三等分線段的方法

2023年12月10日發(fā)(作者：物流運輸合同范本)

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２０１０年第２期　數學教育研究　?　５７　?　三等分線段的方法　葉建平　（浙江師范大學　浙江金華　３２１０００　浙江省衢州華茂外國語學校　３２４０００）　本文將介紹幾種三等分已知線段的方法，并且點　明其是否可推廣，供教師和學生參考．為述說方便，本　ＤＦ、ＡＦ的中點　’．．ＢＥ為ＡＡＤＦ的中位線，．‘．ＢＥ　／／ＡＤ　文約定等分的對象是線段ＡＢ．　１非尺規(guī)作圖——度量法　用刻度尺量出已知線段ＡＢ的長度，然后將其長度　之三分之一作為平分后線段的長度，用圓規(guī)或刻度尺　依次截取即可．這種方法是一種數形結合的方法，并且　這種方法可推廣至　等分線段．　２　尺規(guī)作圖　２．１利用平行線等分　如圖１，過Ａ作射線　４　Ｃ　Ｄ　Ｂ　ＡＰ，分別在射線ＡＰ上依次　截取ＡＥ＝ＥＦ＝ＦＧ，連接　ＢＧ，分別過點Ｅ、Ｆ作ＢＧ的　平行線ＥＣ、ＦＤ交ＡＢ于點　圖１　ｃ、Ｄ．點ｃ、Ｄ即為ＡＢ的三　等分點．　理由：Ｎ為ＣＥ／／ＤＦ／／ＢＧ，故ＡＥ：ＥＦ：ＦＧ＝ＡＣ　點Ｃ、Ｄ為線段ＡＢ的三等分點。這種方法可推廣至　線　ＭＬ／　／ＡＢ，臻　ＭＬ在射線　上　　’／｜　Ｉ　＼　依次截取ＭＥ—ＥＦ—ＦＮ，———　—　廠—　連結ＡＭ，ＢＮ，分別延長　圈９　Ｄ，則點Ｃ、Ｄ即為線段ＡＢ的三等分點．　理由：因為ＭＬ／／ＡＢ澈　ＭＥ一ＰＭ一　ＰＥ一　一　雨一　，而ＭＥ—ＥＦ—ＦＮ，所以ＡＣ—ＣＤ—ＤＢ，即　等分線段，請讀者思考。　備注：線段ＭＮ的長度是否有限制？為什么？請　２．３　利用三角形的中位線定　理　如圖３．過Ｂ任意作一條　線段ＤＦ，使得ＢＤ＝ＢＦ，分別　連結ＡＤ、ＡＦ，取ＡＦ中點Ｅ，　連結ＤＥ交ＡＢ于Ｃ，則點ｃ　Ｄ　Ｂ　Ｆ　即為ＡＢ的三等分點．　圖３　理由：。．‘Ｂ、Ｅ分別為　一　?一面一一’２　１．．　一　一一，　即點Ｃ為ＡＢ的三等分點　思　Ｈ　寺丌恩　２．４利用矩形來等分　如圖４，不妨以ＡＢ為斜　邊，作Ｒｔ△ＡＥＢ，分別過Ａ、　Ｂ兩點作ＡＥ、ＢＥ的平行線，　交點記為Ｆ，則四邊形ＡＦＢＥ　為矩形，取ＢＥ中點Ｈ，ＡＦ　中點Ｇ，分別連結ＥＧ，ＦＨ，　圖４　依次交ＡＢ于Ｃ、Ｄ兩點，則點Ｃ、Ｄ即為ＡＢ的三等分　點．　理由’．。ＥＢ／／ＡＦ，Ｈ、Ｇ分別ＥＢ、ＡＦ的中點　。．．ＥＨ／／ＧＦ。ＥＨ—ＧＦ　‘．．四邊形ＥＧＦＨ為平行四邊形，．‘．ＥＧ　／／ＨＦ　?一　’．．　．ＡＣ￣ＣＤ同理ＣＤ＝ＢＤ　。．．ＡＣ—ＣＤ—ＤＢ　２．５利用圓來等分　如圖５，分別以點　Ａ、Ｂ為圓心，以ＡＢ為　．