形條件補充一個變形協調方程。
4.4.2 變形協調方程
薄板微元體中面的應變可以用雙向受力板的中面力表示
（4.15）
這樣微元體有三個平衡方程、三個幾何關系式和三個物理方程，共有九個未知量，經整理可得中面的應變與撓度的變形協調方程
（4.16）
4.4.3 薄板的大撓度方程組
為了簡化計算過程，應設法減少未知量，可引入滿足中面力平衡方程的應力函數。當和為圖4－4所示的拉力時，則
； ；
將上面表達式代入平衡方程和變形協調方程中，則可得到以撓度和應力函數為變量的力平衡方程和變形協調方程
（4.17）
（4.18）
式（4.17）和式（4.18）稱為薄板的大撓度方程組。
4.4.4 單向受壓簡支板的失穩后強度
單向均勻受壓四邊簡支矩形板如圖4－7所示，現研究其失穩后的強度。矩形板在平面外的邊界條件為：當和時，和；當和時，和。板在發生失穩后會產生應力重新分布，故在研究板的失穩后強度時，還要
圖4－7
考慮在板自身平面內的邊界條件。為此假設：板失穩后其外形不變，及板的邊緣仍保持直線；沿板的四周不產生剪應力，即；和的兩條邊在y方向可以自由移動。在上述假設條件下來求解板的失穩后強度，假設符合板邊界條件的撓曲面函數為
將上式代入變形協調方程式（4.18），即
（4.19）
式（4.19）的全解由特解為Fp和通解為Fc兩部分組成，其特解為
將上式代入式（4.19），可得
，。由此可得
（4.20）
通解由式（4.18）的齊次方程求得，即相當于，處在板失穩前的平衡狀態。此時板的中面力，和；可得，積分得。則式（4.19）的全解為4
（4.21）
應力函數與板的最大撓度有關，因此，可以通過式（4.17）用伽遼金法求解板的撓度。建立伽遼金方程如下
（4.22）
將撓曲面函數和應力函數F代入式（4.22），經積分后可得
