何天成:從高聯(lián)到IMO金牌,超詳細(xì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)習(xí)方法

何天成：從高聯(lián)到IMO金牌，超詳細(xì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽學(xué)習(xí)方法（一）

本文作者何天成，第58屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）金

牌獲得者，華南師大附中2017屆畢業(yè)生，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科

學(xué)學(xué)院2017級(jí)新生。本文首發(fā)于數(shù)學(xué)新星網(wǎng)。作者非常詳

細(xì)地闡述了從高聯(lián)一試/二試，到參加CMO，國家集訓(xùn)隊(duì)，走

向IMO，各級(jí)競(jìng)賽的心路歷程和學(xué)習(xí)方法，對(duì)于參加競(jìng)賽的

同學(xué)具有非常大的指導(dǎo)意義，因?yàn)槠^長(zhǎng)，故分為三篇分

享給大家。請(qǐng)看過的同學(xué)溫故知新，沒看過的同學(xué)一定要認(rèn)

真做好筆記，滿滿的干貨~正文如下：2017年7月，我有幸

作為中國國家隊(duì)的一員參加了第 58 屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)奧

林匹克競(jìng)賽（ IMO ) ，并獲得了一枚金牌。回顧六年競(jìng)賽

之路，我從開始的一個(gè)懵懂無知的新人，一路上經(jīng)歷了不少

挫折，走了不少彎路，在跌跌撞撞中算是摸索出了自己的一

套學(xué)習(xí)競(jìng)賽的方法，最后的結(jié)局也是幸運(yùn)的。而正是這份幸

運(yùn)，讓我覺得有責(zé)任把自己學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽的經(jīng)驗(yàn)與心得分享

出來，希望后來者能吸取我的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，找到自己的不足，

并更好地看清未來。

引 言對(duì)于一場(chǎng)考試，我喜歡用以下 3 個(gè)參數(shù)來衡量最終

的分?jǐn)?shù)：最終分?jǐn)?shù)=實(shí)力分 x 運(yùn)氣分 x 狀態(tài)分。其中實(shí)力，

運(yùn)氣，狀態(tài)均為非負(fù)實(shí)數(shù)。

這里，“實(shí)力”顧名思義，盡管不好量化，但是一般來說實(shí)

力相差很大還是能看出來的。

“運(yùn)氣”主要代表“題目是否對(duì)路”，比如一個(gè)擅長(zhǎng)幾何的

選手參加一場(chǎng)幾何送分的考試，當(dāng)然運(yùn)氣分較低；而參加一

場(chǎng)幾何難度他剛剛好能做出來的考試，運(yùn)氣分就比較高了。

當(dāng)然，運(yùn)氣分是取決于考試本身的，可以認(rèn)為主觀上不能改

變它，但是在集訓(xùn)隊(duì)這樣的多次考試中，平均下來，運(yùn)氣會(huì)

