2023年廣東財經大學《808高等代數 (數學)》考研真題

2023年12月2日發(作者：一切都值得)

-

廣東財經大學碩士研究生入學考試試卷

考試年度 2023 考試科目代碼及名稱 808-高等代數(自命題)

適用專業 070100 數學

[友情提醒：請在考點提供的專用答題紙上答題，答在本卷或草稿紙上無效！]

--------------------------------------------------------------------

一、計算題（6題，每題5分，共30分）

1、試求7次多項式??(??)使得??(??)+1被 (???1)4整除，而??(??)?1被(??+1)4整除.

2?10?00?12?10?122、計算行列式

Dn????000000

3、設??(??)=??100?00?00.

???2?1??12n?n0001), 求??(??)和??(??)?1.

00+??991+?+??+1, ??=(00

4、二次型 ??(??1,??2)=???????? 經正交變換 ??=???? 化為標準形 ??12+3??22. 若??的第一列是[

?11?1??210??120???????5、解矩陣方程

?102?X?01?1???1?12?.

?21?1??101???110???????1√2√2,1??],求??.

?2x1?x2?x3?x4?1?6、求方程組

?x1?2x2?x3?x4?2的一般解.

?x?x?2x?x?3234?1

二、解答題（3題，每題15分，共45分）

?122???1、 設向量空間V的線性變換?在基?1,?2,?3下的矩陣為A??212?，問?能?221???否對角化? 如果可以，求出可逆矩陣X，使X?1AX為對角矩陣.

2、 設A,B均為n階矩陣，且AB=A+B，則

?121???(1)A-E與B-E均可逆；(2)AB=BA；(3)當A??342?時，求B.

?122???

3、設??為數域K上n維線性空間V的線性變換，滿足????=??. 求??的特征值，并說明??可對角化.

三、證明題（5題，每題15分，共75分）

1、設A,B分別是n?m和m?n矩陣. 證明：

2、設A, B為n階方陣，則 (1)

(AB)?=B?A?; (2) 若n≥2，(????)?=(???)??.

3、設A是n階方陣，若存在n維列向量?和正整數k，使得Ak??0,Ak?1??0，證明：向量組?,A?,A2?,?,Ak?1?線性無關.

4、設f(x1,...,xn)?XTAX是一個實二次型，若有實n維向量X1,X2使

EmABEn?En?AB?Em?BA.

X1AX1?0,X2AX2?0.

證明：必存在實n維向量X0?0使X0AX0?0.

5、 設V是數域F上的向量空間，U?{(?1，?2，?，?m)?i?V,i?1,2,?,m)}也是F上的向量空間.證明：(1)V是無限維時，U也是無限維的；(2)當V為n維時，求U的維數和一組基.

TTT 【廣東財經大學簡介】

廣東財經大學（Guangdong University of Finance & Economics）坐落于廣州，入選卓越法律人才教育培養計劃、教育部“1+2+1中美人才培養計劃”、國家級大學生創新創業訓練計劃、國家大學生文化素質教育基地、教育部“中美青年創客交流中心”單位、教育部首批研究生課程建設試點單位，是教育部新商科智慧學習工場（2020）（A）項目試點院校（2021年）、廣東省“沖一流、補短板、強特色”特色高校提升計劃建設學校，為“一帶一路”高校聯盟、中國—俄羅斯經濟類大學聯盟、全國財經院校“一帶一路”教育國際化產學研合作聯盟等成員單位。

-