第18卷第4期數(shù)學(xué)研究與評論V o l.18N o.4 1998年11月JOU RNAL O F M A TH E M A T I CAL R ESEA RCH AND EXPO S IT I ON N ov.1998
q超幾何級數(shù)250[a,b;z]的兩個基本恒等式及其一些應(yīng)用Ξ
魏鴻增 張誼賓
(河北師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，石家莊050091)
摘 要 本文由有限域上交錯矩陣方程X K2ΤX′=0的解數(shù)公式得到q超幾何級數(shù)250的一個基本恒等式，并且用它能直接把一些特殊矩陣的這類方程的解數(shù)由函數(shù)250表出.另
外還用250的一個恒等式得出F q上m階特殊矩陣的個數(shù).
關(guān)鍵詞 q超幾何級數(shù)，矩陣方程，特殊矩陣.
分類號 AM S(1991)05E15 CCL O157.1
1 引 言
熟知二項系數(shù)m
k
的q模擬是高斯二項系數(shù)
m
k q
=
(q m-1)(q m-1-1)…(q m-k+1-1)
(q k-1)(q k-1-1)…(q-1).
(1)
對于超幾何級數(shù)s F t a1,…,a s
b1,…,b t
;z也有相應(yīng)的q模擬，即q超幾何級數(shù)
s5t
a1,…,a s
b1,…,b t
;z=∑
r
r=0
(a1)r…(a s)r z r
(b1)r…(b t)r(q)r,
(2)
這里(a)r=(1-a)(1-aq)…(1-aq r-1)，且(a)0=1.因此(2)是a1,…,a s,b1,…b t,q與z的函數(shù)，且依定義
250[a,b;z]=∑∞
r=0
(a)r(b)r
(q)r z
r.(3)
由分拆及子空間計數(shù)等問題引入的高斯二項系數(shù)除了簡化表達(dá)外，還具有一系列約簡計算的
性質(zhì).對于q超幾何級數(shù)來說同樣也有約簡公式和簡化計算的作用.因此一些計數(shù)公式考慮它能否用q超幾何級數(shù)表達(dá)常常是重要的.
設(shè)F q是q元有限域,F q上兩個n階矩陣A,B說是同步的，如果存在非奇異矩陣T使得TA T′=B.把F q上適合方程X A X′=O(m)的m×n矩陣解X的個數(shù)記作n m×n(A,O)，易知若
A同步于B，則n m×n(A,0)=n m×n(B,0).因此將總用矩陣的同步標(biāo)準(zhǔn)形決定的矩陣方程來討論解數(shù)公式.本文首先由交錯矩陣方程的解數(shù)公式證明250的一個恒等式，然后利用該式直接推出本文所得到的一些特殊矩陣方程解數(shù)公式的q超幾何級數(shù)表示.另外還應(yīng)用恒等式250
Ξ1995年11月23日收到.1998年5月20日收到修改稿.國家自然科學(xué)基金資助項目、河北省教委科研項目.
[c ,q -n ;q ]=c n
給出有限域F q 上m 階特殊矩陣個數(shù)的證明.本文的術(shù)語、符號多采自[1].
2 從交錯矩陣方程解數(shù)得到250的恒等式
設(shè)q 是任意素數(shù)p 的方冪，則有限域F q 上任何m 階交錯矩陣由[1]定理3.1知必同步于
0I
(Τ)
-I
(Τ)
O
(m -2Τ)
,
這里0≤2Τ≤m ,Τ稱為指數(shù).顯然交錯矩陣的秩為偶數(shù)，且2Τ階非奇異交錯矩陣的同步標(biāo)準(zhǔn)
K 2Τ=
0I
(Τ)
-I
(Τ)
.
定義辛群S p 2Τ(F q )={T ∈GL n (F q ) T K 2ΤT ′=K 2Τ}以及它在F q 上2Τ維行向量空間F (2Τ)
q 上的作
用:
F (2Τ)
q ×S p 2Τ(F q )→F (2Τ)
q ,
((x 1,x 2,…,x 2Τ),T )→(x 1,x 2,…,x 2Τ)T .