比較穩(wěn)定；并且，我們可以用比如“補(bǔ)短板”或者“狂刷一

科”等方法改變運(yùn)氣分的波動(dòng)大小。另一方面的運(yùn)氣來自于

改卷，即能不能得到預(yù)想中的分?jǐn)?shù)，這一點(diǎn)理論上來說也是

的賭博，比如就想聯(lián)賽做出倆題混一等獎(jiǎng)，然后狂刷代數(shù)與

幾何之類的。我對(duì)這種方法不予評(píng)價(jià)，但反正我自己的經(jīng)歷

是，凡是賭博的情況都必輸，實(shí)力不到說啥都沒用，不如按

部就班的來，讀者可以自己考慮實(shí)力不夠的時(shí)候的做法。

第二點(diǎn)大概就是關(guān)于過程的書寫，事實(shí)上，很多人對(duì)自己的

過程非常有自信。如果你批改過其他人的過程，總會(huì)覺得“這

啥意思啊搞了半天都不知道想干啥”或者“這里一句話帶過

根本就不顯然嘛”。一般來說，過程寫不好有兩種：如果你

講都講不清楚，那么可能是語文學(xué)的不好，請(qǐng)回爐再造；如

果跟別人講思路的時(shí)候別人可以理解，但是過程寫不好的

話，可能是沒有掌握好寫過程的技巧。寫過程的主要目的有

兩個(gè)：一是要準(zhǔn)確，不能讓老師誤解你的意思；二是要通俗

易懂，節(jié)省老師的時(shí)間，讓老師能夠比較容易get到你的過

程的脈絡(luò)。

而第二點(diǎn)其實(shí)容易被忽視。我經(jīng)常看到有些過程一路往下

推，密密麻麻一大堆，又不知道他想干什么；語言又完全用

的是集合的方法，全都是定義和運(yùn)算，讓人摸不著頭腦。這

時(shí)候，一旦出現(xiàn)一些筆誤，很有可能老師就“如釋重負(fù)”地

圈起來給0分了。這就像寫一篇議論文，要是你一直舉例子

不立論，當(dāng)然不會(huì)給高分。

這就需要把證明的脈絡(luò)清晰地刻畫出來，常見的連詞有：證

明分為如下幾步、下面證明一個(gè)引理（結(jié)論）、我們斷言（證

明）以下結(jié)論、我們只需證明如下結(jié)論即可證明此題等。這

樣的好處是，如果你斷言的關(guān)鍵步驟恰好是答案中的步驟，

或者老師知道是對(duì)的，那么老師就大致知道你做出來，只需

驗(yàn)證一下細(xì)節(jié)即可；就算你的證明出現(xiàn)了一些漏洞，老師也

能知道你做出了什么，會(huì)更容易得到步驟分。

當(dāng)然，還有一個(gè)大大增加可讀性的方法：畫圖。特別是組合

題，很多組合題用代數(shù)語言表達(dá)很繁瑣，不易找到重點(diǎn)，也

扯西扯，然后說證畢——做不出來就做不出嘛，要承認(rèn)自己

就是在混分，至于能給幾分就看你做了什么結(jié)論了；但總有

一些人不會(huì)做就瞎搞一通然后證畢。這樣的人多了，就加大

了老師判卷子的難度，就會(huì)連累一些“好人”。反正我覺得，

要是明知道是錯(cuò)的還寫證畢，絕對(duì)是敗人品的行為。

狀態(tài)方面，我覺得有兩點(diǎn)：一是平時(shí)加強(qiáng)模擬考試——模擬

考試絕對(duì)不僅僅指的是做一套題那么簡(jiǎn)單！我覺得模擬考試

要起到效果，必須完完全全地模擬真實(shí)的情況。特別是 4、

5 小時(shí)的考試，很多人只是開始兩個(gè)小時(shí)上三板斧，然后消

極怠工，這其實(shí)一點(diǎn)效果都沒有。真實(shí)考試有 4、5小時(shí)呢，

要是平時(shí)這么模擬，真實(shí)考試的最后 2 個(gè)小時(shí)難道你就能

繼續(xù)保持極高的做題狀態(tài)嗎二是平時(shí)做題最好“認(rèn)真對(duì)待”，

兩天的考試可以帶一些心理負(fù)擔(dān)，這樣真正考 CMO這樣的考

試萬一面對(duì)第一天考試失利，就不會(huì)心理太崩盤。

各級(jí)競(jìng)賽 一全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽

全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽是高中競(jìng)賽的第一步，但其實(shí)也是不確定

性最大的一步。不同的省份有不同的聯(lián)賽的備考攻略。如果

你來自一些超級(jí)聯(lián)賽強(qiáng)省，比如上海、浙江等，那么你的一

試水平一定要過硬，因?yàn)檎５哪攴莺芸赡軙?huì)出現(xiàn)很多人二

試并列拼一試的情況；但如果是中等的省份，就拿廣東舉例

吧，在大部分年份二試 3 題＋ 一試 90 分可以進(jìn)省隊(duì)，并

且二試 2 題的話幾乎進(jìn)不了省隊(duì)，所以其實(shí)只需要做“適

當(dāng)”的一試練習(xí)，然后把重點(diǎn)放在二試上。

注意，這里的“ x 題”指的是最終得分，不同的省改卷嚴(yán)

格程度不一，但是一般來說，被判錯(cuò)是少數(shù)，并且很有可能

是自己的問題（有些人經(jīng)常寫偽證自己看不出來，或者寫過

程水平太差確實(shí)沒法看，卻自我感覺良好），所以在備考的

過程中要訓(xùn)練自己的書寫，要盡量寫的嚴(yán)謹(jǐn)、工整，避免被

判錯(cuò)；但至于最終結(jié)果要是還是被判錯(cuò)了，也沒辦法啊，盡

力而為，問心無愧。

由于聯(lián)賽的考場(chǎng)很多，并且各地規(guī)則不一，請(qǐng)盡量熟悉自己

將去到的考場(chǎng)與考試細(xì)則，并在考前做好充足的準(zhǔn)備，避免

出現(xiàn)考試之外的問題。筆者在參加聯(lián)賽的過程中曾經(jīng)遇到過

以下問題（都是血的教訓(xùn)啊） :

