(新人教A)高二數(shù)學(xué)同步輔導(dǎo)教材球

高 二 數(shù) 學(xué)

（第27周）

主講教師：徐 瑢

【教學(xué)內(nèi)容】

球

【教學(xué)目標(biāo)】

1.弄清球面及球體的定義，弄清球的截面及其性質(zhì)；

2.弄清地球的經(jīng)度與緯度的概念及球面的距離的概念并運(yùn)用于解題之中；

3.理解球的體積公式和表面積公式的推導(dǎo)思路，熟練用它們解決有關(guān)綜合性問(wèn)題；

4.能解決球的截面有關(guān)計(jì)算問(wèn)題及球的“內(nèi)接”與“外切”的幾何體問(wèn)題。 6．在解決球的截面有關(guān)計(jì)算問(wèn)題及球的“內(nèi)接”與“外切”的幾何體問(wèn)題時(shí)，把球的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓的

【知識(shí)講解】

1．“球”與“球面”的概念（見下表）

半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫球面。 例題講解

球面所圍成的幾何體叫球（或球體） 例1.已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球的半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則球面面積是

球面是一個(gè)曲面，只有面積，而球是一個(gè)封閉的幾何體，有表面積，也有體積。 （ ）

球面也可以看作與定點(diǎn)（球心）的距離等于定長(zhǎng)（半徑）的所有點(diǎn)的集合。

2．球的截面性質(zhì)（見下表）

（1） 用一個(gè)平面截球，截面是一個(gè)圓面。球面被過(guò)球心的平面截得的圓叫做大圓， 解：如圖，設(shè)球O半徑為R，截面⊙O′半徑為r，

被不過(guò)球心的截面得的圓叫做小圓。

（2） 球心和截面圓心的連線垂直于截面。

（3） 球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r，有下面的關(guān)系：

r?R?d

22

3．球面的距離：經(jīng)過(guò)球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度稱為兩點(diǎn)的球面距離。

球面上兩點(diǎn)距離不能通過(guò)解三角形直接求得，一般地是先求出大圓半徑R和這兩點(diǎn)在大圓上的劣弧所對(duì)的圓心角θ，再求

出弧長(zhǎng)=．

LRθ

4．①緯線是與赤道所在平面平行的截面圓，緯線上的度數(shù)叫做緯度，緯度是緯線上的點(diǎn)與球心聯(lián)線和

赤道所在平面所成的角的度數(shù)，即線面角的度數(shù)。地球上某一點(diǎn)M的

N

本

M

初

子

θ

O

午

φ

線

S

緯度是指線段OM（O是球心）與赤道平面所成的角θ的度數(shù)，若點(diǎn)M在北半球，就是北緯多少度；若點(diǎn)M

在南半球，就是南緯多少度，緯度是線與面之間的角。

②經(jīng)線是地球面上從北極到南極的半個(gè)大圓，經(jīng)線上的度數(shù)叫做經(jīng)度，經(jīng)度的概念與二面角的度數(shù)有關(guān)。

經(jīng)度差是經(jīng)線與地軸所確定平面的兩個(gè)半平面的二面角大小，即二面角。地球上某一點(diǎn)M的經(jīng)度是由經(jīng)過(guò)地

軸與本初子午線確定的半平面線地軸旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)M所形成的二面角的度數(shù)，若旋轉(zhuǎn)是向東進(jìn)行的，則點(diǎn)M的

?

經(jīng)度就是東經(jīng)多少度，若旋轉(zhuǎn)是向西進(jìn)行的，則點(diǎn)M的經(jīng)度就是西經(jīng)多少度，經(jīng)度是面與面之間所成的角。

5．球面面積公式= 4π（球面不能展開成平面圖形，所以求球的表面積無(wú)法用展開圖求出，需要用

S R

2

求極限的方法來(lái)推導(dǎo)球面面積公式）；球的體積公式：。

V?R

4

3

?

3

問(wèn)題，是重要方法。

（A） （B） （C） （D）

16864

939

πππ

4π

C

O

A

B

則，△ABC是正三角形

OO?

?

R

2

O

OA??AB??r

2

323

323

。

在Rt△OO′A中，OA=(O′O)+(O′A)

222

即

R?()?()

222

R

23

23

?R??π

32

1616

99

S=4 選A

球面

πrR

評(píng)述：畫出直觀示意圖有利于分析有關(guān)元素間的關(guān)系，本題將空間圖形的計(jì)算轉(zhuǎn)化為平面圖形中求正三角形外

接圓半徑及勾股定理的運(yùn)用，球的截面問(wèn)題是球與球冠中最常見的問(wèn)題，要熟練掌握它們的有關(guān)計(jì)算。

例2.A、B兩地都在北緯45°的球面上，它們的經(jīng)度相差90°，求A、B兩地的球面距離（地球半徑為R）

解：如圖，O為球心，O為北緯45°緯圓圓心，

則由球的截面性質(zhì)可知，∠AOB就是二面

1

O

角A—OO—B的平面角，即∠AOB=90°，

11

A

B

∠AOO與∠BOO都等于緯度45°的余角

11

O

∴

AO?BO?R

11

2

2

在Rt△AOB中，可得AB=AO=R,故在△AOB中可得∠AOB=, 所以AB兩地間的球面距離為R

11

2

ππ

33

例3．過(guò)球面上一點(diǎn)M作互相垂直的三條弦MA，MB，MC；設(shè)球的半徑為R，求證：MA+MB+MC=4R

2222

分析：由于MA、MB、MC互相垂直，作圖時(shí)可考慮經(jīng)過(guò)其

中兩條（如MB、MC）的球的截面，BC是截面圓的直徑，

A

MA與該截面垂直。

O

C

H

M

N

B

證明：如圖，設(shè)球半徑為R，連結(jié)BC，過(guò)MB和MC的球的截面為小圓H，由MB⊥MC，有BC為圓H的直徑，解： 如圖，已知球半徑為R，設(shè)圓柱底面直徑為x，高為h，軸截面為矩形ABCD．在Rt△ABC中，AC=2R， AB=h，