把具有這個作用的F (2Τ)q 稱為2Τ維辛空間且仍記為F (2Τ)q .設(shè)P 是F (2Τ)
q 的一個k 維子空間.m ×
2Τ矩陣X 叫做子空間P 的一個矩陣表示，如果它的行向量是P 的生成元.k 維子空間P 的k
×2Τ矩陣表示特別仍記為P .F (2Τ)
q 的一個k 維子空間稱為全迷向或(k ,0)型的，如果P K 2ΤP ′=
O (k )
.把F q 上適合方程
X K 2ΤX ′=O
(m )
(4)
的解m ×2Τ矩陣X 和秩k 的m ×2Τ矩陣X 的個數(shù)分別記作n (K 2Τ,O (m )
)和n (K 2Τ,O
(m )
;k ).
引理2.1 秩k 的m ×2Τ矩陣X 是(4)的一個解當(dāng)且僅當(dāng)X 是辛空間F (2Τ)
q 里一個(k ,0)型子空間P 的m ×2Τ矩陣表示.
證明 設(shè)X 適合(4).由rank X =k 有X =T P ，這里T 是秩k 的m ×k 矩陣,P 是秩k 的k ×2Τ矩陣.以T 為前k 列作m 階非奇異矩陣M ，那么X =M P
，且由(4)推出P K 2ΤP ′=O (k )
.
這樣P 的k 個行向量生成辛空間F (2Τ)
q
中一個(k ,0)型子空間P ，它以X 為矩陣表示.反之，若
F (2Τ)
q
中(k ,0)型子空間P 以m ×2Τ矩陣X 為矩陣表示，那么rank X =k 且子空間P 有秩k 的
k ×2Τ矩陣表示P 適合P K 2ΤP ′
=0.又矩陣P 的k 個行向量是子空間P 的基，因此存在秩k 的m ×k 矩陣T 使X =T P 從而X 適合(4).
定理2.2 設(shè)0≤k ≤Τ，那么
n (K 2Τ,O (m )
;
k )=q k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1),(5)n (K 2Τ,O
(m )
)=
∑
m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏
Τ
i =Τ
-k +1(q 2i -1).
(6)
證明 對(k ,0)型子空間P 的一個取定k ×2Τ矩陣表示P ,F q 上秩k 的所有m ×k 矩陣T 決定于空間P 的所有m ×2Τ矩陣表示X =T P .于是由引理2.1得n (K 2Τ,O
(m )
;k )=N (k ,0;2Τ
)
n (k ,m ).這里N (k ,0;2Τ
)表示F (2Τ)
q 里(k ,0)型子空間個數(shù)，公式見[1]推論3.19;n (k ,m )是
F q 上秩k 的m ×k 矩陣個數(shù)，公式見[1]引理1.5，因此有(5).又由[1]知k ≤Τ，故得(6).Carlitz L .在[2]中對奇特征有限域上用特征標(biāo)的方法也得到n (K 2Τ,O (m )
)的公式，但他的推證有誤，在文[3]中已經(jīng)糾正并得到
定理2.3 設(shè)q 是奇素數(shù)p 的方冪.那么
n (K 2Τ,O
(m )
)=q
2Τm -
m
2
∑2r ≤m
q
r (r -2Τ-1)∏
m
i =m -2r +1
(q i -1)
∏r
i =1
(q
2i
-1)
.
(7)
定理2.4 設(shè)q ≠1是任意復(fù)數(shù)，那么有恒等式
∑
m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏
Τ
i =Τ
-k +1(q 2i -1)=q
2Τm -
m
2
∑
2r ≤m
q
r (r -2Τ-1)∏
m
i =m -2r +1
(q i -1)
∏r
i =1
(q
2i
-1),
(8)
∑m in{Τ,m }k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1)=q
2Τm -
m
2
2
50[q -12
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+1
]′
(9)
成立.這里“′”指該方括號內(nèi)g 由g
-2
代替.
