題目
《獎學金、助學金分配問題的優化模型》
姓名： 1111111
學號： 09102126
專業： 信息與計算科學
學院： 數學與信息科學
指導老師： 熊思燦
時間： 2011/3/24
獎學金、助學金分配問題的優化模型
摘要
獎學金、助學金分配方案涉及每個學生的切身利益,一直是學生關注的熱點問題之一。因此，分配結果是否合理，對調動學生的積極性及優秀學生的正確評選都有著重要意義。本文主要通過采取Q值法和目標函數法來建立模型實施名額及獎金的分配。
針對問題一，我們首先將待分配參數從整體上單獨分配，即將待分配總名額與待分配總金額分開考慮，依據Q值法模型分配給三個專業，用MATLAB編程求解得到結果一。為了盡量使分配各類獎項所對應的待分配名額公平，先將每類獎項作為一個整體，用Q值法模型分配給各專業，并依據各專業所得各類獎項名額可求出所分配的金額，即得到結果二。最后將結果二與結果一比較，對不同種類獎金名額進行人為對調，使得總名額與總金額保持相對公平。各專業所得名額為：37、44、48；各專業所得金額：123000、146000、160000。
由于問題二是問題一的細化，以對數應專業的班級進行分配為例，我們假設問題一的分配結果公平，在問題一的分配基礎上依據問題二的要求進行再分配。此次我們首先采取比例法實施分配，把最終分配結果的數據做成表格。經分析此結果，發現此法并不公平，因為071011班只比081011班多2人，而該班卻多出兩個名額和8000元。故我們使用Q值法按問題二的要求再進行分配，求得數應各班所得名額為：8、8、8、6、7；所得出金額為：28000、26000、26000、19000、24000。
針對問題三，由于國家獎學金金額很大，我們應當結合分配金額及分配名額來處理這個分配。故我們使用目標函數法來解決此問題。用LINGO編程求解得各專業名額分配為：37、44、49；各金額分配結果為：125000、148000、164000。由于問題一已經分配出了除特等獎以外的名額和獎金，所以通過對數據的對比我們可以知道加入特等獎之后的分配相當于信管增加了一個名額，而其他兩個專業名額沒有變化。但考慮到不確定三個專業中符合國家級獎學金這一獎項評選條件的同學的在哪個專業，故將國家級獎學金一一分給三的專業后再對結果進行修正，便可問題三的最終分配結果。
關鍵詞： Q值法 比值法 目標函數法 獎學金、助學金分配問題
一、問題重述
2010年數信學院各類獎學金、助學金的總數與金額如下表：
名稱 | 國家獎學金 | 勵志獎學金 | A等助學金 | B等助學金 | C等助學金 |
金額（元） | 8000 | 5000 | 2000 | 3000 | 4000 |
名額（人） | 1 | 21 | 27 | 54 | 27 |
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數信學院具有評優條件的各專業人數如下表：
| 數學與應用數學 | 信息與計算科學 | 信息管理 |
07級 | 071011 | 071021 | 071022 | 071031 |
34 | 30 | 29 | 53 |
08級 | 081011 | 081012 | 081021 | 081022 | 081031 | 081032 |
32 | 30 | 29 | 33 | 32 | 33 |
09級 | 091031 | 091032 | 091021 | 091022 | 091031 | 091032 | 091033 |
23 | 30 | 24 | 32 | 24 | 28 | 26 |
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請根據以上情況建立合理的數學模型解決以下問題：
（1） 不考慮國家獎學金的分配，請根據各個專業的人數與各獎金金額大小確定分配方案，使分配方案盡量公平合理。
（2） 不考慮國家獎學金的分配，請根據各個班級的人數與獎學金金額大小確定分配方案，使分配方案盡量公平合理。
（3） 考慮國家獎學金與其他獎學金一起分配，請確定分配方案。
二、問題分析
(一) 問題1的分析
問題1的要求是在不考慮國家獎學金的分配的前提下，將剩下的獎金與名額分配給各專業。求解出問題1便能大體上將各專業分配所得名額的總體情況給出，從而有利于問題2的求解。問題1屬于典型的席位分配問題，對于解決此類問題我們采取最大Q值法進行求解和分析。
(二) 問題2的分析
問題2的要求是在不考慮國家獎學金的分配的前提下，將剩下的獎金與名額分配給各個班。該問題與問題1類似，只是分配工作具體到了每個班。求解出此問題會使得分配結果更加清晰明朗，從而讓分配工作順利進行。在求解問題二時，假設問題1中的求解結果公平，再用Q值法將各專業所得的名額及金額分配給各班，即可得到問題2分配的結果。
(三) 問題3的分析
問題3要求考慮國家獎學金與其他獎學金一起分配。由于國家獎學金的金額數目較大，且只有一個名額。故無論將這個名額給哪個專業，都會造成該專業對另兩個專業的不公平度在金額分配上大大增加。由于考慮到實際分配執行過程中學校是將國家級獎學金分配給待評選人中綜合素質最高的學生，故分配情況有三種可能。