考場(chǎng)偏僻，當(dāng)天起的很早趕赴考場(chǎng)，很疲倦；考場(chǎng)空調(diào)直吹，

極冷；教室很大，老師發(fā)卷不及時(shí)，導(dǎo)致開考 5 分鐘才拿

到卷子；考試要求換草稿紙（收一張給一張）；洗手間較少，

要等很久等等。總之，在考試之前，一定要做好充分的準(zhǔn)備，

聯(lián)賽畢竟沒幾次，要按照高考的規(guī)格對(duì)待，提前踩點(diǎn)，準(zhǔn)備

考試結(jié)束后再想，在考試的時(shí)候一定要保證“分?jǐn)?shù)最大化”，

該跳過的題就跳過，這樣在真正的聯(lián)賽中才不容易手忙腳

亂。

聯(lián)賽有一個(gè)不太好的地方：答題的區(qū)域非常小，尤其是二試

第一題，要是想到了一個(gè)很復(fù)雜的方法，有可能要挖掉一大

半第二題的空間才能寫下。因此在模擬的過程中也要注意這

一點(diǎn)千萬千萬不能寫錯(cuò)！在考場(chǎng)上若是發(fā)現(xiàn)寫了一大半的過

程都是錯(cuò)的，修正思路很長(zhǎng)，真是欲哭無淚……不差這幾分

鐘，要想好了再寫，多花點(diǎn)時(shí)間寫，表達(dá)盡量清楚，因?yàn)槁?lián)

賽時(shí)間緊。還有一個(gè)問題就是如何快速寫出合要求的過程，

這也是需要平時(shí)訓(xùn)練的。很可能最后留給一試最后一題的時(shí)

間只有 5 分鐘了，如果你快速讀完題目后直接開始寫，抓

得分點(diǎn)，說不定最后能有 10 分。

總之，模擬考試的最高境界就是“平時(shí)如考試，考試如平時(shí)”。

平時(shí)訓(xùn)練的過程中一定要計(jì)時(shí)作答，做不出來的題也要寫上

已得到的結(jié)論，完全模擬考試的狀態(tài)。同時(shí)，在一試二試都

模擬完成之后，可以再回頭做做因?yàn)闀r(shí)間不夠沒有完成的題

目，從各方面思考“如何做到更好”——總結(jié)新出現(xiàn)的題型

概就是所謂的“90分”標(biāo)準(zhǔn)。我個(gè)人認(rèn)為90分應(yīng)該是適當(dāng)

訓(xùn)練可以達(dá)到的，而且在訓(xùn)練得當(dāng)?shù)那闆r下，基本可以保證

拿到這個(gè)分?jǐn)?shù)。當(dāng)然，我的訓(xùn)練其實(shí)不多，（因?yàn)榍岸f的

弱省原因），但是也不算少。首先，如果你剛學(xué)高中競(jìng)賽，

對(duì)一試的知識(shí)點(diǎn)掌握的還不透徹，那么大概還是需要把套路

過一遍的——這個(gè)過程有點(diǎn)像準(zhǔn)備高考，但是要求更高。如

果有教練當(dāng)然極好，讓教練幫著補(bǔ)補(bǔ)就好了；如果自學(xué)的話，

大概需要做一些題。一試我能想到的問題大概是下面的這些

東西：

解析幾何，其實(shí)來來回回方法就那么幾種：設(shè)直線方程配合

韋達(dá)定理，設(shè)點(diǎn)，設(shè)參數(shù)方程；還有稍高級(jí)的方法，比如幾

次曲線之類的嘛，那么比如把 x , y 坐標(biāo)平方乘系數(shù)加加

減減說不定就全部消掉了。

當(dāng)然，做解析多了之后，要總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，在花了一定時(shí)間做不

下去，一定要趕緊止損，換個(gè)方法，說不定不費(fèi)很大力氣就

做出來了。最后，要記住，驗(yàn)證平行坐標(biāo)軸的情況。

數(shù)列技術(shù)含量稍高，不過絕大多數(shù)數(shù)列問題都是可以用局部

不等式或者裂項(xiàng)做出來的。少數(shù)有高級(jí)技巧，比如積分估計(jì)，

三角函數(shù)換元之類的。個(gè)人覺得數(shù)列其實(shí)難度很難估測(cè)，有

的題目確實(shí)有難度。當(dāng)然，就聯(lián)賽的真題來看，數(shù)列題目并

沒有很多模擬題那么難，需要注意的是一定不能著急的瞎放

縮，要多變形 ——絕大部分的數(shù)列都是用代數(shù)變形后裂項(xiàng)