證明 當(dāng)q 為奇素數(shù)方冪時，由(6),(7)知(8)式左右方都是n (K 2Τ,0(m )
)的公式且都是q 的有理分式.對無窮多個奇素數(shù)方冪來說(8)成立，因此(8)對任意復(fù)數(shù)g 也成立.又恒等式(8)右方的和號部分可變形為
∑2r ≤m
((q -2
)
Τ+1
)
r
(1-q m )(1-q m -1)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
=
∑∞
r =0
((q
-2
)Τ+1)r
((q -2
)
12
m )r ((q -2
)-
12(
m
-1))r
((q -2))r
,
于是得到恒等式(9).
恒等式(8),(9)給計算帶來很大方便.如n (K 2Τ,O (m ))求值時，用右式其非零項是[m
2
]+1
個((9)的右式當(dāng)k =[m
2
]時則r 從0跑到k 即止)用左式是m in {Τ,m }+1.通常使用右式簡便
(除非Τ<[
m
2
]時).例如當(dāng)2Τ=6,m =3時，右式r =0,1僅兩項即
q 15
[1+q
-8
(1-q 3)(1-q 2)(1-q -2
)
]=q 15+q 12-q 9
，而左式為
1+(q 6
-1)(q 3-1)(q -1)+q (q 6-1)(q 4
-1)(q 3-1)(q 2-1)(q -1)(q 2-1)
+
q 3(q 6-1)(q 4-1)(q 2-1)(q 3-1)(q 2-1)(q -1)(q -1)(q 2-1)(q 3
-
1)
=q 15+q 12-q 9
.運(yùn)算量相差很大，因此把所得公式用q 超幾何級數(shù)表達(dá)是很有意義的工作.
3 恒等式(9)的幾個應(yīng)用
1) 設(shè)F q 是特征為2的有限域.由[1]第四章知F q 上2Τ+?(?=0,1或2)階非奇異對稱矩
陣的同步標(biāo)準(zhǔn)形分別是
S 2Τ=
I
(Τ)
I
(Τ)
0(交錯矩陣);S 2Τ+1=
I
(Τ)
I
(Τ)
1
;
S 2Τ+2=
I
(Τ)
I
(Τ)
01
1
1
(非交錯對稱矩陣).
統(tǒng)一記為S 2Τ+?,?=0時它定義辛群S p 2Τ(F q );?=1或2時它分別定義偽辛群P s 2Τ+1(F q )和P s 2Τ+2(F q )，并且具有后二者作用的空間F (2Τ+?)
q
稱為偽辛空間.F q 上適合方程
X S 2Τ+?X ′=O
(m )
(10)
的m ×(2Τ+?)矩陣X 和秩k 的m ×(2Τ+?)矩陣X 的個數(shù)分別記作n (S 2Τ+?,O
(m )
)和n (S 2Τ+?,
O
(m )
;k ).同2有下述結(jié)果
引理3.1 當(dāng)?=0時，秩k 的m ×2Τ矩陣X 是(10)的一個解當(dāng)且僅當(dāng)X 是辛空間F (2Τ)
q
中一個(k ,0)型子空間P 的m ×2Τ矩陣表示；當(dāng)?=1(?=2)時秩k 的m ×(2Τ+1)(m ×(2Τ+
2))矩陣X 是(10)的一個解當(dāng)且僅當(dāng)X 是偽辛空間F (2Τ+1)
q
(F (2Τ+2)q )中一個(k ,0,0,0)型((k ,0,0,0)型或(k ,0,0,1)型)子空間P 的m ×(2Τ+1)(m ×(2Τ+2))矩陣表示.
定理3.2 當(dāng)?=0,1或2時，有
n (S 2Τ+?,O
(m )
;k )=q
k
2
(q
2Τ-k +2
-1)
[
?
2
]
m k
q
∏
Τ
i =Τ-k +[?2]+1
(q 2i -1),
(11)
n (S 2Τ+?,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+[
?
2
],m }
k =0
q
k
2
(q
2Τ-k +2
-1)
[
?
2
]
m k
q
∏
Τ
i =Τ-k +[?
2
]+1
(q 2i -1).