三、模型假設
1. 假設題目所給的數據真實可靠；
2．假設各專業都具有符合各評選條件的學生；
3. 假設所有的相對不公平度最小時，便視為分配結果公平；
4．假設上文求解的結果對下文都可以利用且視為真實可靠的；
5. 假設各專業都有可能具有獲得國家獎學金的的學生。
四、定義與符號說明
序號 | 符號 | 符號定義 |
1 | | 代表的總人數 |
2 | | 代表所分配到的名額 |
3 | | 代表的總人數 |
4 | | 代表所分配到的名額 |
5 | | 代表待分配的總人數 |
6 | | 代表各方總人數之和 |
7 | | 代表未分配完的名額 |
| | |
五、模型的建立與求解
5.1 問題一最大Q值法模型
5.1.1 最大Q值法模型的建立過程：
用Q值法來衡量是否公平是基于這樣一條原則：如果兩個數相同，那么它們的比值是零。即如果兩個數相等，它們的比值是1。即如果，則。并且上述比值越大，對來說，這種分配方案就越不公平。用作為衡量不公平的值。假定把名額給，計算的不公平程度，然后假定把名額給，計算的不公平程度。我們的分配方案將使不公平程度最低。在這種情況下，當時，獲得額外名額。做一下簡化，我們可得到：當時，獲得額外名額。記：，則把名額分配給Q大的一方。
將該方法推廣到n個專業的名額分配情況。設各專業分配的人數已經確定，當再增加1名額時，計算各專業的Q值。其中Q值為：
將該名額分配給Q值最大的一方，這樣可使造成的不公平程度最小。
5.1.2相對公平度評判標準：
設各專業分配的名額為，則各專業名額代表的人數為，平均每個名額代表的人數為。對每個專業來說，盡量的使與接近。因此有：
若分配后，將結果代入上式能使Z值最小，則認為該分配方案是相對公平的。
5.1.3模型求解：
首先將總金額和總名額分開考慮，用最大Q值法分給各專業，用MATLAB 求解（程序見附錄），整理數據得到下表：
（表一）
專業 分配 | 數應 | 信計 | 信管 |
總名額數（人） | 37 | 44 | 48 |
總金額數(￥) | 122000 | 146000 | 161000 |
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其次，按各類獎項名額分別利用Q值法模型分給三個專業（求解程序見附錄），則各專業所分配的名額及獎金，整理后如下表所述：
（表二）
種類 專業 | 勵志獎學金名額 | A等助學金名額 | B等助學金名額 | C等助學金名額 | 總名額數（人） | 獎金總數(￥) |
數應 | 6 | 8 | 16 | 8 | 38 | 126000 |
信計 | 7 | 9 | 18 | 9 | 43 | 143000 |
信管 | 8 | 10 | 20 | 10 | 48 | 160000 |
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對比表一與表二，發現兩個表格中各專業所分到的總名額數及獎金總數有差別，即表二中信計總名額數比表一中少一個，金額也少3000元；而與之對應的數應卻多一個名額，獎金也多4000元。又根據公平度評判標準可知道，將表一中總名額數和總金額數數據代入公式運算（求解見附錄）得：Z=0.2800362E-03同理，表二中對應數據代入求得：Z=0.283036
2E-03。因此,可知按表一中數據分配相對更公平。所以對表二中不同種類獎助學名額進行人為調整，使得表二中總名額數和總金額數與表一中一樣，這樣可以保證分配給各專業總名額數和總金額數相對公平，而不同種類獎項分配也有一定公平度。
人為調整具體是：從表二中很容易發現只要數應給信計一個B等助學金的名額，三個專業的總名額數就能達到相對公平，再對比表一與表二的總金額數就可知，數應拿一個C等助學金名額與信管換一個B等助學金名額即可使三個專業獎金總數達到相對公平。整理數據得出下表：
（表三）
種類 專業 | 勵志獎學金名額 | A等助學金名額 | B等助學金名額 | C等助學金名額 | 總名額數(人) | 獎金總數(￥) |
數應 | 6 | 8 | 15 | 7 | 37 | 122000 |
信計 | 7 | 9 | 19 | 9 | 44 | 146000 |
信管 | 8 | 10 | 19 | 11 | 48 | 161000 |
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如此調整之后，表格三中各專業分得的總名額及總獎金數據便與表一中的數據一致，即可以認為我們的分配方案是相對公平的。
5.2 問題二 比例法模型
5.2.1 比例法分配模型的一般數學表達式：
設各班級分得名額的小數部分為：，尚未分配完的名額為：，則將個尚未分配完的名額依次分給小數部分最大的班級。即比例法的思想就是按比例分配給各班級名額及獎金。
5.2.2 模型求解：
