講給語文老師的統計知識:什么是標準分

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講給語文老師的統計知識：什么是標準分

默認分類 2010-08-08 20:40:46 閱讀79 評論0 字號：大中小 訂

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一、什么是標準分數？

標準分數是一個統計術語，它描述的是某一個分數在團體中所處

的位置。在統計學中，標準分數的計算公式：Z=Xi-XS。公式中Xi的

表示某人實測成績，在統計學中稱為原始分；公式中的X和S表示標

準化團體某個學科某次測驗的平均分和標準差。X表示測驗分數的集

中趨勢，用公式X=XiN計算；S表示測驗分數的離散程度，用公式

S=(Xi-X)2N計算，S的值越大，說明測驗分數離散程度越大。

二、標準分數有什么用處？

標準分數其實就是以0為平均數，以標準差為單位的位置量數。

一個Z分數表示的是數軸上的一個點，當原始分正好等于平均分時，Z

＝0；當原始分等于X+S時，Z=+1； 當原始分等于X+2S時，Z=+2；

以此順延。同理，當原始分等于X-S時，Z=－1； 當原始分等于X-2S

時，Z=－2；以此順延。我們可以將某次測驗的所有原始分轉換為Z

分數，就可以獲得數軸上的若干個點，Z值越大，表示所處的位置越靠

前，成績越好。不同測驗的原始分，都可以通過公式，依據本次測驗

的平均分和標準差，將本次測驗的原始分轉換為Z分數，用數軸來表

示標準分的分布位置。

例如，不同國家的貨幣，如馬克、英鎊，它們的數值間因為沒有

共同的單位是不能直接進行比較和加減的。只有將它們轉換為一個統

一的標準，才有可比性。為了對歐洲各種貨幣進行這種轉換，就出現

了歐元。歐元就相當于標準分，馬克、英鎊就相當于原始分，而各自

的兌換率就相當于標準差。馬克、英鎊按照各自的兌換率換算成歐元，

就可以進行比較或相加。同樣，對不同學科、不同時間的測驗的原始

分，也應該進行這樣的轉換才能進行分數的加減或者比較。

有人認為，各科或每次考試分數的滿分都是100分，最低分都是

0分，所以各科的考試分數不存在換算的問題。這種看法是不科學的。

因為，在目前我們還不可能將各科考試或者每一次考試的難度控制在

統一的水平，考試難度大的科目，總體分數都偏低，而難度小的科目，

總體分數都偏高。同一分值，在考試難度大的科目中它是高分，但在

難度低的科目中可能是低分。

例如，語文必修加選修卷的平均分為71分，必修卷的平均分為77

分，這時同樣一個75分，在A、B卷里的含義就不一樣了。對必修加

選修卷來說，75分比平均分高，應該是偏高分；而對于必修卷，75分

則比平均分低，應該是偏低分。

對不同科目的考試，也是同樣的道理。例如，生物平均分68分，

歷史平均分76分，化學平均分84分。如果某學生這三門科目都考75

分，對于生物來說，他的考分明顯高于平均分，應該是學得比較好的；

對于歷史來說，他是中等水平；而對于化學來說，他的考分明顯偏低，

他的化學學得不好。

不同學生測驗所得的原始分只能用于在同一測驗中進行比較。不

同的學科、不同的測驗，因為題目的數量或題目的難易程度不一樣，

原始分也就沒有等值性，用原始分進行不同學科的比較或將原始分相

加都是不科學的。那么，要怎樣做才能科學、客觀地反映學生的考試

成績的好壞呢？這就需要使用標準分數了。

用上面提到的兩個例子，我們可以將學生各科的成績都轉化為標

準分數再進行比較。在物理的兩份卷的例子中，通過對團體分數的計

算，我們得到必修加選修卷的標準差為17分，必修卷的標準差為16

分。在必修加選修卷中，75分對應的標準分為ZA=Xi-XS=75-

7117=024；在必修卷中，75分對應的標準分為ZB=Xi-XS=75-

7716=-0125。在數軸上，0.24的位置比-0.125靠前，我們就很可

以得出結論，必修加選修卷考75分比必修卷考75分要優秀的結論。

在三門科目考試比較的例子里，我們也可以做同樣的換算。通過對團

體分數的計算，得到生物考分的標準差為14分、歷史考分的標準差為

13分、化學考分的標準差為14分，代入換算公式，我們就可以計算

出，當原始分為75分時，在生物科目中，對應的Z分數為0.5，在歷

史科目中，對應的Z分數為-0.08，在化學科目中，對應的Z分數為-

0.64。將標準分數都表示在數軸上，我們就可以清楚地分辯高低了。

綜上所述，我們不難得出這樣的結論，將學生各門學科的考試分

數都轉換為標準分數，可以更客觀、更公平、更科學地評價學生的成

績和水平。而且標準分數具有等值性，還可以進行加減運算，也能對

學生成績作出綜合評價。標準分還有一個特點，就是所有考生的標準

分的分布都呈正態分布形態，這樣可以根據正態分布的規律，按照規

定的比例將學生成績分為優、良、合格、差等級，也可以減少分數的

負面效應。

三、標準分在高中會考中的運用

用Z=Xi-XS公式將原始分轉換為標準分，計算出的Z值都比較小，

而且當某學生的考分正好等于平均分時，Z分數等于0，如果低于平均

分Z分數就出現負值。這樣的數值，學校、教師、學生、家長、社會

接受起來比較困難。因此，統計學都會根據實際需要，對Z分數作一

個等值變換，將Z分數擴大若干倍，并確定一個共同的平均分，這樣

即保證了采用標準分數評價的公平性和科學性，又使大家能接受它。

這種等值變換是將Z分數轉換為T分數，公式為T=A+BZ。在公式中，

A就是一個共同的平均分，B是Z分數擴大的倍數也是T分數的標準

差。

高中會考使用的標準分，就是T分數。它由計算機按照設定的程

序自動轉換：首先分別計算各科考試原始分的平均分和標準差，然后

將每個學生的原始分代入公式Z=Xi-XS，計算每個考生分學科的Z分

數，再將考生的Z分數通過T分數計算公式T=500+50Z轉換為T分

數，最后按照統一規定的界限劃分等第。

會考標準分與等第的對應關系、各等第所占比例如下：

等第 優秀 良好 合格 不合格

約占百分比 25％ 45％ 25％ 5％

對應的標準分（T）T≥535 535＞ T≥480 479＞T≥420 T＜

420