(12)
證明 ?=0或1時同定理2.2的證明.對?=2由引理3.1有
n (S 2Τ+2,O
(m )
;k )=(N (k ,0,0,0;2Τ+2)+N (k ,0,0,1;2Τ+2)) n (k ,m ),
這里N (k ,0,0,0;2Τ+2),N (k ,0,0,1;2Τ+2)分別表示偽辛空間F (2Τ+2)
q 里(k ,0,0,0)型和(k ,
0,0,1)型子空間的個數(shù)(見[1]p 185,186)，且前者0≤k ≤Τ，后者1≤k ≤Τ+1.當(dāng)1≤k ≤Τ時,
n (S 2Τ+2,O
(m )
;k )=
∏
Τ
i =Τ-k +2
(q 2i -1)[q k (q 2Τ-
2k +2
-1)+q k
-1]
∏k
i =1
(q
i
-1)
n (k ,m );
當(dāng)Τ+1≤m 時,
n (S 2Τ+2,O
(m )
;Τ+1)=N (Τ+1,0,0,1;2Τ+2) n (Τ+1,m )
以及n (S 2Τ+2,O
(m )
;0)=1，因而得(11).(12)從(11)立得.
為用q 超幾何級數(shù)表達(dá)，先證250的一個循環(huán)關(guān)系式.
引理3.3
q m
250[q
-
12
m ,q
-
12(
m -1);q
Τ+1
]′+(1-q m
)250[q
-
12
(
m -1),q
-
12
(
m -2);q Τ
]′
=250[q -
1
2m ,q
-
12
(
m -1);q Τ
]′,
(13)
這里“′”意義同(9).證明 由(3),
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q Τ
]
′=
∑∞
r =0
(q
-2Τ)r
(1-q m )(1-q m -1)…(1-q m -2r +1)
(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
,
因此(13)兩端代(3)化為上形后，只需再證左右第r +1項對應(yīng)相等.事實上左方為
(q -2Τ)r (1-q m -1
)(1-q m -2)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r
)
[q m (1-q m )q -2r +(1-q m )(1-q m -2r
)] =((q -2)Τ)r (1-q m )(1-q
m -1
)…(1-q m -2r +1)(1-q -2)(1-q -4)…(1-q -2r )
,
恰為右方第r +1項.
定理3.4 設(shè)q =2t
，那么對?=0,1或2有
n (S 2Τ+?,O (m )
)=q
(2Τ+[?2
])m -m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12(
m
-
1);q
Τ+1
]′, “′”意義同(9).(14)
證明 當(dāng)?=0或1時(12)即
n (S 2Τ+?,O
(m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1),.
應(yīng)用恒等式(9)立得
n (S 2Τ+?,O
(m )
)=q 2Τm -m
2
250[q -
1
2m ,q -
12
(
m -1);q Τ+1
]′，即(14).當(dāng)?=2時，注意到q 2Τ-
k +2-1=(q 2Τ+2-1)-q
2Τ-k +2
(q k -1)，那么(12)拆分并令t =k -1后
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+1,m }k =0q
k
2
m k
q ∑
Τ+1
i =Τ
+1-k +1(q 2i -1)- (q m
-1)q
2Τ+1
∑
m in{Τ,m -1}
t =0
q
t
2m -1
k
q ∏Τ
i =Τ
-t +1(q
2i
-1).
應(yīng)用恒等式(9)后得
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=q
2(Τ+1)m -
m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+2
]
′-(q m -1)q
2Τ+1
q
2Τ(m -1)-
m -1
2
2
50[q
-
12
(
m -1),q
-12
(
m -2);q
Τ+1
]′.
再由循環(huán)關(guān)系式(13)便得(14).