Ｄ／　半徑畫圓，其交點依次　記為Ｅ、Ｆ，則ＥＦ垂直　平分ＡＢ，現在直線ＡＢ　＼　Ⅳ　上取ＡＯ一　ＡＢ（在　圖５　ＡＢ異側），再以０為圓心，０Ｂ為半徑畫圓，交０Ｂ于　Ｇ、Ｈ，連結ＧＨ，交ＡＢ于Ｃ，則ｃ即為ＡＢ的三等分　點，這種方法可以　等分線段ＡＢ，請讀者思考。　理由：不妨設ＡＢ—ｎ，分別連結ＧＤ、ＧＢ易知　ＢＧＤ　ＧＣＢ一９０。，則　ＢＧ。一ＢＣ?ＢＤ，即ｎ　一ＢＣ?３ａ　１　‘．．ＢＣ＝÷口．‘．點Ｃ為ＡＢ三等分點．　２．６利用矩形來等分　如圖６，以ＡＢ為一　邊作矩形ＡｌＢＥＦ，連結　ＡＥ、ＢＦ交于點０，過０　作ＯＤ上ＡＢ于Ｄ，連結　ＤＥ交ｏＢ于Ｇ，過Ｇ作　圖６　ＧＣ上ＡＢ于Ｃ，則點Ｃ即　為ＡＢ三等分點．這種方法可以　等分線段ＡＢ，請讀　者思考．　理由：。．。四邊形ＡＢＣＤ為矩形　．　．ｏＡ一０Ｂ一０Ｅ一０Ｆ　。．。ｏＤｊＩＡＢ，．‘．ｏＤ∥ＢＥ　一?．．　ＢＥ　一　ＡＥ　一　ＡＢ　一　ＧＥ　一百１　（下轉第３頁）　２　、’’、　…　２０１０年第２期　數學教育研究　?　３　?　話，需經過幾年？（取ｌｇ２—０．３１）　該類題的求解一方面使學生的數學能力得到了提　高，另一方面也使學生了解到無休止的砍伐將帶來巨　大的災難，土地沙化，水土流失．只有注意保護環(huán)境，人　差的等差數列的概率為　（Ａ）擊　（Ｂ）去　（ｃ）　（Ｄ）　類才能可持續(xù)發(fā)展．要多鼓勵學生參與與所學知識相　關的重大社會問題的討論，必要時可先讓學生調查研　究，然后組織起來討論，共同尋找解決問題的辦法．這　樣既增長了學生的知識，又使學生增強了社會責任感，　關心社會，融人社會．　應該說，在數學中滲透環(huán)境教育，對于幫助學生掌　握環(huán)境知識，培養(yǎng)正確的環(huán)境態(tài)度，樹立保護環(huán)境的觀　這類試題，在學習概率知識的同時，我們可以輔以　滲透奧運火炬?zhèn)鬟f的意義和競技場上的拼搏精神．人　念，發(fā)展環(huán)保技能，具有不可忽視的作用．　４培養(yǎng)學生健康的競爭意識　現代社會是一個競爭激烈的社會，敢不敢去競爭，　善不善于挑戰(zhàn)，是一個人能否在事業(yè)上取得成功的關　們常說有競爭意識、價值意識，就會有學習效率意識．　當然，發(fā)揮數學課堂教學的德育功能，全面推進素　質教育，并非僅僅通過以上幾方面才能得以實現，只要　我們教師潛心挖掘教材、試題和習題的德育功能，用心　思考，是大有可為的．　顯然，高中數學學科德育的進行在實際操作過程　中的切入口可能不是很多，德育的滲透也許不能夠如　此集中，否則有沖淡學科教學主題之嫌，或者也得不到　好的效果，因此，我在案例中提及的幾處滲透也許只能　夠有機進行，在此，我認為值得探討是毫無疑問的，但　是學科德育的功能是不容忽視的．　