做出的。

然后做幾個(gè)題試試手感，之后就再也不會(huì)為立體幾何擔(dān)心

啦！

剩下的題目，算是其他題目吧，其實(shí)套路也有不少，需要大

量練習(xí)，通過練習(xí)逐漸學(xué)會(huì)一些技巧。每個(gè)人都是從 30 分

做到100分的嘛，開始不要著急，如果遇到完全沒有辦法的

題目可以適當(dāng)想想暫時(shí)跳過，記住答案里面的關(guān)鍵點(diǎn)，在下

一次見到類似的方法時(shí)不要忘記就好。

一般來說，在經(jīng)過至多一年的學(xué)習(xí)，一試水平大概就可以達(dá)

到“90分”目標(biāo)，偶爾能全對(duì)，但也可能算錯(cuò)很多題劃水。

這個(gè)時(shí)候，基礎(chǔ)的東西都學(xué)會(huì)了，剩下的提分點(diǎn)就在考試的

狀態(tài)上了。關(guān)于一試的時(shí)間分配，我個(gè)人的習(xí)慣是，30 分

鐘做完填空題，然后一道一道地做大題（前兩個(gè)大題大約做

10到 15分鐘，最后二個(gè)比較難的話就一直做），但是最后

至少留下 10 分鐘檢查。我覺得在練習(xí)的過程中找到自己熟

悉的節(jié)奏很重要，并且考試的時(shí)候要嚴(yán)格執(zhí)行之前的策略，

不要為了貪最后一個(gè)題目放棄檢查（當(dāng)然，如果你的習(xí)慣是

不檢查，也可以）。

我推薦在至少離考試還有 2 個(gè)月的時(shí)候開始進(jìn)行一試模擬

訓(xùn)練，大概每 2 到 3 天做一套計(jì)時(shí)的一試題。開始的時(shí)候

肯定狀態(tài)不會(huì)太好，容易算錯(cuò)，但是經(jīng)過比較長(zhǎng)的熟悉之后，

在離考試將近一個(gè)月左右的時(shí)候應(yīng)該問題就不大了。但是狀

態(tài)還是要繼續(xù)保持，如果突然出現(xiàn)狀態(tài)特別差，不要疲勞作

戰(zhàn)，可以先休息調(diào)整一下再仔細(xì)分析在考試過程中出現(xiàn)的時(shí)

間分配問題（錯(cuò)的多的情況往往是因?yàn)榛诉^多時(shí)間做難題

導(dǎo)致時(shí)間分配不均）。

2

二 試

聯(lián)賽不確定性最大的地方，大概就在于二試。

我認(rèn)為聯(lián)賽二試是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中最不容易穩(wěn)定發(fā)揮的考試。時(shí)

間太短導(dǎo)致隨機(jī)性很大，盡管題目一般本質(zhì)不算太難，卻也

都有關(guān)鍵的步驟。從二試到之后的“大題”訓(xùn)練是數(shù)學(xué)競(jìng)賽

的重點(diǎn)，不過好在聯(lián)賽二試的題目，說難也不難，相對(duì) CMO

等之后的考試而言套路比較少。個(gè)人認(rèn)為有集訓(xùn)隊(duì)實(shí)力的同

學(xué)應(yīng)該做聯(lián)賽二試的題目不會(huì)很困難，具體的專題訓(xùn)練寫在

之后了。

這里只提一點(diǎn)聯(lián)賽二試要注意的問題：聯(lián)賽二試時(shí)間確實(shí)很

緊，平均每題半小時(shí)多，很容易因?yàn)榛艔埢蛘邥r(shí)間不夠發(fā)揮

關(guān)于具體的答題，我覺得最要注意的就是不能“超綱”了。

有些人在培訓(xùn)中得到了很多很強(qiáng)的結(jié)論和性質(zhì)，但是在聯(lián)賽

中，要謹(jǐn)慎使用，最好給出證明（也可以留個(gè)空位，看情況，

有時(shí)間最后補(bǔ)）。特別的，幾何題非常不推薦用復(fù)數(shù)法，重

心坐標(biāo)！不到萬不得己，不要采用這幾個(gè)方法（當(dāng)然，要是

真的不行就死馬當(dāng)活馬醫(yī)吧）。

反正，要是有分，你要慶幸；要是沒分，不要怨改卷老師。

這些“高級(jí)”方法或多或少需要用到一些考綱外的性質(zhì)，可

能會(huì)扣分；并且計(jì)算法解幾何出現(xiàn)筆誤其實(shí)很正常。聯(lián)賽幾

何，一般來說最好算的方法是三角，可以多練練三角計(jì)算（當(dāng)

然，純幾何也是要練習(xí)的）。（未完待續(xù)...）