2)
設(shè)F q 是特征≠2的有限域.由[1]第六章知F q 上2Τ+?(?=0,1或2)階非奇異對稱矩
陣標(biāo)準(zhǔn)形為:
S 2Τ=
I
(Τ)
I
(Τ)
0,S 2Τ+1,1=
I
(Τ)
I
(Τ)
1,
S 2Τ+1,z =
I
(Τ)
I
(Τ)
z
,S 2Τ+2=
I
(Τ)
I
(Τ)
1
-z
,
這里z 是F 3
q 的一個固定非平方元.統(tǒng)一記作S 2Τ+?,?(這里?=0,1或2),?為定號部分，當(dāng)?=0時不出現(xiàn)；當(dāng)?=1時,?=1或z ；當(dāng)?=2時,?=
1
-z
.S 2Τ+?,?定義F q 上的正交群
O 2Τ+?,?(F q ).具有此群作用的空間稱為正交空間F (2Τ+?)
q
.F q 上適合方程
X S 2Τ+?,?X ′=O
(m )
(15)
的m ×(2Τ+?)矩陣X 和秩k 的m ×(2Τ+?)矩陣X 的個數(shù)分別記作n (S 2Τ+?,?,O
(m )
)和
n (S 2Τ+?,?,O
(m )
;k ).同前易證
引理3.5 秩k 的m ×(2Τ+?)矩陣X 是(15)的解，當(dāng)且僅當(dāng)X 是正交空間F (2Τ+?)
q
中一個
(k ,0,0)型子空間P 的m ×(2Τ+?)矩陣表示.
定理3.6 當(dāng)?=0,1或2時有
n (S 2Τ+?,?,O
(m )
;k )=q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ-k +1(q
i
-1)(q
i +?-1
+1),
(16)n (S 2Τ+?,?,O (m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0
q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
i
-1)(q
i +?-1
+1).
(17)
證明 同前，由引理3.5有n (S 2Τ+?,?,O (m )
;k )=N (k ,0,0;2Τ+?,?) n (k ,m )，這里N (k ,0,
0;2Τ+?,?)是正交空間F (2Τ+?)
q
中的(k ,0,0)型子空間的個數(shù)，公式見[1]推論6.23.
定理3.7 設(shè)q 是奇素數(shù)p 的方冪，那么有 n (S 2Τ+?,?,O
(m )
)=q
(2Τ+?-1)m -
m
2
{250[q
-
1
2
m ,q
-
12(
m -1);q
Τ+[?+12
]
]′- (1-?)q
-(Τ+[?
2
]
)
(1-q m )250[q
-
12
(
m -1),q
-
12
(
m -2);q
Τ+[?+1
2
]
]′},(18)
這里?=0,1或2，并且“′”意義同(9)((18)與Carlitz [4]
所得一致).
證明 顯然當(dāng)?=1時由(17)及恒等式(9)立即得(18):
n (S 2Τ+1,?,O
(m )
)=q
2Τm -
m
2
2
50[q
-
1
2
m ,q
-
12
(
m -1);q
Τ+1
]′.
當(dāng)?=0和2時分別注意到
q
Τ-k
+1=(q Τ+1)-q Τ-k (q k -1)和q
Τ-k +1
-1=(q Τ+1-1)-q
Τ-k +1
(q k -1),
則(17)成為
n (S 2Τ,O
(m )
)=
∑m in{Τ,m }
k =0q
k
2
m k
q ∏Τ
i =Τ
-k +1(q
2i
-1)-(q m
-1)(q Τ
-1)q
Τ-1
∑
m in{Τ-1,m -1}
k =0
q
k
2
m -1
k
q ∏Τ-1
i =Τ
-k (q
2i
-1),
n (S 2Τ+2,O
(m )
)=
∑
m in{Τ+1,m }
k =0q
k
2
m k
q ∏
Τ+1
i =Τ
+1-k +1(q 2i -1)-(q m
-1)(q Τ+1
+1)q
Τ
∑
m in{Τ,m -1}
k =0
q
k
2
m -1
k
q ∏Τ
i =Τ
-
k +1(q
2i
-1).
應(yīng)用恒等式(9)后再由循環(huán)關(guān)系式(13)便得(18).
3) 令F q 是特征為2的有限域,K m 表示F q 上全體m 階交錯矩陣的集.兩個m 階矩陣
A ,
B 說是模
K
m
同余并記作A ≡B ，如果A +B ∈K m .F q 上兩個m 階矩陣A ,B 說是“同步”