總之，高中數學學科教學中的德育滲透問題，是一　個重要的并且需要進一步研究和探索的課題．如何在　內容、原則、方法和方式上加強德育，使之產生更大的　鍵所在．隨著素質教育的深入推進，競爭與挑戰(zhàn)給高中　數學教學提出了更高的要求，實踐表明，把競爭的機制　引入高中數學教學之中，向高中生滲透優(yōu)勝劣汰、銳意　進取、積極向上的思想意識，可對高中生學習數學的積　極性起到極大的激勵作用．因此，我們在教學中要盡可　能多創(chuàng)造各種契機，積極激發(fā)、培養(yǎng)學生不甘落后的強　烈的健康的競爭意識，從而使他們進入社會后能自如　效益，為教書育人做出更大的貢獻，也是教師應思考的　問題．我認為，在數學教學中滲透德育教育有其必要　性，但也要注意它的策略性，一定不要喧賓奪主，要提　高滲透的自覺性，把握滲透的可行性，注重滲透的反復　性．我相信只要在教學中，結合學生思想實際和知識的　接受能力，點點滴滴，有機滲透，耳濡目染，潛移默化，　就可以達到德育、智育的雙重教育目的，為素質教育添　磚加瓦．　地迎接時代的挑戰(zhàn)，肩負起四個現代化建設的重任．　２００８北京奧運和２０１０年廣州舉辦的亞運話題就是一　個契機．　例７（２００８年高考山東卷理）在某地的奧運火炬　傳遞活動中，有編號為１，２，３，…，１８的１８名火炬手．若　從中任選３人，則選出的火炬手的編號能組成３為公　［責任編校王蓓］　（上接第５７頁）　不妨令ＯＧ＝ａ，則ＢＧ＝２ａ，ＢＦ＝６ａ　’ＧＣ上ＡＢ．。．Ｃ，Ｃ∥ＡＦ　。點，為方便起見，不妨令半徑為口，則ＡＤ一　，ＡＧ—　ＡＢ一口，連結ＧＩ，過Ｄ作ＤＭ／／ＧＩ交ＡＦ于Ｍ　。　ＧＡＩ＝６０。，ＡＧ＝ＡＩ，．‘．△ＡＧＩ為正三角形　‘．。．．．ＢＣＢＧ２ａ１　“麗一麗一　一了　ｃ為ＡＢ三等分點。　２．７利用圃來等分　如圖７，以Ａ為圓心，ＡＢ　為半徑作ｏＡ，ＩＥ、ＢＨ、ＧＦ都　為直徑，且　ＥＡＢ一　ＥＡＦ　ＢＡＧ一６０。，連結ＢＦ，交　ＡＥ于Ｄ，則Ｄ為ＡＥ的中　點，連結ＤＧ，交ＡＢ于ｃ，則　Ｃ為ＡＢ三等分點．這種方法　可以　等分線段ＡＢ，請讀者　。．‘ＤＭ∥ＧＪ，．。．△ＡＭＤｏｏ△ＡＧＩ，．’．ＡＡＭＤ為　．　．正三角形　ＤＡＣ一　ＡＩＧ一　ＡＤＭ一６Ｏ　：．ＧＩｆＩＡＣ　？ＤＭ　．ＡＣ　ＤＣ　ＡＣ　ＧＣ　一百一麗’　．一　一面　一　ＡＣ．ＡＣ　ＤＣ。ＧＣ　ｂＭ一麗十面一　?．．圖７　‘．．Ａｃ一麗ＧＩ￣ＤＭ　一　＝÷　口十　思考（ＩＣ與ＡＧ的交點為ＡＧ之四等分點）．　理由：Ｄ為ＡＥ之中點易證，現證Ｃ為ＡＢ三等分　點Ｃ為ＡＢ三等分點．　［責任編校王蓓］　

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