連結(jié)MH，并延長(zhǎng)與球面交于點(diǎn)N，連結(jié)AN，設(shè)AN的中點(diǎn)為O，連OH，則OH∥AM ∵AM⊥MB， AM⊥MC， BC=x，則x+h=4R．①

∴AM⊥面MBC， AM⊥MN

∴OH⊥面MBC，O為球心，AN為球的直徑 ∴MA+MB+MC=MA+MN=AN=(2R)=4R

22222222

評(píng)注：本題還可以看成是球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱與對(duì)角線長(zhǎng)度之間的關(guān)系，用長(zhǎng)方體的知

識(shí)來(lái)處理比較簡(jiǎn)單。

例4．過(guò)半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩互相垂直的弦PA，PB，PC，求三棱錐P-ABC體積的最大值． 2xh=R．②

解 如圖10-19，設(shè)O為球心，∵PA⊥PB，

∴ ∠APB=90°．PA，PB確定的小圓圓心為O，則AB為其直徑．設(shè)PO交⊙O于D，則

111

PADB為矩形．又PC⊥PA，PC⊥PB，∴PC⊥面PADB．又∵OO⊥面PABD，∴PC與OO

11

共面．∴P，C，D在大圓面上．∠CPD=90°，∴O∈CD．CD=2R．根據(jù)球的對(duì)稱性，CD

可視為以矩形PADB為底面、PC為高的球的內(nèi)接長(zhǎng)方體的對(duì)角線．設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，

則

例5．求棱長(zhǎng)為a的正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑 1．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）

解：設(shè)ABCD為棱長(zhǎng)等于a的正四面體，A、B在對(duì)面的射影分別為H、H，AH與BH的交點(diǎn)為O，則O既是 A．到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合是球面

1212

正四面體的外接球球心，又是內(nèi)切球的球心，OA、OH分別為所求的外接球和內(nèi)切球的半徑。如圖 B．以圓的直徑為軸，旋轉(zhuǎn)半周所成的曲面叫球面

1

AE?a, EH?EH?a AH?a

333

263

122

?AH?AE?HE?a

11

22

2

3

A

∵O、H、E、H四點(diǎn)共圓 ∴AO·AH=AH·AE

1212

H

2

∴， 又△AOH∽△AEH得

AO??a

AH?AE

2

O

D

AH4

6

21

1

B

H

E

1

OHAO?EH

21

EHAEAE12

? ?OH??a

AO

6

2

C

1

故正四面體的外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為 A． B． C． D．6

6633

4122224

aa??

例6．半徑是R的球，它的內(nèi)接圓柱的側(cè)面積等于球大圓面積的一半，求這圓柱的體積． 6．若兩球表面積之比為1:2，則其半徑之比是（ ）

222

2

③

④

若以h為底面直徑，x為高，則

【一周一練】

C．過(guò)球面上的兩個(gè)不同點(diǎn)，只能作一個(gè)大圓

D．兩點(diǎn)間的球面距離是大圓的一段劣弧長(zhǎng)

2．球面上有3點(diǎn)A、B、C，若AB=3，AC=4，BC=5，球心到平面ABC的距離的距離為6，則該球的半徑

為（ ）

A． B． C． D．以上均不對(duì)

13

2

6135

3．半徑為5的球被一平面所截，若截面圓的面積為16π，則球心到截面的距離為（ ）

A．4 B．3 C．2.5 D．2

4．兩平行平面截半徑為5的球，若截面面積分別為9π、16π，則這兩平行平面間的距離是（ ）

A．1 B．7 C．3或4 D．1或7

5．半徑為1的球面上有三點(diǎn)A、B、C，若它們的球面距離均為，則三棱錐O-ABC的表面積是（ ）

π

2

3

2

33

A．1:2 B．1:4 C．1: D．1:2

22

7．一個(gè)球的內(nèi)接正方體的表面積是54，則球的表面積是（ ）

A．27π B．18π C．9π D．54π

8．一通信衛(wèi)星轉(zhuǎn)播電視要使地球表面的能收到電視信號(hào)，（地球半徑為R），則通信衛(wèi)星離地面的高

1

4

為（ ）

A．R B．R C．2R D．3R

1

2

二、填空題

10．半徑為10cm的球內(nèi)，有一個(gè)截面距球心6cm，則該截面的面積等于_________

11．地球半徑為R，45°緯圓上有甲、乙兩地，它們的球面距離是πR，那么甲、乙兩地緯圓上的劣

1

2

弧長(zhǎng)等于____________.

12．球的半徑為10cm，經(jīng)過(guò)球面上一點(diǎn)作一截面，若截面與經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的半徑成45°角，則截面圓的面

積是____________

13．與正方體各面相切的球，它的面積與正方體表面積之比為__________.

三、解答題

14．在北緯45°圈上有A、B兩地，它們分別在東經(jīng)50°與140°的經(jīng)線上，設(shè)地球半么為R（1）求A、

B兩地之間的緯度線（劣弧）的長(zhǎng)

（2）求A、B兩地之間的球面距離

【一周一練答案】

2

πR 1．C 2．A 3．B 4．D 5．B 6．C 7．A 8．A 10．64πcm11．

2

2

12．50πcm， 13．π:6 14.（1）πR （2）πR

2

2

1

4

3